数学建模概论省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

数学模型与试验概论数学模型与试验概论数学模型与试验概论数学模型与试验概论 数理学院数理学院 付丽华付丽华第1页1.1 数学与数学模型数学与数学模型 数学是研究现实世界数量关系和空间形式数学是研究现实世界数量关系和空间形式科学。科学。数学产生和发展一直和数学模型紧密相连。数学产生和发展一直和数学模型紧密相连。数学模型含有数学模型含有预测预测，判别判别，解释解释三大作用，三大作用，其中预测是数学模型价值其中预测是数学模型价值最主要最主要表达。表达。第2页玩具、照片、飞机、火箭模型玩具、照片、飞机、火箭模型 实物模型实物模型水箱中舰艇、风洞中飞机水箱中舰艇、风洞中飞机 物理模型物理模型地图、电路图、分子结构图地图、电路图、分子结构图 符号模型符号模型模型模型是为了一定目标，对客观事物一部分是为了一定目标，对客观事物一部分进行简缩、抽象、提炼出来进行简缩、抽象、提炼出来原型原型替换物替换物.模型模型集中反应了集中反应了原型原型中人们需要那一部分特征中人们需要那一部分特征.1.1.1 从现实对象到数学模型从现实对象到数学模型我们常见模型我们常见模型第3页你碰到过数学模型你碰到过数学模型“航行问题航行问题”用用 x 表示船速，表示船速，y 表示水速，列出方程：表示水速，列出方程：答：船速为答：船速为20km/h.甲乙两地相距甲乙两地相距750km，船从甲到乙顺水航行需，船从甲到乙顺水航行需30h，从乙到甲逆水航行需从乙到甲逆水航行需50h，问船速度是多少，问船速度是多少?x=20y=5求解求解第4页航行问题航行问题建立数学模型基本步骤建立数学模型基本步骤 作出简化假设（船速、水速为常数）；作出简化假设（船速、水速为常数）；用符号表示相关量（用符号表示相关量（x,y表示船速和水速）；表示船速和水速）；用物理定律（匀速运动距离等于速度乘以用物理定律（匀速运动距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）；时间）列出数学式子（二元一次方程）；求解得到数学解答（求解得到数学解答（x=20,y=5）；）；回答原问题（船速回答原问题（船速为为20km/h）.第5页数学模型数学模型(Mathematical Model)和和数学建模（数学建模（Mathematical Modeling)对于一个对于一个现实对象现实对象，为了一个，为了一个特定目标特定目标，依据其依据其内在规律内在规律，作出必要，作出必要简化假设简化假设，利用适当利用适当数学工具数学工具，得到一个，得到一个数学表述数学表述.建立数学模型全过程建立数学模型全过程（包含表述、求解、解释、检验等）（包含表述、求解、解释、检验等）数学模型数学模型数学数学建模建模第6页1.1.2 数学建模主要意义数学建模主要意义 电子计算机出现及飞速发展；电子计算机出现及飞速发展；数学以空前广度和深度向一切领域渗透数学以空前广度和深度向一切领域渗透.数学建模作为用数学方法处理实际问题第一步，数学建模作为用数学方法处理实际问题第一步，越来越受到人们重视越来越受到人们重视.在普通工程技术领域在普通工程技术领域,数学建模依然大有用武之地；数学建模依然大有用武之地；在高新技术领域在高新技术领域,数学建模几乎是必不可少工具；数学建模几乎是必不可少工具；数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地.第7页“数学是一个关键、普遍、能够应用数学是一个关键、普遍、能够应用技术技术”.数学数学“由研究到工业领域由研究到工业领域技术转化技术转化，对加强经，对加强经济竞争力含有主要意义济竞争力含有主要意义”.