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第三章第三章 振动和波振动和波机械振动机械振动:物体在一定位置附近做往返物体在一定位置附近做往返 往复运动往复运动波动：振动状态传输波动：振动状态传输波动可分为三大类：机械波波动可分为三大类：机械波 电磁波电磁波 物质波物质波 第1页第一第一节节 简谐振动简谐振动线性回复力：物体在运动时，所受线性回复力：物体在运动时，所受 到到 大小与它位移大小成大小与它位移大小成 正比正比，而方向与位移方，而方向与位移方 向相反力向相反力 简谐振动：物体在线性回复力作用下简谐振动：物体在线性回复力作用下 所作振动所作振动第2页一、简谐振动方程一、简谐振动方程1 1、SHMSHM动力学描述动力学描述 以弹簧振子振动以弹簧振子振动 为例，当物体位移为例，当物体位移 为为x x时，振子所受时，振子所受 到弹性力到弹性力F F满足满足 F=F=-kxkx F F为线性回复力为线性回复力第3页2 2、SHMSHM运动学描述运动学描述 依据牛顿第二定律，弹簧振子运依据牛顿第二定律，弹簧振子运 动方程满足：动方程满足：式中，式中，第4页 解微分方程得：解微分方程得：第5页振幅振幅A：表示质点离开平衡位置最大位表示质点离开平衡位置最大位 移绝对值移绝对值相位相位 ：决定质点在：决定质点在t时刻运动时刻运动 状态主要物理量状态主要物理量初相位初相位：表示：表示t=0时刻相位时刻相位角频率角频率：也称圆频率，其反应质点振也称圆频率，其反应质点振 动快慢动快慢 第6页二、简谐振动矢量图表示法二、简谐振动矢量图表示法 第7页三、简谐振动能量三、简谐振动能量以弹簧振子为例以弹簧振子为例：第8页第二节第二节 阻尼振动、受迫振动和共振阻尼振动、受迫振动和共振一、阻尼振动一、阻尼振动1、阻尼振动：振幅随时间减小振动2、运动方程 在物体速度不太大时，阻力与速度大小成正比，方向相反，即令，第9页3、讨论（1）当阻尼较小，时，微分方程为（2）当阻尼较大，时，微分方程为（3）当 时，微分方程为 物体刚好不作周期性运动，会很快地回到平衡位置并停顿下来，其称为临界阻尼。第10页二、受迫振动二、受迫振动1、受迫振动：振动系统所受到力除弹性力和阻力之外还有一个周期性外力连续作，此时系统发生振动称为受迫振动。这种周期性外力称为强迫力。2、振动方程：第11页三、共振三、共振1、共振：振动系统作受迫振动时，改变强迫力角频率p使其振幅到达极大值现象。2、共振角频率：发生共振时角频 共振时振幅 为：第12页第三节第三节 振动合成与分解振动合成与分解一、两个同方向同频率简谐振动合成一、两个同方向同频率简谐振动合成 两个同频率同方向简谐振动运动方程为：利用旋转矢量求出合振动位移x表示式：第13页讨论：1、若相位差 则2、若相位差 则 第14页二、两个同方向频率相近简谐振动合成二、两个同方向频率相近简谐振动合成考查两种频率很大而频率差很小简谐振动所合成振动，设两简谐振动振幅相同，初相位都为零，它们振动方程分别为：当两振动合成时，合振动位移为：第15页由上式能够看出:合振动频率为：振幅为：所以合振动振幅随时间作迟缓周期性改变。这种合振动振幅时而加强，时而减弱现象称为拍拍。合振幅变化频率称为 拍拍频频。第16页因为余弦函数绝对值是以为周期，所以有 合振幅改变周期 因为 所以合振幅改变频率，即拍频得：第17页三、相互垂直同频率简谐振动合成三、相互垂直同频率简谐振动合成设两个相互垂直频率相同简谐振动，它们振动方程为:将上两式中t消去，得到合振动轨迹方程:第18页讨论：1、，即两分振动初相位相同 得：2、即两分振动相位差为/2得：第19页第四节第四节 波动基本规律波动基本规律一、波产生与描述一、波产生与描述 振动在空间传输过程叫做波动 常见波有:机械波,电磁波,机械波：机械振动在弹性介质中传输过程 1、产生条件:波源 媒质2、弹性波:机械振动在弹性媒质中传输 横波：振动方向与波传输方向垂直 纵波：振动方向与波传输方向平行第20页3、简谐波:波源作简谐振动,在波传到区域,媒质中质元均作简谐振动。波面：某一时刻振动相位相同各点所联成面。平面波：波振面是平面波动 球面波：波振面是球面波动波线：沿波传输方向所作射线第21页二、波基本特征量二、波基本特征量1、波长:两相邻同相点间距离2、波频率:媒质质点(元)振动频率 即单位时间传过媒质中某点波个数 3、波速u:单位时间波所传过距离 波速又称相速度(相位传输速度)第22页三、平面简谐波波动方程三、平面简谐波波动方程 平面简谐波：当波源作简谐振动并沿一维方向传输，引发各质点都做简谐振动时所形成波。它是一个最简单、最基本波。