1、有限元数值求解微分方程原理及其约束条件处理方法 课程：计算机在材料 科学中应用 单位：湖北工业大学2月第1页微课内容摘要 在讲述有限元数值求解微分方程过程原理基础上，针对各种初值与边界约束条件，重点提出了一个可行处理方法。该方法简练清楚，易学易用，对学习了解有限元法含有启发性。同时，这种方法含有可靠依据，加以引申可拓展有限元对约束条件适定范围，其理论推导值得深思。第2页1.1 普通二阶线性微分方程形式1、预备知识、预备知识第3页例1:详细二阶线性微分方程及约束条件改写第4页1.2 最简积分型泛函1、预备知识、预备知识例2：第5页1、预备知识、预备知识1.2 最简积分型泛函第6页有限元法数值求解
2、微分方程有限元法数值求解微分方程过程原过程原理理第7页伽辽金变分方法第8页2、泛函方程近似求解、泛函方程近似求解近似解思绪：就是将无限维函数解空间降维处理。详细说，就是结构有限N维函数空间，在每一维函数坐标确定一个基函数 ，同时每个基函数满足初始或边界条件。N个基函数要求线性无关，由这N个基函数进行唯一线性结合，作为连续泛函方程近似解。伴随N维数增加，解子空间扩大，近似解精度提升。2.1 近似求解思想第9页 如左图所表示，用4维函数空间4个基函数线性组合去近似更高维（或无限维）函数图1 4维函数空间选取4 个基函数第10页 因为每个基函数满足约束条件，所以连续Galerkin变分形式可无须考虑
3、约束条件。第11页第12页例4：两点边值问题：暂无须考虑边界两点约束条件无须考虑边界两点约束条件，上述定解问题对应等价泛函形式：2.2泛函方程近似求解实例第13页第14页第15页微分方程有限元法数值求解微分方程有限元法数值求解过程原过程原理理第16页3 有限元法求解微分方程及约束条件处理有限元法求解微分方程及约束条件处理xxxxx 3.1 限元法思想限元法思想 将解空间区间分段，解函数在每段上用拉格朗格插值基函数进行拟合，最终进行约束处理。1.021.251.751.51.751.251.02.01.5y(1)y(1.25)y(1.5)y(1.75)y(2)YX第17页第18页第19页第20页
4、第21页叠加形成叠加形成 “总体刚度矩阵总体刚度矩阵”和和 “总体截荷向量总体截荷向量”：第22页微分方程有限元法数值求解微分方程有限元法数值求解过程原过程原理理第23页3.2、微分方程约束条件处理、微分方程约束条件处理例4（续）两点边值问题：现考虑边界两点约束条件，即对总体刚度矩阵与截荷矩阵附加约束。但先要对所给初始边界条件改写，使之与第三类约束条件在形式上对应相符：第24页第25页*初始及边界条件处理技巧第26页第27页第28页第29页第30页第31页第32页 1）总结：a）本微课中对约束条件处理适用于以下4个式子两两任意组合。4 总结与思索总结与思索 b）本微课中对约束条件处理方法理论依据是微分方程对应变分形式。第33页伽辽金变分方法第34页 2)思索：a）微分方程第三类约束条件是如何产生？它有何理论意义或含义？b）讨论与作业：下两点边值问题约 束条件怎样处理，并求其数值解。*附有相关Matlab计算程序可用 第35页谢谢大家欢迎交流E-mail：第36页
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