“计算和建模计算和建模重新成为中心课题，它们是数学重新成为中心课题，它们是数学科学技术转化主要路径科学技术转化主要路径”.数学建模主要意义数学建模主要意义第8页数学建模详细应用数学建模详细应用 分析与设计分析与设计 预报与决议预报与决议 控制与优化控制与优化 规划与管理规划与管理数学建模计算机技术知识经济知识经济如虎添翼如虎添翼第9页几个例子几个例子例例1.1 谷神星发觉谷神星发觉 1764年，瑞士波奈特哲学家出版了年，瑞士波奈特哲学家出版了自然观察自然观察一一书，德国人提丢斯在读了该书后，从中总结出一个级书，德国人提丢斯在读了该书后，从中总结出一个级数，用于表示太阳与当初已发觉六颗行星距离。以后数，用于表示太阳与当初已发觉六颗行星距离。以后波德修改为以下波德修改为以下“提丢斯提丢斯-波德波德”定则定则:当初当初,从上述公式能够计算出太阳与水星、金星、地球、从上述公式能够计算出太阳与水星、金星、地球、火星、木星和土星近似距离分别为火星、木星和土星近似距离分别为0.400292968、0.7、1.0、1.6、5.2、10.0个天文单位个天文单位.人们很自然地思索为人们很自然地思索为何何 时没有行星对应？时没有行星对应？第10页第11页例例1.2 跑步问题跑步问题第12页第13页例例1.3 随机事件频率稳定性随机事件频率稳定性第14页第15页 数学模型数学模型（Mathematical Model）是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题 本质属性抽象而又简练刻划，它或能解释一些客观现本质属性抽象而又简练刻划，它或能解释一些客观现象，或能预测未来发展规律，或能为控制某一现象发象，或能预测未来发展规律，或能为控制某一现象发展提供某种意义下最优策略或很好策略。展提供某种意义下最优策略或很好策略。数学建模数学建模（Mathematical Modeling）应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型过程。应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型过程。1.2 数学模型与数学建模数学模型与数学建模 第16页 例例（万有引力定律发觉万有引力定律发觉）十五世纪中期十五世纪中期，哥白尼哥白尼 提出了震惊世界提出了震惊世界 日心说日心说。丹麦著名试验天文学丹麦著名试验天文学 家家第谷第谷花了二十多年时间花了二十多年时间 观察纪录下了当观察纪录下了当 时已发觉五大时已发觉五大 行星运动情况行星运动情况。第谷学生和助手第谷学生和助手 开普勒开普勒对这些资料进行了九年时间分对这些资料进行了九年时间分 析计算后析计算后 得出著名得出著名Kepler三定律三定律。牛顿牛顿依据开普勒三定律和牛顿第二定律，利用微积分依据开普勒三定律和牛顿第二定律，利用微积分方法推导出牛顿第三定律即方法推导出牛顿第三定律即 万有引力定律万有引力定律。1.行星轨道是一行星轨道是一 个椭圆，太个椭圆，太 太阳位于此椭圆一个焦太阳位于此椭圆一个焦 点上。点上。2.行星在单位时间内行星在单位时间内 扫过扫过 面积不变。面积不变。3.行星运行周期平方正比行星运行周期平方正比 于椭圆长半轴三次方于椭圆长半轴三次方，百分比系数不随行星而百分比系数不随行星而 改改变变（绝对常数）（绝对常数）开普勒三大定律开普勒三大定律 这其中必这其中必 定是某一定是某一 力学力学规律规律 反应，哼哼，我反应，哼哼，我 要找出它。要找出它。第17页如图，有椭圆方程如图，有椭圆方程:矢径所扫过面矢径所扫过面 积积A微分为微分为:由开普勒第二定由开普勒第二定 律律:常数常数马上得出马上得出:即即:椭圆面积椭圆面积由此得出由此得出常数常数简单推导以下：简单推导以下：行星行星r太阳太阳第18页我们还需算出行星加速度，为此需要建立我们还需算出行星加速度，为此需要建立 两种两种 不不一样坐标架。