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第一章 函数、极限与连续性1.1 函数函数1.2 极限极限1.3 极限运算法则极限运算法则1.4 两个重要极限两个重要极限1.5 无穷小与无穷大无穷小与无穷大1.6 函数的连续性函数的连续性1.1 函数函数1.1.1 函数的概念函数的概念1函数的定义函数的定义定义定义1 设D是一非空实数集,如果存在一个对应法则f，使得对D内的每一个值x，按法则f，都有y与之对应，则这个对应法则f称为定义在集合D上的一个函数，记作其中x称为自变量自变量,y称为因变量因变量或函数值函数值,D称为定义域定义域，集合 称为值域值域.2几个特殊的函数几个特殊的函数(1)分段函数分段函数 在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数。注意注意：分段函数的定义域是各段定义区间的并集。例如：例如：(2)隐函数隐函数 变量之间的关系是由一个方程来确定的函数。例如：例如：由方程 确定的函数.(3)参数方程所确定的函数参数方程所确定的函数 例如：例如：由 确定的y与x之间的函数关系.（t为参数）3函数的定义域函数的定义域 常见解析式的定义域求法有：(1)分母不能为零；(2)偶次根号下非负；(3)对数式中的真数恒为正；(4)分段函数的定义域应取各分段区间定义域的并集.例例1求下列函数的定义域（1）（2）（3）解题过程解题过程解题过程解题过程 解解(1)要使函数有意义,必须 ,且 ，解不等式得 .所以函数的定义域为 且 (2)要使函数有意义,必须 ，即 .所以函数的定义域为 (3)函数的定义域为 1.1.2 初等函数与点的邻域初等函数与点的邻域1基本初等函数基本初等函数常数函数：（C为常数）幂函数：指数函数：对数函数：三角函数：反三角函数：以上六类函数统称为基本初等函数基本初等函数.为了方便，我们通常把多项式 也看作基本初等函数。2复合函数复合函数引例：引例：考查具有同样高度h的圆柱体的体积V，显然其体积的不同取决于它的底面积S的大小，即由公式V=Sh（h为常数）确定。而底面积S的大小又由其半径r确定，即公式 。V是S的函数，S是r的函数，V与r之间通过S建立了函数关系式 。它是由函数 与复合而成的，简单地说V是r的复合函数。复合函数定义复合函数定义复合函数定义复合函数定义定义：定义：设y是u的函数 ，而u又是x的函数 ，且 的值域与 的定义域交非空，那么y通过中间变量u的联系成为x的函数，我们把这个函数称为是由函数 与 复合而成的复合函数复合函数.记做：其中u称为中间变量中间变量.注意：注意：并不是任意两个函数都能复合成一个复合函数的.如 ，就不能复合成一个函数.同时，学习复合函数有两方面要求：一方面，会把有限个作为中间变量的函数复合成一个函数；另一方面，会把一个复合函数分解为有限个较简单的函数.例例2 将 ，复合成一个函数.例例3 指出下列函数的复合过程.解题过程解题过程（1）（2）解题过程解题过程解题过程解题过程例2解：例3解：(1)是由 和 复合而成的.(2)是由 ，和 复合而成的.如何定义平面上一点 的邻域？3初等函数初等函数定义定义 由基本初等函数经过有限次的四则运算或有限次的复合运算所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.否则称为非初等函数.4点的邻域点的邻域定义定义 设 ，集合 ，即数轴上到点 的距离小于 的点的全体，称为点 的 邻域，记为 .点 ，分别称为该邻域的中心和半径。集合 称为点 的 空心邻域记 .思考：思考：返回返回1.2 极限极限1数列的定义数列的定义定义定义 按一定规律排列得到的一串数就称为数列 记为 其中第n 项 称为数列的一般项一般项或通通项项.1.2.1 数列极限数列极限 观察以下三个数列：（可以写出一部分数值）讨论结论讨论结论（1）（2）（3）讨论结论讨论结论观察上面三个数列：(1)当n无限增大时，也无限增大；(2)当n无限增大时，无限地趋近于0；(3)当n无限增大时，总在1，-1两个数值之间跳跃。2数列极限的定义数列极限的定义定义定义 对于数列 如果当项数n 无限增大时 数列的一般项无限地趋近于某一确定的常数A 那么称常数A 是数列 的极限记为 ，或者记为 （读作：当n趋向于无穷大时，的极限等于A）.若数列存在极限，称数列是收敛收敛的；若数列没有极限，则称数列是发散发散的 1.2.2 函数极限函数极限1当当 ，函数，函数 的极限的极限定义定义 如果当 无限增大（即 ）时，函数 无限地趋近于某一确定的常数A，那么称常数A是函数 当 时的极限，记为 或解题过程解题过程解题过程解题过程结论结论结论结论由例2我们可以得出下面的结论：例题与注意点例题与注意点例题例题注意点注意点分别作函数图像讨论下列极限分别作函数图像讨论下列极限例例6的结论的结论结论结论思考题思考题返回返回1.3 极限运算法则极限运算法则说明：说明：法则（1）（2）可推广到有限个函数的情况。