吉林大学工程数学计算方法习题答案.doc

第三章习题答案
1. 分别用梯形公式、Simpson公式、Cotes公式计算积分计误差。
解：1）用梯形公式有：

事实上，

2）Simpson公式

事实上，
3）由Cotes公式有：

事实上，
2．证明Simpson公式具有三次代数精度。
证明：

而当时
左侧：
右侧：

左侧不等于右侧。所以Simpson具有三次代数精度.

3.分别用复化梯形公式和复化公式Simpson计算下列积分.
(1)，（3），

解：（1）用复化梯形公式有：
，由复化Simpson公式有：

解：删去

解（3）： 由复化梯形公式有：

由复化公式有：

（4）解：
由复化梯形公式：

由复化Simpson公式：

4．给定求积节点试推出计算积分的插值型求积公式，并写出它的截断误差。
解：

考虑到对称性，有，于是有求积公式

由于原式含有3个节点，故它至少有2阶精度。考虑到其对称性，可以猜想到它可能有3阶精度。事实上，对原式左右两端相等：

此外，容易验证原式对不准确，故所构造出的求积公式有3阶精度。
5．给定积分。
（1） 利用复化梯形公式计算上述积分值，使其截断误差不超过
（2） 取同样的求积节点，改用复化Simpson公式计算时，截断误差是多少？
（3） 如果要求截断误差不超过，那么使用复化Simpson公式计算时，应将积分区间分成多少等分？

解：(1)
=,
当误差时，25.6, 所以取=26。

（2）

6．用Romberg求积方法计算下列积分，使误差不超过。
（1）；（2）；（3）;(4)
解（1）：

计算可以停止。
解（2）：

（3）解:

解（4）:

7．推导下列三种矩形求积公式：

证明：将在处Taylor展开，得

两边在上积分，得

将在处Taylor展开，得

两边在上积分，得

将在处Taylor展开，得

两边在上积分，得

8．如果证明用复化梯形公式计算积分所得结果比准确值大，并说明其几何意义。
证明：复化梯形公式为

若在上连续，则复化梯形公式的余项为

由于且

所以使

则(1)式成为：

又因为所以
即用复化梯形公式计算积分所得结果比准确值大。
其几何意义：曲线在定义域内是向下凹的，即曲线在曲线上任两点连线的下方。

9．对构造一个至少具有三次代数精度的求积公式。
解：因为具有4个求积节点的插值型求积公式，至少有三次代数精度。如果在上取节点0，1，2，3，则插值型求积公式为：

　　　　其中系数为　

　　　　　同理求得　　
　　　　　即有：　　
10．判别下列求积公式是否是插值型的，并指明其代数精度：

解：插值型求积公式
其中
则
因此，是插值型的求积公式。
因其求积公式是插值型的，且存在2个节点，所以其代数精度至少是1。
对于时，

可见它对于不准确成立，故该求积公式的代数精度是1。
11．构造下列求积公式，并指明这些求积公式所具有的代数精度：

解（1）：令原式对于准确成立，于是有

解之得 ， 于是有求积公式

容易验证，它对于不准确成立，故该求积公式的代数精度是1。
解（2）：令原式对于准确成立，于是有

解之得 于是有求积公式

容易验证当时，而

可见，它对于不准确成立，故该求积公式的代数精度是3。
解(3)：令原式对于准确成立，于是有
解得:
于是有求积公式
容易验证，当时，而
可见，它对于不准确成立，故该求积公式的代数精度是2。

12. 利用代数精度方法构造下列两点Gauss求积公式：

解（1）：令原式对于准确成立，于是有

利用的第1式，可将第2式化为

　　　　　　同样，利用第2式化简第3式，利用第3式化简第4式，分别得

由式消去得

　　　　　进一步整理

　　　　　由此解出　
　　　　　　　解得　　　
　　因此所求的两点Gauss求积公式：

或依下面的思想：

解（2）：令原式对于准确成立，于是有

利用的第1式，可将第2式化为

　　　　　同样，利用第2式化简第3式，利用第3式化简第4式，分别得

由式消去得

　　　　　进一步整理

　　　　　由此解出　
　　　　　　　解得：　　　
　　因此所求的两点Gauss求积公式：

或依下面的思想：

13．分别用三点和四点Gauss－Chebyshev求积公式计算积分，并估计误差。

解：用三点Gauss-Chebyshev求积公式来计算：
　　　此时，

　　　由公式可得：

由余项可估计误差为　　　
用四点Gauss-Chebyshev求积公式来计算：
　　此时，

由余项可估计误差为　
14．用三点求积公式计算积分，并估计误差。
解：作变换则得

　　　由三点Gauss-Legendre公式：

其估计误差为：
,（）。其准确值　
其准确误差等于：