第一个是固定，以太阳为坐标原点，沿长一样坐标架。第一个是固定，以太阳为坐标原点，沿长轴方向单位向量记轴方向单位向量记 为为i,沿短轴方向单位向量记沿短轴方向单位向量记 为为j，于是：，于是：进而有进而有 加速度加速度以行星为坐标原点建立活动架标，其两个正交单位向量以行星为坐标原点建立活动架标，其两个正交单位向量分别是分别是所以得出所以得出因为因为第19页也就是说行星加速度为也就是说行星加速度为由开普勒第三定律知由开普勒第三定律知为常数。若记为常数。若记那么就导出著名那么就导出著名 万有引力定律：万有引力定律：再将椭圆方程再将椭圆方程 两边微分两次，得两边微分两次，得将前面得到结果将前面得到结果和焦参数和焦参数代入，即得代入，即得第20页 1.了解问题实际背景，明确建模目标，搜集掌握必了解问题实际背景，明确建模目标，搜集掌握必要数据资料。要数据资料。2.在明确建模目标，掌握必要资料基础上，经过对在明确建模目标，掌握必要资料基础上，经过对资料分析计资料分析计 算，算，找出起主要作用原因，经必要精炼、找出起主要作用原因，经必要精炼、简化，提出若干符合客观实际假设。简化，提出若干符合客观实际假设。3.在所作假设基础上，利用适当数学工具去刻划各在所作假设基础上，利用适当数学工具去刻划各变量之间关系，建立对应数学结构变量之间关系，建立对应数学结构 即建立数学即建立数学模型。模型。4.模型求解。模型求解。5.模型分析与检验。模型分析与检验。在难以得出解析解时，也在难以得出解析解时，也应该借助应该借助 计算机计算机 求出数值求出数值解。解。1.31.3 数学建模普通步骤数学建模普通步骤实体信实体信息息(数据数据)假设假设建模建模求解求解验证验证应用应用第21页1.4 数学模型分类数学模型分类分类标准分类标准分类标准分类标准详细类别对某个实际问题了解深入程度白箱模型、灰箱模型、黑箱模型白箱模型、灰箱模型、黑箱模型模型中变量特征连续型模型、离散型模型或确定性连续型模型、离散型模型或确定性模型、随机型模型等模型、随机型模型等建模中所用数学方法初等模型、微分方程模型、差分方初等模型、微分方程模型、差分方程模型、优化模型等程模型、优化模型等研究课题实际范围人口模型、生人口模型、生 态系统模型态系统模型、交通、交通流模型、经流模型、经 济模型、济模型、基因模型等基因模型等第22页建模基本方法建模基本方法机理分析法机理分析法；从客观实际出发，依据事实推理分析，应用；从客观实际出发，依据事实推理分析，应用已知数据进行计算和确定模型参数。已知数据进行计算和确定模型参数。数值分析法数值分析法；选取插值方法、差分方法、样条函数和回归；选取插值方法、差分方法、样条函数和回归分析等方法对已知数据进行数值拟合。分析等方法对已知数据进行数值拟合。结构分析法结构分析法；先假设一个合理数学结构，再用已知数据确；先假设一个合理数学结构，再用已知数据确定模型参数，或对模型进行模拟计算。定模型参数，或对模型进行模拟计算。现成数学法现成数学法；用现成数学模型，惯用有微分方程、线性规；用现成数学模型，惯用有微分方程、线性规划、概率统计、层次分析、图论、人工神经网络、含糊数划、概率统计、层次分析、图论、人工神经网络、含糊数学、灰色系统理论等。学、灰色系统理论等。直观分析法直观分析法。经过对图形和数据直观分析，对参数进行预。经过对图形和数据直观分析，对参数进行预计和计算，并对结果进行模拟。计和计算，并对结果进行模拟。第23页数学建模实践数学建模实践 每一步中都每一步中都 蕴含着能力上蕴含着能力上 锻炼，在调查锻炼，在调查研究阶段，需研究阶段，需 要用到要用到观察能力观察能力、分析能力分析能力和和数据处理能力数据处理能力等。