设原点O处质点在任一时刻t位移（振动方程）为：第23页因为假设:媒质无吸收(质元振幅均为A)，则振动从O点以波速u传输到P点需要x/u时间，即P点在时刻t位移等于O点在时刻（tx/u）位移，所以，P点在任意时刻t位移为：第24页 假如波沿Ox轴负方向传输，则P点振动比O点早开始一段时间x/u，即O点振动了t时间，P点已经振动了（t+x/u）时间。即P点在任一时刻t位移为讨论：1当x一定，y仅为时间t函数。此时波动方程表示距原点为x处给定点振动情况。2当t一定时，则y仅为x余弦函数。此时，波动方程表示给定时刻各质点位移y分布情况。3当t和x都改变时，波动方程表示在任意时刻波线上任意点位移情况。所以也能够说波动方程描述了波传输 第25页第五节第五节 波能量与波衰减波能量与波衰减一、波能量一、波能量 振动动能 形变势能=波能量设简谐波在密度为弹性介质中传输其传输中体积元其振动动能为弹性势能为第26页体积元总能量为其动能和势能之和：能量密度w：单位体积介质中波动能量平均能量密度：能量密度在一个周期内平均值。第27页二、能流和能流密度二、能流和能流密度能流：单位时间内经过介质中某一面积能量平均能流：在单位时间内经过S能量等于体积uS中平均能量。所以，经过面积S平均能流为能流密度：单位时间内经过垂直于波传输方向单位面积上平均能量，又称波强度。即 第28页三、波衰减三、波衰减 原因：吸收衰减：因为弹性介质存在内摩擦等原因，波能量随传输距离增加而逐步转化为其它形式能量扩散衰减：因为波散射、反射、发散等原因，即使波整体能量不降低，但能量分布面积增加，因而强度降低。第29页1平面简谐波在各向同性介质中传输衰减规平面简谐波在各向同性介质中传输衰减规律：律：由试验得，波在该介质层上强度相对减弱量dI/I与介质层厚度dx成正比，即为介质吸收系数，它与波频率和介质性质相关，将上式积分，并将 代入得 此式称为比尔-朗伯定律第30页依据波强度与其振幅平方成正比关系，x轴上坐标为x处质元振幅A与坐标原点处质元振幅 为满足 所以，实际上平面简谐波在介质中波动方程应为 第31页2球面简谐波在各向同性介质中传输规律球面简谐波在各向同性介质中传输规律 设该球面波在其半径为r1和r2处强度分别为I1和I2，其对应振幅分别为A1和A2，若不考虑介质吸收，则单位时间经过两球面能量必定相等，即 此公式为反平方定律反平方定律 第32页由波强度与其振幅平方成正比得 所以对于球面波来说，波振幅与到球心距离成反比，若设离球心距离为单位长度时其振幅为A0，则球面波波动方程为第33页第六节第六节 波叠加和干涉波叠加和干涉一、惠更斯原理一、惠更斯原理 介质中波动传输到各点，都能够看作是发射子波波源，任意时刻这些子波包络就是新波前。这就是惠更斯原理。第34页二、波干涉二、波干涉1、叠加原理、叠加原理 在相遇区域内，任一点振动，为各列波所引发振动矢量和。在相遇后各列波仍保持它们各自原有特征 （频率、波长、振幅、振动方向等）不变，按照各自原来方向继续传输，好象在行进过程中没有碰到其它波一样。2、相干波、相干波：频率相同、振动方向相同、相位相同 或相位差恒定两列波。相干波源相干波源：相干波波源干涉现象干涉现象：两列相干波相遇时，使一些地方振动一直加强，而在另一些地方振动一直减弱现象 第35页设两相干波源S1、S2都作简谐振动，其振动方程分别为：若两列波在同一介质中传输，分别经过r1、r2距离在空间某一点P相遇，则这两列波在P点引发分振动为第36页依据波叠加原理，P点合振动为这两个分振动合成，即合振动仍是简谐振动：式中A为合振动振幅：为合振动初相位：第37页因为两相干波在P点所引发两分振动相位差为一恒量，所以干涉结果使空间各点振幅一直不变，即合振动振幅最大，其值为A=A1+A 2合振动振幅最小，其值为A=|A1A2|第38页假如 ，并令=r2r1表示两相干波从各自波源抵达P点时所经过波程差，则合振动振幅最大 合振动振幅最小 第39页三、驻波三、驻波 设有两振幅相同、频率相同简谐波，分别沿Ox轴正方向和负方向传输，在原点处，它们相位相同。则其波动方程分别为第40页 在两波相遇处各点位移为两波各自位移叠加，即应用三角关系，得驻波方程驻波方程 从方程中可见，当弦线上形成驻波时，弦线上各点都在作振幅为、频率为简谐振动，各点振幅伴随离原点距离x不一样而异。第41页讨论：1、波节：波节：因为弦线上各点作振幅为简谐振动，所以x满足各点振幅为零，这些点一直静止不动为波节。第42页2、波腹波腹：当x满足 各点振幅最大，等于2A，这些点振动最强。第43页3、在每一时刻，驻波各点以确定振幅在各自平衡位置附近振动，所以称为驻波。在驻波状态下，各质点到达最大位移时，速度均为零，即动能为零。驻波能量以动能形式集中于波腹附近。驻波中没有能量定向传输，只有波腹附近动能和波节附近势能之间跃动和转换。第44页