圆周率的计算省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

圆周率是人类取得最古老数学概念之一,早在大约37前古埃及人就已经用256/81（约3.1605）作为它近似值了.几千年来,人们一直没有停顿过计算其准确值努力.“历史上一个国家所算得圆周率准确程度,能够作为衡量这个国家当初数学发展水平指标”_ 康托 两个任务:了解圆周率计算过程 设计计算圆周率方法试验一试验一圆周率计算圆周率计算第1页1 1、试验时期、试验时期 经过试验进行估算经过试验进行估算,这是计算圆周率这是计算圆周率第一阶段第一阶段中国中国:(1)“圆径一而周三圆径一而周三”-周髀算经周髀算经(2)“周三径一周三径一,方五斜七方五斜七”-木工口诀木工口诀 古埃及：数谷粒与称重量：古埃及：数谷粒与称重量：第2页2、几何算法、几何算法用圆内接正多边形和圆外切正多边形迫近方法用圆内接正多边形和圆外切正多边形迫近方法第3页6边形边形12边形边形24边形边形圆圆刘徽刘徽:割之弥细割之弥细,所失弥少所失弥少.割之又割割之又割,以至于不可割以至于不可割,则与圆周则与圆周合体而无所失矣合体而无所失矣 3.14145240288(n=3072)阿基米德阿基米德第4页 祖冲之这一研究结果享受世界声誉祖冲之这一研究结果享受世界声誉:巴黎巴黎“发觉宫发觉宫”科学博物科学博物馆墙壁上著文介绍了祖冲之求得圆周率馆墙壁上著文介绍了祖冲之求得圆周率,莫斯科大学礼堂走莫斯科大学礼堂走廊上镶嵌有祖冲之大理石塑像廊上镶嵌有祖冲之大理石塑像,月球上有以祖冲之命名环形山月球上有以祖冲之命名环形山公元公元5世纪世纪,祖冲之祖冲之隋书隋书律历志：律历志：“宋末宋末,南徐州从事祖冲之更开密法南徐州从事祖冲之更开密法.以圆径一亿为丈以圆径一亿为丈,圆周盈数三丈圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽,朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽秒六忽,正数在盈朒二限之间正数在盈朒二限之间.密率密率:圆径一百一十三圆径一百一十三,圆周三百五十圆周三百五十五五约率约率,圆径七圆径七,周二十二。周二十二。”第5页1579年年,韦达证实韦达证实1630年年,德国人鲁道夫德国人鲁道夫:小数点以后小数点以后35位位1150年年,印度数学家婆什迦罗印度数学家婆什迦罗:3.141614241424年年,中亚细亚数学家卡西中亚细亚数学家卡西:3.14159265358979325.3.14159265358979423846264338327950288第6页3、分析方法、分析方法从十七世纪中叶起从十七世纪中叶起,人们开始用分析方法来求人们开始用分析方法来求近似值近似值,其中其中应用主要工具是收敛无穷乘积和无穷级数应用主要工具是收敛无穷乘积和无穷级数.麦琴麦琴(Machin)给出给出(Machin公式公式)第7页1656年年,沃里斯沃里斯(Wallis)证实证实取取k=10取取k=20第8页欧拉证实了欧拉证实了(1735)注：注：BaselProblem,1644年提出年提出第9页1、Buffon投针投针1.在白纸上画上许多条间距为在白纸上画上许多条间距为d平行直线平行直线2.取长为取长为l(ld)针针,随机地投掷在白纸上随机地投掷在白纸上,投掷投掷n次次,观察与直线相交观察与直线相交次数次数,记为记为m.4、概率方法、概率方法针线相交概率针线相交概率第10页随机投针概率含义随机投针概率含义(1)针中点针中点M与平行线距离与平行线距离x均匀分布于区间均匀分布于区间0,d/2(2)针与平行线交角均匀分布于区间针与平行线交角均匀分布于区间记针中点为记针中点为M,x表示点表示点M与较近平行线间距离与较近平行线间距离,表示针与表示针与平行线间夹角平行线间夹角在间隔为在间隔为d平行线间随机投掷长度为平行线间随机投掷长度为l针针0,d/2中随机选取中随机选取x,0,中随机产生中随机产生,组成平面中点组成平面中点x,第11页计算针和直线相交概率是计算针和直线相交概率是设投掷设投掷n次次,相交相交m次次,则针与线相交频率为则针与线相交频率为m/n针与平行线相交条件针与平行线相交条件n=2212,Buffon:=3.142;n=5000,Wolf:=3.1593第12页d=45;l=36;n=0;x=;y=;P=;Q=;fori=1:n,x1=rand*d*0.5y1=rand*pi;if2*x1=l*sin(y1),x=x,x1;y=y,y1;elseP=P,x1;Q=Q,y1;endendm=length(x),p=2*l*n/(d*m)s=0:0.01:pi;plot(s,l*sin(s)/2,k,Linewidth,2)holdonplot(y,x,r.),plot(Q,P,b.),plot(0,pi,0,0,k,Linewidth,2),plot(0,pi,22.5,22.5,k,Linewidth,2)plot(0,0,0,22.5,k,Linewidth,2),plot(pi,pi,0,22.5,k,Linewidth,2)axis(-0.2,3.3,-2,24)第13页利用蒙特卡洛算法计算圆周率利用蒙特卡洛算法计算圆周率第14页利用蒙特卡洛算法计算定积分利用蒙特卡洛算法计算定积分第15页2、互素数分布、互素数分布取一个大整数取一个大整数N,在在1到到N之间随机取一对整数之间随机取一对整数a,b,它们互素概率它们互素概率注：注：随机整数随机整数randint(1,1,)求求a,b最大条约数最大条约数gcd(a,b)第16页5、数值积分方法、数值积分方法第17页数值积分方法数值积分方法第18页6、代数迭代、代数迭代对正数对正数a0,b0,定义算术均值数列和几何均值数列定义算术均值数列和几何均值数列若两数列极限相等若两数列极限相等,则称此极限为它们算术几何均值则称此极限为它们算术几何均值,记为记为AGM(a0,b0)取取则有则有记记第19页年代年代1949197319891999准确位数2035100万万10亿亿2061亿亿万亿“十位小数就足以使地球周界准确到一英寸以内十位小数就足以使地球周界准确到一英寸以内,三十位小数便三十位小数便能使整个可见宇宙四面准确到连最强大显微镜都不能分辨能使整个可见宇宙四面准确到连最强大显微镜都不能分辨一个量。一个量。”西蒙西蒙纽克纽克姆姆 第20页试验一小结试验一小结1、几何算法、几何算法:割圆法割圆法,正多边形迫近圆正多边形迫近圆2、分析算法、分析算法:无穷级数无穷级数,有限项迫近无穷项有限项迫近无穷项3、数值分析、数值分析:定积分计算定积分计算,矩形迫近曲边梯形矩形迫近曲边梯形4、概率统计、概率统计:蒲丰投针、整数互素蒲丰投针、整数互素第21页提醒提醒:思索题思索题(1)能设计其它计算圆周率算法吗能设计其它计算圆周率算法吗?(2)怎样计算无理数怎样计算无理数e?第22页