在提出假设等。在提出假设 时，又需要用到时，又需要用到 想象力和归纳想象力和归纳 简化能力。简化能力。在真正开始自己研究之前，还应该尽可能先了解一下前在真正开始自己研究之前，还应该尽可能先了解一下前人或他人工作，使自己工人或他人工作，使自己工 作成为他人研究工作作成为他人研究工作 继续而不继续而不是他人工作重复，你能够把一些已知研究结果用作你假设，是他人工作重复，你能够把一些已知研究结果用作你假设，去探索新奥秘。所以我们还应该学会在尽可能短时间去探索新奥秘。所以我们还应该学会在尽可能短时间 内内查查到并学会到并学会我想应用知识本事。我想应用知识本事。还需要你多少要有点还需要你多少要有点 创新能力创新能力。这种能力不是生来就有，。这种能力不是生来就有，建模实践就为你提供了一个培养创新能力机会。建模实践就为你提供了一个培养创新能力机会。1.5 数学建模与能力培养数学建模与能力培养 开设数学建模课主要目标为了提升学开设数学建模课主要目标为了提升学 生生综合素质综合素质，增强，增强 应用数学知识应用数学知识 处理实际问处理实际问 题题本事。本事。第24页例例1 某人平时下班总是按预定时间抵达某处，然某人平时下班总是按预定时间抵达某处，然然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早了三十分钟抵达该处，于是此人就沿着妻子来接他了三十分钟抵达该处，于是此人就沿着妻子来接他方向步行回去并在途中碰到了妻子，这一天，他方向步行回去并在途中碰到了妻子，这一天，他比平时提前了十分钟到家，问从相遇点到会合处开比平时提前了十分钟到家，问从相遇点到会合处开车需要多长时间？车需要多长时间？1.61.6 一些简单实例一些简单实例 似乎条件不够哦似乎条件不够哦 。换一个想法，问题就迎刃而换一个想法，问题就迎刃而解了。假如他妻子碰到他后仍载解了。假如他妻子碰到他后仍载着他开往会合地点，那么这一天着他开往会合地点，那么这一天他就不会提前回家了。提前十分他就不会提前回家了。提前十分钟时间从何而来？钟时间从何而来？显然是因为节约了从相遇点到显然是因为节约了从相遇点到会合点，又从会合点返回相遇点这一会合点，又从会合点返回相遇点这一段路缘故，故由相遇点到会合点需开段路缘故，故由相遇点到会合点需开5分钟。分钟。请思索一下，本题解答中隐含了哪些假设请思索一下，本题解答中隐含了哪些假设请思索一下，本题解答中隐含了哪些假设请思索一下，本题解答中隐含了哪些假设？第25页例例2 2 某人第一天由某人第一天由 A A地去地去B B地，第二天由地，第二天由 B B地沿原路返回地沿原路返回 A A 地。问：在什么条件下，地。问：在什么条件下，能够确保途中最少存在一地，此人在两天能够确保途中最少存在一地，此人在两天中同一时间抵达该地。中同一时间抵达该地。分析分析分析分析 本题多少本题多少本题多少本题多少 有点象有点象有点象有点象 数学中数学中数学中数学中 解存在解存在解存在解存在 性条件性条件性条件性条件 及证实，当及证实，当及证实，当及证实，当 然然然然 ，这里情况要简单得多。，这里情况要简单得多。，这里情况要简单得多。，这里情况要简单得多。假如我们换一个想法，把第二天返回改变成另一人在同一假如我们换一个想法，把第二天返回改变成另一人在同一天由天由B B去去A A，问题就化为在什么条件下，两人最少在途中相，问题就化为在什么条件下，两人最少在途中相遇一次，这么结论就很轻易得出了：只要任何一人抵达时遇一次，这么结论就很轻易得出了：只要任何一人抵达时间晚于另一人出发时间，两人必会在途中相遇。间晚于另一人出发时间，两人必会在途中相遇。（请自己据此给出严格证实）请自己据此给出严格证实）第26页例例3 3 交通灯在绿灯转换成红灯时，有交通灯在绿灯转换成红灯时，有一个过渡状态一个过渡状态亮一段时间黄灯。