推论推论例题例题例题例题解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程说明：说明：以上两个均为“”型极限，可通过因式分解、根式有理化消去 分母上的零因子 解题过程解题过程说明说明：这是“”型极限，通过通分转化 思考题思考题（1）（2）解题过程解题过程解题过程解题过程解思考题（1）解思考题（2）其他结论其他结论注：以下结论在极限的反问题中常用 返回返回1.4 两个重要极限两个重要极限首先介绍一个极限存在准则：首先介绍一个极限存在准则：1.4.1 极限：极限：x(弧度)0.500.100.050.040.030.020.95850.99830.99960.99970.99980.9999从上表可以看出：从上表可以看出：例题例题例例1 求 例例2 求例例4 求例例3 求解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解例解例1解例解例2解例解例3解例解例4 设返回例题返回例题1.4.2 极限：极限：2101000100001000002.252.5942.7172.71812.7182-10-100-1000-10000-1000002.882.7322.7202.71832.71828从上表可以得出：从上表可以得出：说明说明说明说明例例5 求求例例6 求求例例7 求求例例8 求求例题例题解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解例解例5解例解例6解例解例7解例解例8返回返回返回例题返回例题1.5 无穷小与无穷大无穷小与无穷大1.5.1 无穷小无穷小1无穷小的定义无穷小的定义注意注意2无穷小的性质无穷小的性质在自变量的同一变化过程中，无穷小具有以下性质：性质性质1 有限个无穷小的代数和仍为无穷小；性质性质2 有限个无穷小的乘积仍为无穷小；性质性质3 有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小；推论推论 常数与无穷小的乘积仍为无穷小。例例1 求求 思考题思考题3无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系 证明略1.5.2 无穷大无穷大 注意点注意点注意：注意：1.5.3 无穷大与无穷小的关系无穷大与无穷小的关系说明说明说明说明例例3 求求例例4 求求例例5 求求解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解例解例3解例解例4解例解例5 因为因为所以所以结论结论返回返回结论结论分析例分析例3例例5的特点和结果，我们可得当自变量的特点和结果，我们可得当自变量趋向于无穷大时有理分式的极限的法则：趋向于无穷大时有理分式的极限的法则：1.5.4 无穷小的比较无穷小的比较已知两个无穷小的和与积仍为无穷小，但两个无穷小的商却会出现不同的结果。例子例子例子例子例子例子例子例子例例10 求求例例11 求求例例12 求求思考题思考题解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程如何求如何求返回返回解题过程解题过程解题过程解题过程返回返回解题过程解题过程返回例题返回例题1.6 函数的连续性函数的连续性1.6.1 函数在一点处连续函数在一点处连续1变量的增量变量的增量2连续的定义连续的定义 所谓“函数连续变化”，在直观上来看，就是它的图象是连续不断的.一点处连续的定义一点处连续的定义例子例子例子例子另有函数在一点处连续的等价形式和左右连续的定义另有函数在一点处连续的等价形式和左右连续的定义例子例子例子例子1.6.2 连续函数及其运算连续函数及其运算1连续函数连续函数2连续函数的运算连续函数的运算注意注意 和、差、积的情况可以推广到有限个函数的情形。3复合函数的连续性复合函数的连续性例如求例如求4初等函数的连续性初等函数的连续性 根据初等函数的定义 由基本初等函数的连续性以及本节有关定理可得下列重要结论重要结论：一切初等函数在其定义区间内都是连续的。所谓定义区间 就是包含在定义域内的区间。例子例子例子例子1.6.3 函数的间断点函数的间断点1间断点的概念间断点的概念2间断点的分类间断点的分类 在第一类间断点中，如果左、右极限存在但不相等，这种间断点称为跳跃间断点跳跃间断点；如果左、右极限存在且相等(即极限存在)，这类间断点称为可去间断点可去间断点.