2022年概率论与数理统计(48学时)期末试卷及答案2套.doc

装 订 线------------------------------------------------------------------------------------
试 卷
2021-2022学年第一学期期末考试
《 概率论与数理统计（48学时）》（A卷）
（本次考试允许使用计算器）
班级 学号 姓名 总分
题 目
一
二(1-5)
二(6-8)
得 分

阅卷人

，，，，， ，，，,，，
一、填空题（共7题，每空2分，共20分）请将正确答案写在题目后面的横线上。
1.为随机事件，0.4，，则 ， .
2.设连续型随机变量的概率密度 .
3.设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布，现对X进行三次独立观测，至少有两次的观测值大于3的概率为 .
4.随机变量X和Y相互独立且均服从，则 ________(须写出分布类型及参数)，=_______
5.设是来自正态总体的一个简单随机样本，与分别是样本均值和样本方差, 则n~，.
6. 设总体，是来自总体的一组简单随机样本，则.（须写出分布类型及自由度）
7. 设随机变量(X,Y)的协方差矩阵为，且X和Y的相关系数为，则 .
二、计算题（共8题，每题10分）请将求解过程和答案写在每题后的空白处.
1.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2:1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，求:
(1)有一辆汽车中途停车修理的概率。
(2)若有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率。

2. 设连续型随机变量的概率密度为

求: (1)随机变量的分布函数； (2) 随机变量的概率密度。

3.设二维随机变量的概率密度为
.
求：(1) 常数A的值； (2) 概率。

4．设二维随机变量的概率密度为.
求：(1) 两个边缘概率密度，； (2) 判断随机变量是否相互独立。

5.校园里有150辆共享单车，每辆单车出现故障的概率都是0.02，各辆单车的工作是相互独立的，设这些单车出现故障的台数为X,
(1)写出X的确切分布并求出其期望和方差；
(2)利用中心极限定理求单车出现故障不少于两辆的概率。(结果用表示)

6. 设总体的概率密度为

其中为未知参数，为来自总体的一个简单随机样本.
求：(1)的矩估计量； (2)的最大似然估计量。

7.制造某种产品每件所用时间服从正态分布，现随机记录了9件产品所用工时，测得样本方差，求所用工时的标准差的置信水平为0.9的置信区间。(要求写出枢轴量及其分布)

8.某化工厂生产的一种产品的含硫量在正常情况下服从正态分布，为了解设备维修后产品含硫量的质量分数是否改变，测试了5个产品，测得它们的含硫量(质量分数，%)的样本均值为，样本方差，分别在下列两种情形下检验。(显著性水平)
(1) (2) 未知。

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试 卷
2021-2022学年第一学期期末考试
《 概率论与数理统计（48学时）》（A卷）
（本次考试允许使用计算器）
班级 学号 姓名 总分
题 目
一
二(1)
二(2-5)
二(6-8)
得 分

阅卷人

，，，，， ，，，,，，
一、填空题（共7题，每空2分，共20分）请将正确答案写在题目后面的横线上。
1.为随机事件，0.4，，则 0.3 ， 4/7 .
2.设连续型随机变量的概率密度 a .
3.设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布，现对X进行三次独立观测，至少有两次的观测值大于3的概率为 20/27 .
4.随机变量X和Y相互独立且均服从，则 _______(须写出分布类型及参数)，=________.
5.设是来自正态总体的一个简单随机样本，与分别是样本均值和样本方差, 则n~，.
6. 设总体，是来自总体的一组简单随机样本，则.（须写出分布类型及自由度）
7. 设随机变量(X,Y)的协方差矩阵为，且X和Y的相关系数为，则 -3 .
二、计算题（共8题，每题10分）请将求解过程和答案写在每题后的空白处.
1.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2:1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，求:
(1)有一辆汽车中途停车修理的概率。
(2)若有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率。
解：设A表示一辆汽车中途停车修理，B1表示经过的是货车，B2表示经过的是客车，
1)……………….5分
2) ……………….5分