亮一段时间黄灯。请分析黄灯应该亮多久。请分析黄灯应该亮多久。构想一下黄灯作用是什么，不难看出，构想一下黄灯作用是什么，不难看出，黄灯起是警告作用，意思是马上要转黄灯起是警告作用，意思是马上要转红灯了，假如你能停住，请马上停车。红灯了，假如你能停住，请马上停车。停车是需要时间，在这段时间内，车停车是需要时间，在这段时间内，车辆仍将向前行驶一段距离辆仍将向前行驶一段距离 L。这就是。这就是说，在离街口距离为说，在离街口距离为 L处存在着一条处存在着一条停车线（尽管它没被画在地上），见停车线（尽管它没被画在地上），见图图1-4。对于那些黄灯亮时已过线车辆，。对于那些黄灯亮时已过线车辆，则应该确保它们仍能穿过马路。则应该确保它们仍能穿过马路。马路宽度马路宽度 D是轻易测得是轻易测得，问题关键在，问题关键在 于于L确实定。确实定。为确定为确定 L，还应该将，还应该将 L划分为两段：划分为两段：L1和和L2，其其中中 L1是司机在发觉黄灯亮及判断应该刹车反应时是司机在发觉黄灯亮及判断应该刹车反应时间内驶过旅程间内驶过旅程 ，L2为刹车制动后车辆驶过旅程。为刹车制动后车辆驶过旅程。L1较轻易计算，交通部门对司机平均反应时间较轻易计算，交通部门对司机平均反应时间 t1早有测算，反应时间过长将考不出驾照），而早有测算，反应时间过长将考不出驾照），而此街道行驶速度此街道行驶速度 v 也是交管部门早已定好，目也是交管部门早已定好，目标是使交通流量最大，可另建模型研究，从而标是使交通流量最大，可另建模型研究，从而 L1=v*t1。刹车距离。刹车距离 L2既可用曲线拟合方法得出，既可用曲线拟合方法得出，也可利用牛顿第二定律计算出来。也可利用牛顿第二定律计算出来。黄灯终究应该亮多久现在已经变得清楚多了。第黄灯终究应该亮多久现在已经变得清楚多了。第一步，先计算出一步，先计算出 L应多大才能使看见黄灯司机停应多大才能使看见黄灯司机停得住车。第二步，黄灯亮时间应该让已过线车顺得住车。第二步，黄灯亮时间应该让已过线车顺利穿过马路，即利穿过马路，即T 最少应该到达最少应该到达 （L+D）/v。DL第27页例例4 4 餐馆天天都要洗大量盘子，为了方便，餐馆天天都要洗大量盘子，为了方便，某餐馆是这么清洗盘子：先用冷水粗粗洗一某餐馆是这么清洗盘子：先用冷水粗粗洗一下，再放进热水池洗涤，水温不能太高，不下，再放进热水池洗涤，水温不能太高，不然会烫手，但也不能太低，不然不洁净。因然会烫手，但也不能太低，不然不洁净。因为想节约开支，餐馆老板想了解一池热水到为想节约开支，餐馆老板想了解一池热水到底能够洗多少盘子，请你帮他建模分析一下底能够洗多少盘子，请你帮他建模分析一下这一问题。这一问题。盘子有大小吗盘子有大小吗?是什么样盘子？是什么样盘子？盘子是怎样洗盘子是怎样洗?不妨不妨假假设设我们了解到：盘子大小相同，我们了解到：盘子大小相同，均为瓷质菜盘，洗涤时先将一叠均为瓷质菜盘，洗涤时先将一叠盘子浸泡在热水中，然后盘子浸泡在热水中，然后 一清一清洗。洗。不难看出，是水不难看出，是水 温度在决温度在决 定洗定洗盘子数量盘子数量。盘子是先用冷水洗过，。盘子是先用冷水洗过，其后可能还会再用清水冲洗，更其后可能还会再用清水冲洗，更换热水并非因为水太脏了，而是换热水并非因为水太脏了，而是因为因为 水不够热了水不够热了。那么热水为何会变冷呢？假如你那么热水为何会变冷呢？假如你想建一个较精细模型，你当然应想建一个较精细模型，你当然应该把水池、空气等吸热原因都考该把水池、空气等吸热原因都考虑进去，但餐馆老板原意只是想虑进去，但餐馆老板原意只是想了解一下一池热水平均大约能够了解一下一池热水平均大约能够洗多少盘子，洗多少盘子，杀鸡杀鸡 焉用牛刀焉用牛刀？