例子例子解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程返回例题返回例题解题过程解题过程返回例题返回例题1.6.4 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 注意注意 如果函数在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值。返回返回第二章第二章 导数和微分导数和微分2.1 导数的概念导数的概念2.2 导数的基本公式和四则运算法则导数的基本公式和四则运算法则2.3 复合函数的导数复合函数的导数2.4 隐函数和参数式函数的导数隐函数和参数式函数的导数2.5 高阶导数和导数的物理含义高阶导数和导数的物理含义2.6 微分微分目录 上页 下页 返回 结束 2.1 2.1 导数的概念导数的概念 2.1.1 两个实例两个实例2.1.2 导数的定义导数的定义2.1.3 导数的几何意义导数的几何意义2.1.4 可导和连续的关系可导和连续的关系目录 上页 下页 返回 结束 1.变速直线运动的瞬时速度变速直线运动的瞬时速度2.1.1 2.1.1 两个实例两个实例考察质点的自由落体运动，其运动规律为自由落体运动目录 上页 下页 返回 结束 9.8000490.000098000490.000019.800490.0009800490.00019.80490.00980490.0019.8490.098490.0110.291.0290.1分别计算 从1s到1.1s、1.01s、1.001s、1.0001s、1.00001s各段时间内的平均速度如下表：目录 上页 下页 返回 结束 观察得到：当 越来越接近于0时，越来越接近于1s 时的速度.目录 上页 下页 返回 结束 一般地，设描述质点运动规律的位移与时间的函数关系为则 到 的平均速度为而在 时刻的瞬时速度为目录 上页 下页 返回 结束 2.曲线的切线斜率曲线的切线斜率割线 的斜率割线 的极限位置 T曲线在 点处的切线(当 时)切线 的斜率目录 上页 下页 返回 结束 两个问题的共性共性:所求量均为函数增量与自变量增量之比的极限.瞬时速度切线斜率2.1.2 2.1.2 导数的定义导数的定义1.函数在一点处可导的概念函数在一点处可导的概念目录 上页 下页 返回 结束 定义2.1 设函数 在 的某个领域内有定义。对应于自变量在处有改变量 （仍在上述邻域内），函数 相应的有改变量 若存在，则称函数 在 处可导，并把这一极限称为函数 在 处的导数，记作 目录 上页 下页 返回 结束 即目录 上页 下页 返回 结束 对导数的定义以下几点说明：对导数的定义以下几点说明：（1）若 不存在，则称函数 在 处不可导或导数不存在；（2）设 ；（3）在点的某个右右(左左)邻域内若极限设函数有定义,目录 上页 下页 返回 结束 则称此极限值为 在 处的右 导数，记作(左左)存在,即 函数在点且可导的充分必要条件是目录 上页 下页 返回 结束 2.2.导函数的概念导函数的概念若函数在开区间 内每点都可导,内可导，此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:就称函数在 注意注意:目录 上页 下页 返回 结束 根据导数的定义，求函数导数的步骤如下：第一步：求函数增量 第二步：求比值 第三步：求极限例例2.1.求函数(C 为常数)的导数.解解目录 上页 下页 返回 结束 例例2.2 求函数解解:一般地，目录 上页 下页 返回 结束 例如，例如，目录 上页 下页 返回 结束 例例2.3 求函数的导数.解解:即类似可证得目录 上页 下页 返回 结束 例例2.4 求函数的导数.解解:即一般地，目录 上页 下页 返回 结束 2.1.3 2.1.3 导数的几何意义导数的几何意义若曲线在点 存在切线，其切线斜率为切线方程为：当切线与 x 轴不垂直.当切线与 x 轴垂直 切线方程为：目录 上页 下页 返回 结束 过切点 与切线垂直的直线称为在 曲线的法线 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.5 求曲线 在点 处的切线和法线方程。解：解：切线方程为：法线方程为：目录 上页 下页 返回 结束 例例2.6 求曲线 上平行于直线 的切线方程。解：解：切线方程为：目录 上页 下页 返回 结束 2.1.4 2.1.4 可导和连续的关系可导和连续的关系结论：结论：证证:设在点 x 处可导,存在,因此必有其中故所以函数在点 x 连续.