乘法公式与全概率公式省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

条件概率条件概率乘法公式乘法公式全概率公式全概率公式贝叶斯公式贝叶斯公式1.4 1.4 条件概率与三个概率公式条件概率与三个概率公式第1页一、条件概率一、条件概率 对对概率概率讨论总讨论总是相是相对对于某个确定条件而言，但于某个确定条件而言，但有有时时除了除了这这个确定条件以外，个确定条件以外，还还会提出附加条件，会提出附加条件，即已知某一事件即已知某一事件B已已经发经发生，要求另一事件生，要求另一事件A发发生生概率。概率。比如，考比如，考虑虑有两个孩子家庭，假定男女出生率有两个孩子家庭，假定男女出生率相同，相同，则则两个孩子性两个孩子性别为别为(男男,男男),(),(男男,女女),(),(女女,男男),),(女女,女女)可能性是一可能性是一样样。若若A记为记为“一男一女一男一女”，则则P(A)=1/21/2；但假如但假如预预先知道最少有一男孩，先知道最少有一男孩，则则上述事件概上述事件概率率应为应为2/3.2/3.第2页 比如，考比如，考虑虑有两个孩子家庭，假定男女出生率有两个孩子家庭，假定男女出生率相同，相同，则则两个孩子性两个孩子性别为别为(男男,男男),(),(男男,女女),(),(女女,男男),),(女女,女女)可能性是一可能性是一样样。若若A记为记为“一男一女一男一女”，则则P(A)=1/2；但假如但假如预预先知道最少有一男孩，先知道最少有一男孩，则则上述事件概上述事件概率率应为应为2/3.我们将我们将“已知事件已知事件 B 发生条件下发生条件下,事件事件 A 发生概发生概率率”称为称为条件概率条件概率，记为，记为P(A|B)。若记若记B为为最少有一男孩，最少有一男孩，则则上述上述概率概率为为第3页条件概率条件概率计计算公式算公式要求要求以下：以下：例例1 1 设袋中有设袋中有7 7个黑球，个黑球，3 3个白球，不放回摸取两次，个白球，不放回摸取两次，假如已知第一次摸到白球，求第二次也摸到白球概假如已知第一次摸到白球，求第二次也摸到白球概率。率。解解 设设A,B分别表示第一、二次摸到白球分别表示第一、二次摸到白球,则则 法二：法二：法一法一:A发生后缩减发生后缩减样本空间所含样样本空间所含样本点总数本点总数在缩减样本空在缩减样本空间中间中B所含样所含样本点个数本点个数第4页 例2 设某种动物由出生算起活到以上概率为0.8，活到25年以上概率为0.4.问现年20岁这种动物，它能活到25岁以上概率是多少？解 设A=能活以上，B=能活25年以上依题意，依题意，P(A)=0.8,P(B)=0.4所求为所求为 P(B|A).第5页不不难验证难验证条件概率含有以下三个条件概率含有以下三个基本性质基本性质：(1)非负性非负性(2)规范性规范性(3)可加性可加性并由此推出条件概率其它性并由此推出条件概率其它性质质：第6页1.设A与B互不相容,且P(B)0,则P(A|B)=_2.设A与B为两事件,且P(A)=0.7,P(B)=0.6,练习练习0第7页注：概率注：概率 P(A|B)与与P(AB)区分与联区分与联络络联络：事件联络：事件A，B都发生了都发生了 区分：区分：（1）在）在P(A|B)中，事件中，事件A，B发生有时间上差异，发生有时间上差异，B先先A后；在后；在P（AB）中，事件）中，事件A，B同时发生。同时发生。（2）样本空间不一样，在）样本空间不一样，在P(A|B)中，事件中，事件B成为样本成为样本空间；在空间；在P（AB）中，样本空间仍为）中，样本空间仍为 S 。因而有因而有 第8页作业P:19 习题习题1-4 1第9页二、乘法公式二、乘法公式由条件概率公式：由条件概率公式：即若即若P(B)0,则则 P(AB)=P(B)P(A|B)若已知若已知P(B),P(A|B)时时,能够反求能够反求 P(AB).若若P(A)0,则则 P(AB)=P(A)P(B|A)推广到三个事件：推广到三个事件：P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(An|A1A2An-1)普通普通,与次序无关。与次序无关。乘法乘法公式公式第10页例例3 3 某厂产品废品率为某厂产品废品率为4%,%,而合格品中有而合格品中有75%是一是一等品等品,求一等品率求一等品率.解解记记A：合格品；合格品；B：一等品，一等品，即一等品率为即一等品率为72%.%.第11页例例4 4第12页例例4 4第13页三、全概率公式三、全概率公式 全概率公式主要用于计算比较复杂事件概全概率公式主要用于计算比较复杂事件概率率,它实质上是可加性和乘法公式综合利用它实质上是可加性和乘法公式综合利用.综合利用综合利用可加性可加性P(A B)=P(A)+P(B)A、B互斥互斥乘法公式乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)0第14页(即每次至多即每次至多发发生其中一个生其中一个)(即每次最少发生其中一个)B1B2B3B4B6B7B5B8集合划分集合划分第15页AB1B2B3B4B6B7B5B8第16页由概率由概率可加性可加性及及乘法公式乘法公式,有有 这这个公式称个公式称为为全概率公式全概率公式，它是概率，它是概率论论基本公式基本公式.