2. 设连续型随机变量的概率密度为

求: (1)随机变量的分布函数； (2) 随机变量的概率密度。
解：1） ……………….5分
……………….5分
3.设二维随机变量的概率密度为
.
求：(1) 常数A的值； (2) 概率。
解：1） 解得A=6 ……………….5分
……………….5分
4．设二维随机变量的概率密度为.
求：(1) 两个边缘概率密度，； (2) 判断随机变量是否相互独立。
解：
……………….4分
……………….4分
(2)由于，因此不相互独立。 ……………….2分
5.校园里有150辆共享单车，每辆单车出现故障的概率都是0.02，各辆单车的工作是相互独立的，设这些单车出现故障的台数为X,
(1)写出X的确切分布并求出其期望和方差；
(2)利用中心极限定理求单车出现故障不少于两辆的概率。(结果用表示)
解：1) 设单车出现故障的个数为X,则，X~B(150,0.02)
E(X)=3,D(X)=2.94, ……………….5分
2) 由中心极限定理，有
……….5分
6. 设总体的概率密度为

其中为未知参数，为来自总体的一个简单随机样本.
求：(1)的矩估计量； (2)的最大似然估计量。
解：1）
令，解得矩估计量为 ……………….5分
2）似然函数

令，解得极大似然估计量为 ……………….5分

7.制造某种产品每件所用时间服从正态分布，现随机记录了9件产品所用工时，测得样本方差，求所用工时的标准差的置信水平为0.9的置信区间。(要求写出枢轴量及其分布)
解：枢轴量, n=9 ……………….3分
的置信水平为0.9的置信区间为
即 ……………….5分
的置信水平为0.9的置信区间为 ……………….2分

8.某化工厂生产的一种产品的含硫量在正常情况下服从正态分布，为了解设备维修后产品含硫量的质量分数是否改变，测试了5个产品，测得它们的含硫量(质量分数，%)的样本均值为，样本方差，分别在下列两种情形下检验。(显著性水平)
(1) (2) 未知。
解：1) 检验统计量

即认为含硫量发生了变化。 ……………….5分

2) 检验统计量

即认为含硫量发生了变化。 ……………….5分

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试 卷
2021-2022学年第一学期期末考试
《 概率论与数理统计（48学时）》（B卷）
（本次考试允许使用计算器）
班级 学号 姓名 总分
题 目
一
二(1-5)
二(6-8)
得 分

阅卷人

，，，，，，，,，，，，，，，
一、填空题（共7题，每空2分，共20分）请将正确答案写在题目后面的横线上。
1.设随机事件相互独立,且则 ，= .
2. 设连续型随机变量的概率密度为则A的值为 .
3.设离散型随机变量X的分布律为P{X=K}=,则 .
4. 设都服从[0,2]上的均匀分布，且相互独立，则=，=.
5. 设是来自正态总体的简单随机样本，则样本均值~ ，
.
6. 设总体是来自总体的一组简单随机样本，则.（须写出分布类型及自由度）
7.设随机变量(X,Y)的协方差矩阵为，则X和Y的相关系数 .
二、计算题（共8题，每题10分）请将求解过程和答案写在每题后的空白处.
1.电源电压在不超过200伏，200~240伏和超过240伏三种情况下，元件损坏的概率分别为求:0.1,001和0.2，设电源电压处于三种电压情况下的概率分别为0.1,0.85和0.05，求
(1)元件损坏的概率；
(2)元件损坏时，电压在200~240伏间的概率。

2. 设连续型随机变量的概率密度为

求: (1)的分布函数； (2) 概率。

3. 设二维随机变量的概率密度为
.
求：(1) 常数的值； (2) 概率。

4.设某种型号的电子元件的寿命近似服从正态分布,随机选取4只，求其中没有一只寿命小于180的概率。

5 某电站供应一万户用电，设用电高峰时每户用电的概率为0.9，记X表示用电高峰时同时用电的户数，
(1)写出X的确切分布并求出其期望和方差；
(2)利用中心极限定理求同时用电的户数在9030户以上的概率。