即逆否命题：逆否命题：目录 上页 下页 返回 结束 注意注意:函数在点 x 连续未必可导连续未必可导.反例反例:在 x=0 处连续,但不可导.由上图可知在 x=0 处连续目录 上页 下页 返回 结束 所以在 x=0 处不可导.目录 上页 下页 返回 结束 4.可导必连续,但连续不一定可导;2.导数的定义：1.导数的实质:函数增量与自变量增量比值的极限;3.导数的几何意义:切线的斜率;内容小结目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P41习题2.1（B）1，2,5,6目录 上页 下页 返回 结束 2.2 2.2 导数的基本公式和四则运算法则导数的基本公式和四则运算法则2.2.1 导数的基本公式导数的基本公式2.2.2 导数的四则运算法则导数的四则运算法则目录 上页 下页 返回 结束 2.2.1 2.2.1 导数的基本公式导数的基本公式目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 2.2.2 2.2.2 导数的四则运算法则导数的四则运算法则，则(C为常数)目录 上页 下页 返回 结束 注：（1）、（2）可推广到任意有限项的情形.目录 上页 下页 返回 结束 证证:设,则目录 上页 下页 返回 结束(2)设则有目录 上页 下页 返回 结束 例例2.7 解解:目录 上页 下页 返回 结束 例例2.8 求证证证:目录 上页 下页 返回 结束 类似可证:目录 上页 下页 返回 结束 例例2.9 解解:目录 上页 下页 返回 结束 例例2.10 解解:目录 上页 下页 返回 结束 例例2.11 求曲线 上垂直于直线 的切线方程.解解:由题意，当 时，切线方程为当 时，切线方程为目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.求导基本公式及求导的四则运算法则2.目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P45 习题2.2（B）1，3目录 上页 下页 返回 结束 2.3 2.3 复合函数的导数复合函数的导数复合函数的求导法则复合函数的求导法则法则2.1在点 x有导数 ,在点复合函数且在点 x 可导,有导数 ，则或或目录 上页 下页 返回 结束 简证简证:在点 处可导,在点 处连续,目录 上页 下页 返回 结束 例如,复合函数求导步骤：（1）.分解符合函数；（2）运用求导法则；（3）回代推广推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.目录 上页 下页 返回 结束 例例2.12 求下列函数的导数解解:目录 上页 下页 返回 结束 熟练之后，可以省去分解过程，如下：对中间变量 求导 分解法则 再中间变量 对最终变量 求导 同理中间变量目录 上页 下页 返回 结束 例例2.13 求下列函数的导数解解:中间变量目录 上页 下页 返回 结束 第一中间变量第二中间变量目录 上页 下页 返回 结束 第一中间变量第二中间变量目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.13解解:特别地，目录 上页 下页 返回 结束 例例2.14解解:记号说明：目录 上页 下页 返回 结束 例例2.15.求解解:注：必要时可先对函数进行变形，使其形式便于求导目录 上页 下页 返回 结束 例例2.16求下列函数的导数解解:目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.复合函数求导法则(链式法则)2.复合函数求导步骤：（1）分解（2）法则（3）回代省略函数结构图：目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P49 习题2.3（B）1（奇数项），3目录 上页 下页 返回 结束 2.4 2.4 隐函数和参数式函数的导数隐函数和参数式函数的导数2.4.1 隐函数的导数隐函数的导数2.4.2 参数式函数的导数参数式函数的导数目录 上页 下页 返回 结束 2.4.12.4.1 隐函数的导数隐函数的导数显函数显函数：直接表示 成 的解析式.如如,隐函数：隐函数：由方程可确定 y 关于 x 的函数，但不可显化.如如,再如再如,可确定 y 是 x 的函数,可确定 y 是 x 的函数,并可显化为目录 上页 下页 返回 结束 隐函数求导方法隐函数求导方法:方程两边对 x 求导(含导数 的方程)注意：注意：方程两边对 x 求导时，把 看作 的函数，的函数看作是以 为中间变量的 的复合函数.