不妨能够提出以下不妨能够提出以下 简化假设简化假设：（1）水池、空气吸热不计，只考虑水池、空气吸热不计，只考虑 盘子吸热，盘子大小、材料相同盘子吸热，盘子大小、材料相同（2）盘子初始温度与气温相同，洗盘子初始温度与气温相同，洗完后温度与水温相同完后温度与水温相同（3）水池中水量为常数，开始温度水池中水量为常数，开始温度为为T1，最终换水时温度为，最终换水时温度为 T2（4）每个盘子洗涤时间每个盘子洗涤时间 T是一个常是一个常数。数。依据上述简化假设，利用热量守依据上述简化假设，利用热量守衡定律，餐馆老板问题就很轻易衡定律，餐馆老板问题就很轻易回答了，当然，你还应该调查一回答了，当然，你还应该调查一下一池水质量是多少，查一下瓷下一池水质量是多少，查一下瓷盘吸热系数和质量等。盘吸热系数和质量等。可见可见，假设条件，假设条件 提出不提出不 仅和你仅和你 研研 问题问题 相关，还和相关，还和 你准备利用哪些知你准备利用哪些知 识识、准备建立什么样模型以及你准、准备建立什么样模型以及你准 备研备研究深入程度相关，即在你提出假设时，究深入程度相关，即在你提出假设时，你建模框架已经基本搭好了。你建模框架已经基本搭好了。第28页一辆汽车在拐弯时急刹车，结果冲到路边沟里（见图1.1）。交警马上赶到事故现场。司机申辩说，当他进入弯道时刹车已失灵，他还一口咬定，进入弯道时其车速为40英里/小时(即该车在这类公路上速度上限，相当于17.9米/秒），交警验车时证实该车制动器在事故发生时确实失灵，然而司机所说车速是否真实呢？例例5 交通事故调查交通事故调查第29页交警在现场获取相关数据:X指刹车痕迹方向；Y指垂直X轴方向。经勘察还发觉，该车并没有偏离它行驶转弯方向，也就是说车头一直指向转弯曲线切线方向。x0369121516.64y01.192.152.823.283.533.55x182124273033.27y3.543.312.892.221.290表表1.1刹车痕迹测量值刹车痕迹测量值(米米)第30页模型假设模型假设（1）该车重心沿一个半径为r园做圆周运动（依据交通学原理，现有公路弯道通常是按圆弧段设计,需要检验）。（2）汽车速度v是常数（因刹车失灵，所以刹车不起作用）。（3）设摩擦力f作用在汽车速度法线上，摩擦系数为常数k，汽车质量为m。第31页模型建立模型建立依据牛顿运动学定律：f=kmg=mv2/r （1.1）模型求解由（1.1）式得 v=（1.2）关于园半径预计:假设已知园弦长为c,弓形高度为h,由勾股定理得,由表1.1得 c33.27m,h3.55m,r40.75m.通常能够依据路面与汽车轮胎情况测出摩擦系数值,也能够经过交通部门取得,本例取kg=8.175m/s。代入(1.2)式得 v=18.2m/s。第32页 模型解释模型解释 这一结果比司机所说车速(17.9m/s)略大一些,但基本上能够认为司机所说结果是能够接收。第33页怎样学习数学建模怎样学习数学建模数学建模与其说是一门数学建模与其说是一门技术技术，不如说是一门，不如说是一门艺术艺术技术大致有章可循技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用准则艺术无法归纳成普遍适用准则想像力想像力洞察力洞察力判断力判断力 学习、分析、评价、改进他人作过模型学习、分析、评价、改进他人作过模型.亲自动手，认真作几个实际题目亲自动手，认真作几个实际题目.第34页1983年，美国一些有识之士开始探讨组织一项应年，美国一些有识之士开始探讨组织一项应用数学方面竞赛可能性；用数学方面竞赛可能性；1985年，美国第一届大学生数学建模竞赛年，美国第一届大学生数学建模竞赛（mathematical contest in modeling,MCM）1989年，北京三所大学组队参加美国年，北京三所大学组队参加美国MCM竞赛。竞赛。