6. 设总体服从区间[1, ] 上的均匀分布，求的矩估计量，并说明是否为的无偏估计(要有证明过程)。

7.某地幼儿的身高服从正态分布，现从该地幼儿园的大班抽查了9名幼儿，测得身高(单位：厘米)的样本均值为115厘米，设大班幼儿身高总体的标准差(厘米)。求总体均值的置信水平为0.95的置信区间。(要求写出枢轴量及其分布)

8.某纺织厂生产的一种细纱支数的标准差为1.2，现从当日生产的一批产品中，抽取了16只进行支数测量，求得样本标准差为2.1，问：在正态总体的假定下，纱的均匀是否有变化？(显著性水平)

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2021-2022学年第一学期期末考试
《 概率论与数理统计（48学时）》（B卷）
（本次考试允许使用计算器）
班级 学号 姓名 总分
题 目
一
二(1)
二(2-5)
二(6-8)
得 分

阅卷人

，，，，，，，,，，，，，，，
一、填空题（共7题，每空2分，共20分请将正确答案写在题目后面的横线上。
1.设随机事件相互独立,且则 1/2 ，
= 1/2 .
2. 设连续型随机变量的概率密度为则A的值为 1/2 .
3.设离散型随机变量X的分布律为P{X=K}=,则 3/10 .
4. 设都服从[0,2]上的均匀分布，且相互独立，则=，=.
5. 设是来自正态总体的简单随机样本，则样本均值
~ ，
6. 设总体是来自总体的一组简单随机样本，则.（须写出分布类型及自由度）
7.设随机变量(X,Y)的协方差矩阵为，则X和Y的相关系数 -1/2 .
二、计算题（共8题，每题10分）请将求解过程和答案写在每题后的空白处.
1.电源电压在不超过200伏，200~240伏和超过240伏三种情况下，元件损坏的概率分别为:0.1,0.001和0.2，设电源电压处于三种电压情况下的概率分别为0.1,0.85和0.05，求
(1)元件损坏的概率；
(2)元件损坏时，电压在200~240伏间的概率。
解：设A表示元件损坏，表示电压不超过200伏，表示电压在200~240伏，表示电压超过240伏
……………….5分
……………….5分
2. 设连续型随机变量的概率密度为

求: (1)的分布函数； (2) 概率。
解：1） ……………….8分
2） ……………….2分

3. 设二维随机变量的概率密度为
.
求：(1) 常数的值； (2) 概率。
解：1) 解得 ……………….5分

……………….5分
4.设某种型号的电子元件的寿命近似服从正态分布,随机选取4只，求其中没有一只寿命小于180的概率。
解：令X表示电子元件的寿命，则
……………….5分
所求概率为 ……………….5分

5. 某电站供应一万户用电，设用电高峰时每户用电的概率为0.9，记X表示用电高峰时同时用电的户数，
(1)写出X的确切分布并求出其期望和方差；
(2)利用中心极限定理求同时用电的户数在9030户以上的概率。
解：1)X~B(10000,0.9) E(X)=9000,D(X)=900 ……………….5分
……………….5分

6. 设总体服从区间[1, ] 上的均匀分布，求的矩估计量，并说明是否为的无偏估计(要有证明过程)。

证：
解得 ……………….6分
又，因此是的无偏估计 …………….…4分

7.某地幼儿的身高服从正态分布，现从该地幼儿园的大班抽查了9名幼儿，测得身高(单位：厘米)的样本均值为115厘米，设大班幼儿身高总体的标准差(厘米)。求总体均值的置信水平为0.95的置信区间。(要求写出枢轴量及其分布)
解：枢轴量为 ……………….3分
的置信水平为0.95的置信区间为
……………….7分

8.某纺织厂生产的一种细纱支数的标准差为1.2，现从当日生产的一批产品中，抽取了16只进行支数测量，求得样本标准差为2.1，问：在正态总体的假定下，纱的均匀是否有变化？(提示：对总体方差的双边检验)(显著性水平)
解： ……………….2分
检验统计量 ……………….2分

拒绝域 ……………….3分

由于
因此拒绝，即认为纱的均匀有变化 ……………….3分

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