目录 上页 下页 返回 结束 例例2.17 求由方程所确定的隐函数的导数.解解:方程两边对 x 求导解出得目录 上页 下页 返回 结束 例例2.18 求由方程所确定的隐函数的导数。解解:方程两边对 x 求导解得 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.19 求由椭圆方程在点处的切线方程.解解:椭圆方程两边对 x 求导故切线方程为目录 上页 下页 返回 结束 对数求导法对数求导法:例例2.20 设函数，证明证明证明 函数是由方程所确定的隐函数。两边对求导，得所以 即得：目录 上页 下页 返回 结束 例例2.21 设函数，证明，证明证明 函数 是由方程所确定的隐函数。两边对求导，得1=因为所以故，目录 上页 下页 返回 结束 例例2.22 求的导数.解解:两边取对数,得两边对 x 求导目录 上页 下页 返回 结束 例例2.23 求的导数.解解:两边取对数,得两边对 x 求导目录 上页 下页 返回 结束 1)对幂指函数 ，其中可用对数求导法求导:说明说明:目录 上页 下页 返回 结束 2)有些显函数(多项式子的积或商)用对数求导法求导很方便.例例2.24 设函数，求解解:两边取对数,得两边对 x 求导所以 目录 上页 下页 返回 结束 2.4.2 2.4.2 参数式函数的导数参数式函数的导数若参数方程可确定一个 y 与 x 之间的函数 关系 ,称是由参数方程所确定的函数参数方程所确定的函数.当都存在，且时 目录 上页 下页 返回 结束(此时看成 x 是 y 的函数)当都存在，且时 目录 上页 下页 返回 结束 例例 2.25 求由方程 所确定的函数的导数解解 目录 上页 下页 返回 结束 例例 2.26 求摆线（为常数）上对应于的点M0处的切线方程.的点M0的坐标为又即摆线在M0处的切线斜率为1，故所求的切线方程为：解解 摆线上对应于目录 上页 下页 返回 结束 例例 2.27 以初速度、发射角发射炮弹，已知炮弹的运动规 律是 为重力加速度）的运动方向；的速率（图2-4）（1）求炮弹在任一时刻（2）求炮弹在任一时刻目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 解解 （1）炮弹任一时刻的运动方向，的切线方向，就是指炮弹运动轨迹在时刻而切线方向可由切线的斜率反映.目录 上页 下页 返回 结束（2）炮弹的运动速度是一个向量，设时的速率为，则目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.隐函数求导方法：2.对数求导法：方程两边对 x 求导(含导数 的方程)适用于幂指函数及多个式子连乘,连除表示的函数.目录 上页 下页 返回 结束 参数方程3.参数式函数的求导方法：目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P55 习题2.4（B）1，2，5目录 上页 下页 返回 结束 2.5 2.5 高阶导数和导数的物理含义2.5.1 高阶导数高阶导数2.5.2 导数的物理含义导数的物理含义目录 上页 下页 返回 结束 速度即加速度即引例引例：变速直线运动2.5.1 2.5.1 高阶导数高阶导数目录 上页 下页 返回 结束 定义2.2设函数的导数可导,或即或的二阶导数二阶导数,记作的导数为则称目录 上页 下页 返回 结束 类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为 n 阶导数,或依次类推,分别记作函数的二阶及二阶以上的导数称为函数的高阶导数.目录 上页 下页 返回 结束 例例 2.28 求函数的四阶导数解解 目录 上页 下页 返回 结束 例例 2.29 求函数的阶导数.解解依次类推最后可得 目录 上页 下页 返回 结束 例例 2.30 若存在二阶导数，求函数的二阶导数.解解目录 上页 下页 返回 结束 例例 2.31 求函数的n阶导数.解解 目录 上页 下页 返回 结束 依次类推最后可得 目录 上页 下页 返回 结束 例例 2.32 设隐函数由方程确定，求解解 方程两边对 求导，解得 （）（）目录 上页 下页 返回 结束 再将（1）式两端对求导，解得 （）将（2）代入（3），得目录 上页 下页 返回 结束 例例 2.33 设函数的参数式为求的二阶导数.解解 目录 上页 下页 返回 结束 因为，所以求二阶导数相当于确定的函数的导数，继续应用参数式函数的求导法则，求由参数方程得到 目录 上页 下页 返回 结束 2.5.22.5.2 导数的物理含义导数的物理含义 导数的本质:函数增量与自变量增量比值的极限.