1992-1993，中国工业与应用数学学会，中国工业与应用数学学会（CSIAM）举行两次中国大学生数模竞赛）举行两次中国大学生数模竞赛，得到，得到教委充分必定。教委充分必定。1.7 1.7 数学建模竞赛数学建模竞赛第35页1994年起，每年9月组办全国大学生数学建模竞赛；1999年，开始设置大专组竞赛；，教育部高教司每年举行一次全国硕士数学建模竞赛。第36页竞赛介绍竞赛介绍建模题目每年都是建模题目每年都是2道，参赛队员任选道，参赛队员任选1题，普通题，普通来说，一道连续，一道离散。或者一道是开放，来说，一道连续，一道离散。或者一道是开放，另一道是严谨（答案唯一）。另一道是严谨（答案唯一）。评奖：特等奖、国家一等奖、二等奖，省赛区一、评奖：特等奖、国家一等奖、二等奖，省赛区一、二、三等奖和成功参赛奖。二、三等奖和成功参赛奖。第37页建模论文结构建模论文结构摘要（摘要（1500字以内，字以内，A4纸一页，放在论文第一页）；纸一页，放在论文第一页）；问题重述（按自己了解对所给题目作更清楚地表述）；问题重述（按自己了解对所给题目作更清楚地表述）；问题分析（依据问题性质，打算建立什么样模型）；问题分析（依据问题性质，打算建立什么样模型）；模型假设（有些假设需作必要解释）；模型假设（有些假设需作必要解释）；模型设计（对出现数学符号必须有明确定义）；模型设计（对出现数学符号必须有明确定义）；模型解法与结果；模型解法与结果；模型分析与检验，包含误差分析、稳定性分析等；模型分析与检验，包含误差分析、稳定性分析等；模型优缺点及改进方向；模型优缺点及改进方向；必要计算机程序。必要计算机程序。第38页1.81.8数学建模活动与高校学生综合素质培养数学建模活动与高校学生综合素质培养数学建模是全国高校规模最大课外科技活动，包含数数学建模是全国高校规模最大课外科技活动，包含数学建模课程和参加数学建模竞赛两方面，能够从以下学建模课程和参加数学建模竞赛两方面，能够从以下几个方面提升学生素质和能力：几个方面提升学生素质和能力：（1）数学素质和能力数学素质和能力；数学语言表示问题；数学理论分析问题；数学方法处数学语言表示问题；数学理论分析问题；数学方法处理问题；数学思想思索问题（数学模型抽象能力、数理问题；数学思想思索问题（数学模型抽象能力、数学模型指导实际工作演绎能力）。学模型指导实际工作演绎能力）。（2）计算机应用能力计算机应用能力；学会利用计算机计算资源；学会搜索互联网资源。学会利用计算机计算资源；学会搜索互联网资源。（3）论文写作能力论文写作能力；应用流畅文字表示我们需要处理什么问题，建立怎样应用流畅文字表示我们需要处理什么问题，建立怎样模型，何种方法求解，结果怎样，效果怎么样等等，模型，何种方法求解，结果怎样，效果怎么样等等，对于理工科学生很有意义。对于理工科学生很有意义。第39页（4）团结合作精神和进行协调组织能力团结合作精神和进行协调组织能力，需要团体合作精，需要团体合作精神，与以往听讲，作业模式有很大不一样，团体组员需要神，与以往听讲，作业模式有很大不一样，团体组员需要了解、支持、协调，交流，提倡讨论，争辩，虚心接收意了解、支持、协调，交流，提倡讨论，争辩，虚心接收意见。见。（5）培养想象能力；培养想象能力；（6）发展观察力；发展观察力；（7）关心、投身国家经济建设意识和理论联络实际学关心、投身国家经济建设意识和理论联络实际学 风；风；（8）用于参加竞争意识和不怕困难、奋力攻关顽强意用于参加竞争意识和不怕困难、奋力攻关顽强意 志。志。第40页参考书彭放等，数学建模方法，北京，科学出版社，彭放等，数学建模方法，北京，科学出版社，.姜启源等：数学模型（第三版），高等教育出版姜启源等：数学模型（第三版），高等教育出版社，社，。叶其孝，姜启源等译：数学建模初等教程，机械叶其孝，姜启源等译：数学建模初等教程，机械工业出版社，工业出版社，。第41页