第17页全概率公式全概率公式 利用全概率公式，能够把较复杂事件概率计利用全概率公式，能够把较复杂事件概率计算问题，化为若干互不相容较简单情形，分别求算问题，化为若干互不相容较简单情形，分别求概率然后求和概率然后求和 第18页例例5 5 市市场场上上有有甲甲、乙乙、丙丙三三家家工工厂厂生生产产同同一一品品牌牌产产品品,已已知知三三家家工工厂厂市市场场拥拥有有率率分分别别为为30、20、50,且且三三家家工工厂厂次次品品率率分分别别为为 3、3、1，试试求求：（1 1）市场上该品牌产品次品率市场上该品牌产品次品率.B1 1、B2 2、B3 3分别表示买到分别表示买到设设A:买到一件次品；买到一件次品；解解加权平均加权平均一件甲厂、乙厂、丙厂产品；一件甲厂、乙厂、丙厂产品；第19页例例6 6 袋袋中中有有a个个白白球球b个个黑黑球球，不不放放回回摸摸球球两两次次，问问第二次摸出白球概率为多少？第二次摸出白球概率为多少？解解分别记分别记A,B为第一次、第二次摸到白球，为第一次、第二次摸到白球，由全概率公式由全概率公式,第20页例例7 7 设玻璃杯整箱出售，每箱设玻璃杯整箱出售，每箱20只，各箱含只，各箱含0，1，2只次品概率分别为只次品概率分别为0.8，0.1，0.1，一用户欲购置一箱，一用户欲购置一箱玻璃杯，由营业员任取一箱，经用户开箱随机察看玻璃杯，由营业员任取一箱，经用户开箱随机察看4只，只，若无次品，则买此箱玻璃杯，不然退回若无次品，则买此箱玻璃杯，不然退回.试求用户买试求用户买下此箱玻璃杯概率下此箱玻璃杯概率.解解 记记A:用户买下所察看一箱玻璃杯，用户买下所察看一箱玻璃杯，Bi:箱中有箱中有i件次品件次品(i=0,1,2)，由由题设题设知，知，由全概率公式知由全概率公式知 第21页四、贝叶斯公式四、贝叶斯公式 在上面例在上面例5 5中，如中，如买到买到一件次品，一件次品，问问它是甲厂生它是甲厂生产产概率概率为为多大？多大？这这就要用到就要用到 .在全概率公式假定下，有在全概率公式假定下，有 该公式于该公式于1763年由贝叶斯年由贝叶斯(Bayes)给出给出.它是在观它是在观察到事件察到事件A已发生条件下，寻找造成已发生条件下，寻找造成A发生每个原因发生每个原因Bk概率概率.贝叶斯公式贝叶斯公式 第22页所以这件商品最有可能是甲厂生产所以这件商品最有可能是甲厂生产.例例5 5已已知知三三家家工工厂厂市市场场拥拥有有率率分分别别为为30、20、50,次次品品率率分分别别为为3、3、1.（2 2）假假如如买买了了一一件件该该商商品品，发发觉觉是是次次品品，问问它它是是甲甲、乙乙、丙丙厂厂生生产产概概率分别为多少率分别为多少?0.3,0.2,0.50.45,0.3,0.25解解第23页 全概率公式可看成全概率公式可看成“由原因推由原因推结结果果”,而而贝贝叶斯公式作用叶斯公式作用在于在于“由由结结果推原因果推原因”:现现在一个在一个“结结果果”A已已经发经发生了，在众生了，在众多可能多可能“原因原因”中中,到底是哪一个造成了到底是哪一个造成了这这一一结结果？果？故故贝贝叶斯公式叶斯公式也称为也称为“逆概公式逆概公式”。第24页 例例 8 对以往数据分析结果表明当机器调整得良好时，产品合格率为 90%,而当机器发生某一故障时，其合格率为 30%。天天早上机器开动时，机器调整良好概率为 75%。已知某天早上第一件产品是合格品，试求机器调整得良好概率是多少？机器调整得良好 产品合格 机器发生某一故障 第25页解：设解：设A A表示产品合格，表示产品合格，B B表示机器调整良好表示机器调整良好 例例 8 对以往数据分析结果表明当机器调整得良好时，产品合格率为 90%,而当机器发生某一故障时，其合格率为 30%。天天早上机器开动时，机器调整良好概率为 75%。已知某天早上第一件产品是合格品，试求机器调整得良好概率是多少？第26页 下面下面举举一个一个实际实际医学例子，医学例子，说说明明贝贝叶斯公式在叶斯公式在处处理理实际问题实际问题中作用中作用.解解第27页 所以，即使所以，即使检验检验法相当可靠，但被法相当可靠，但被诊疗为诊疗为患肝癌患肝癌人真正患病概率并不大，其主要原因是人群中患肝人真正患病概率并不大，其主要原因是人群中患肝癌百分比相当小。当然，医生在公布某人患肝癌之癌百分比相当小。当然，医生在公布某人患肝癌之前，是不会只做一次或一个前，是不会只做一次或一个检验检验，还还会会辅辅以其它以其它检检验验伎伎俩俩。思索思索：诊疗为诊疗为无病无病,而确而确实实没有患病概率没有患病概率为为多少？多少？第28页第29页 贝贝叶斯公式在商叶斯公式在商业业决决议议及其它企及其它企业业管理学科中管理学科中也也有主要有主要应应用用.有些人有些人依据依据贝贝叶斯公式思想叶斯公式思想发发展了一整展了一整套套统计统计推断方法推断方法,叫作叫作“贝贝叶斯叶斯统计统计”.可可见贝见贝叶斯公式叶斯公式影响影响.第30页作业P:19 习题习题1-4 2,4,5,6 第31页