类似问题在物理学中有:1、加速度2、线密度3、功率 4、电流强度 是速度增量与时间增量之比的极限 是质量增量与长度增量之比的极限 是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题 是做功增量与时间增量之比的极限目录 上页 下页 返回 结束 1.速度与加速度速度与加速度设物体作直线运动，位移函数，速度函数和加速度函数分别为目录 上页 下页 返回 结束 如设位移函数为（g为重力加速度，取g=9.8m/s2），求时的速度和加速度.则目录 上页 下页 返回 结束 2.线密度线密度设非均匀的线材质量与线材长度有关系，则在处的线密度线密度（即单位长度的质量）从小端开始计长，求中点处的线密度.因为长为处的截面积的直径如图形状的柱形铁棒，铁的密度为7.8g/cm3，d=2cm，D=10cm，目录 上页 下页 返回 结束 所以长为的柱形体体积质量函数：密度函数：中点处的线密度为：目录 上页 下页 返回 结束 3.功率功率单位时间内做的功称为功率功率，若做功函数为，则时的功率.如：质量为的汽车，能在时间内把汽车从静止状态加速到若汽车启动后作匀加速直线运动，求发动机的最大输出功率.加速度目录 上页 下页 返回 结束 汽车的位移函数为：据第二运动定律，汽车受推力为所以推力作功函数为功率函数时达到最大输出功率为马力目录 上页 下页 返回 结束 4.电流电流电流电流是单位时间内通过导体界面的电量，即电量关于时间的变化率，记 为通过截面的电量，为截面上的电流，则 现设通过截面的电量则通过该截面的电流为：目录 上页 下页 返回 结束 1.高阶导数的求法内容小结内容小结 2.导数的物理含义作业作业 P60 习题2.5（B）3，6，7，8，9目录 上页 下页 返回 结束 2.6 微分2.6.1 微分的概念微分的概念2.6.2 微分的基本公式与运算法则微分的基本公式与运算法则2.6.3 微分在数值计算上的应用微分在数值计算上的应用2.6.4 绝对误差与相对误差绝对误差与相对误差目录 上页 下页 返回 结束 2.6.12.6.1 微分的概念微分的概念引例引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?变到边长由其设薄片边长为 x,面积为 A,则面积的增量为当 x 在得增量时,1.微分的定义微分的定义目录 上页 下页 返回 结束 关于x 的线性主部高阶无穷小时为故目录 上页 下页 返回 结束 定义定义2.3:2.3:若函数在点 的增量可表示为(A 为不依赖于x 的常数)的微分微分,则称函数而 称为记作即在点可微可微,目录 上页 下页 返回 结束 结论结论:函数在点 可微的充要条件充要条件是即故证证:“必要性必要性”已知在点 可微,则在点 的可导,且目录 上页 下页 返回 结束“充分性充分性”已知即在点 的可导,则目录 上页 下页 返回 结束 说明说明 (1)当很小时,有近似公式与是等价无穷小,故当时（2）如果函数在某区间内每一点处都可微，处的微分为函数在区间内则称函数在该区间内是可微函数可微函数，一点任（3）表明导数是函数的微分与自变量的的商，故导数也称为微商微商.微分目录 上页 下页 返回 结束 例例 2.34 求函数在处，对应于分别为0.1和0.01时的改变量及微分自变量的改变量解解 在处，当时当时，目录 上页 下页 返回 结束 例例2.35 求函数微分.，.解解目录 上页 下页 返回 结束 2.微分的几何意义微分的几何意义切线纵坐标的增量设函数的图像如图2-7所示，点，在图像上，过分别作 轴，轴的平行，线相交于点，则有向线段 过点 再作图像曲线的切线，设其倾斜角为交于点则有向线段 目录 上页 下页 返回 结束 函数在点处的微分在几何上表示函数图像在点处切线的纵坐标的相应改变量.微分的几何意义微分的几何意义目录 上页 下页 返回 结束 2.6.2 2.6.2 微分的基本公式与运算法则微分的基本公式与运算法则1.微分的基本公式微分的基本公式目录 上页 下页 返回 结束(C 为常数)2.微分的四则运算法则微分的四则运算法则目录 上页 下页 返回 结束 分别可微,的微分为一阶微分形式的不变性一阶微分形式的不变性3.复合函数的微分法则复合函数的微分法则则复合函数故目录 上页 下页 返回 结束 例例2.36 求解解 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.37 已知函数，求 =解解:目录 上页 下页 返回 结束 例例2.38 证明参数式函数的求导公式。的参数方程形式为，其中可导，则：证明证明 设函数当 时，目录 上页 下页 返回 结束 例例2.39 用求微分的方法，求由方程 所确定的隐函数的微分与导数。解解 对方程两端分别求微分，有 即当时，可得即 目录 上页 下页 返回 结束 2.6.32.6.3 微分在数值计算上的应微分在数值计算上的应用用当很小时,使用原则使用原则:得近似等式:目录 上页 下页 返回 结束 特别当很小时,常用近似公式常用近似公式:很小)目录 上页 下页 返回 结束 证明证明:(1)记，则；，则 代入 ,即得目录 上页 下页 返回 结束 例例2.40 求的近似值(精确到第4位小数).解解由 知 目录 上页 下页 返回 结束 的近似值.解解:例例2.41 计算算式属于常用工程公式（1）的类型，必须把写成的形式，其中 易求且较小。因为，所以目录 上页 下页 返回 结束 2.6.4 2.6.4 绝对误差与相对误差绝对误差与相对误差某量的精确值为 A,其近似值为 a,绝对误差：绝对误差：若称为测量 A 的绝对误差限绝对误差限称为测量 A 的相对误差限相对误差限相对误差：相对误差：目录 上页 下页 返回 结束 误差传递公式误差传递公式:已知测量误差限为按公式计算 y 值时的误差故 y 的绝对误差限约为相对误差限约为若直接测量某量得 x,目录 上页 下页 返回 结束 例例2.42 设测得圆钢截面的直径 测量D 的 解解:计算 A 的绝对误差限约为 A 的相对误差限约为圆钢截面积,试估计面积的误差.绝对误差限欲利用公式计算(mm)目录 上页 下页 返回 结束 1.微分概念 微分的定义及几何意义 可导可微2.微分运算法则一阶微分形式不变性:3.微分的应用近似计算绝对误差与相对误差内容小结内容小结目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P68 习题2.6（B）2，3，4，5，8 目录 上页 下页 返回 结束 第四章第四章 积分及其应用积分及其应用4.1 积分概述积分概述4.2 直接积分法直接积分法4.3 换元积分法换元积分法4.4 分部积分法分部积分法4.5 广义积分法广义积分法4.6 积分在几何上的应用积分在几何上的应用4.7 积分在物理上的应用积分在物理上的应用4.1 积分概述积分概述4.1.1 积分的定义积分的定义1.单曲边梯形的面积单曲边梯形的面积 所谓单曲边梯形是指将直角梯形的所谓单曲边梯形是指将直角梯形的斜腰换成连续曲线段后的图形斜腰换成连续曲线段后的图形.如图如图4-1：图图4-1如何计算上述图形的面积呢？如何计算上述图形的面积呢？适当选取直角坐标系，将曲边梯形适当选取直角坐标系，将曲边梯形的一直腰放在的一直腰放在x轴上，两底边为轴上，两底边为 x=a,x=b,设曲设曲不妨设不妨设如图如图边的方程为边的方程为 y=f(x).，且且上连续上连续。4-2：图图4-2具体做法如下：具体做法如下：（1）化整为微）化整为微 任取一组分点任取一组分点将区间将区间分成分成n个小区间：个小区间：第第i个小区间的长度为个小区间的长度为第第i个小曲边梯形的面积为个小曲边梯形的面积为。，过各个分点作过各个分点作x轴的垂线，将原来的曲边梯形分成轴的垂线，将原来的曲边梯形分成n个小曲边梯形，个小曲边梯形，（2）微量近似）微量近似 在每一个小区间在每一个小区间上任取一点上任取一点，（3）积微为整）积微为整 将将n个小矩形面积相加，作为原曲边梯形面积个小矩形面积相加，作为原曲边梯形面积的近似值的近似值 ，当，当时，时，（4）极限求精）极限求精 设设原曲边梯形的面原曲边梯形的面积为积为。.积分的定义积分的定义 注意下面的讨论：注意下面的讨论：以以表示以表示以为底边的曲边梯形的面积为底边的曲边梯形的面积则所求面积则所求面积，因为因为由连续函数的介值定理，存在由连续函数的介值定理，存在，使，使 当当 因为因为连续，所以连续，所以，所以，所以 。虽然，以上所讨论的只是一个求曲边梯形面积的数学模型，虽然，以上所讨论的只是一个求曲边梯形面积的数学模型，但这种局部以直代曲（以小矩形面积代替小曲边梯形面积），但这种局部以直代曲（以小矩形面积代替小曲边梯形面积），然后相加并求极限的思想，正是微积分的精华所在。然后相加并求极限的思想，正是微积分的精华所在。为此，可以有如下定义：为此，可以有如下定义：定义定义4.1 设函数设函数在区间在区间上连续，且上连续，且，则，则 表示表示在在牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式或或微积分基本公式微积分基本公式.其中，其中，称为被积函数，称为被积函数，a和和b分别称为积分下限和积分上限，分别称为积分下限和积分上限，称为积分表达式，称为积分表达式，为积分变量，为积分变量，称为积分区间称为积分区间.上的积分上的积分.这个式子就是这个式子就是有名的有名的例例求求.解解 因为因为，所以，所以 .原式原式=例例求求解解 因为因为 .，所以，原式所以，原式=图图4-34.1.2 积分的几何意义积分的几何意义如果如果在在上连续且非负，则上连续且非负，则恰好表示由曲线恰好表示由曲线，直线，直线以及以及轴所围图形的面积轴所围图形的面积.如图如图4-3：图图4-4如果如果在在上连续且非正，则上连续且非正，则恰好表示由曲线恰好表示由曲线，直线，直线以及以及轴所围图形轴所围图形面积的负值面积的负值.如图如图4-4：图图4-5一般的情况下，如果一般的情况下，如果在在上连续，则上连续，则表示由曲线表示由曲线，直线，直线以及以及轴所围图形面积的代数值轴所围图形面积的代数值.如图如图4-5：4.1.3 积分的性质积分的性质由积分的定义，可以推出积分具有以下一些性质由积分的定义，可以推出积分具有以下一些性质（假设被积函数在积分区间上连续）：（假设被积函数在积分区间上连续）：性质性质（常数性质）（常数性质）.性质性质（反积分区间性质）（反积分区间性质）.性质性质（线性性质）（线性性质）性质性质（积分区间的可加性）（积分区间的可加性）性质性质（有序性）如果在区间（有序性）如果在区间上有上有则则.性质性质（积分估值性质）设函数（积分估值性质）设函数，则，则性质性质（积分中值定理）在（积分中值定理）在内至少存在一个内至少存在一个（中值），使（中值），使图图4-6这个性质的几何解释是明显的（如图这个性质的几何解释是明显的（如图4-6）：）：若若在在上连续且非负，在上连续且非负，在内至少存在一点内至少存在一点，使得以，使得以为底，高为为底，高为的矩形面积等于以的矩形面积等于以为底边，曲线为底边，曲线为曲边的曲边梯形的面积为曲边的曲边梯形的面积.返回返回4.2 直接积分法直接积分法4.2.1 原函数的定义原函数的定义如果如果在在上连续，则必存在上连续，则必存在，使得，使得.我们称我们称为为在在上的一个上的一个原函数原函数.例如：例如：，所以，所以就是就是的一个原函数，又比如的一个原函数，又比如（C为常数），所以为常数），所以的原函数不止一个，而是的原函数不止一个，而是为为的一个原函数，则的一个原函数，则的全部原函数为的全部原函数为（C为常数），我们可以记为为常数），我们可以记为日微分中值定理的推论知道，若日微分中值定理的推论知道，若无穷多个无穷多个.由拉格朗由拉格朗图图4-7上述表达式也可称为上述表达式也可称为的不定积分，其几何意义是很明显的：的不定积分，其几何意义是很明显的：表示一个曲线族表示一个曲线族.如图如图4-7：平行于平行于轴的直线与族中每一条曲线的轴的直线与族中每一条曲线的，因此，曲线族，因此，曲线族交点处的切线斜率都等于交点处的切线斜率都等于可以由一条曲线通过平移得到可以由一条曲线通过平移得到.由导数或微分的基本公式可直接得到如下原函数的计算公式：由导数或微分的基本公式可直接得到如下原函数的计算公式：直接积分法的定义直接积分法的定义4.2.2 另外，若另外，若和和都存在原函数都存在原函数和和，因为，因为所以所以由上述由上述13个基本公式结合个基本公式结合4-1中的积分性质中的积分性质3或上面这个公式，或上面这个公式，同时对被积函数进行恒等变换而进行的积分运算称为同时对被积函数进行恒等变换而进行的积分运算称为直接积分法直接积分法.例例1计算计算.解解 因为因为 所以，原式所以，原式=，例例2计算计算.解解 因为因为所以，原式所以，原式=例例3计算计算 解解 原式原式=例例4计算计算 解解 原式原式=例例5 计算计算 解解 原式原式=例例6 计算计算 解解 原式原式=返回返回4.3 换元积分法换元积分法 4.3.1 第一换元积分法第一换元积分法定理定理设设.则则例例计算下列积分：计算下列积分：（）（）；（）（）（）（）；（）；（）.；上述题目都有一个共同的特征：将上述题目都有一个共同的特征：将写成写成我们也称此种方法为我们也称此种方法为凑微分法凑微分法.凑微分法可以进行换元也凑微分法可以进行换元也进行换元，不换元则不必换积分上下限，而换元则必换限进行换元，不换元则不必换积分上下限，而换元则必换限.可以不可以不常用的微分式子有以下一些（常用的微分式子有以下一些（c为常数）：为常数）：在应用凑微分法熟练之后，可以省略在应用凑微分法熟练之后，可以省略直接写出结果直接写出结果 这一步，这一步，例例2计算计算 解解 例例3计算计算解解 例例4计算计算 解解 例例5计算计算解解注意：注意：例例6计算计算解解 4.3.2 第二换元积分法第二换元积分法定理定理.则则 例例7计算计算 解解 令令所以所以 例例8计算计算解解 令令所以所以思考一下思考一下，例，例8中中t的积分区间可以取成的积分区间可以取成怎