2023年全国初中数学竞赛试题及参考答案8.doc

中华人民共和国教导学会中学数学教学专业委员会“数学周报杯”初中数学竞赛试题参照答案一、选用题（共5小题，每题6分，满分30分. 如下每道小题均给出了代号为A，B，C，D四个选项，其中有且只有一种选项是对旳. 请将对旳选项代号填入题后括号里. 不填、多填或错填得零分）1方程组解个数为（ ）（A）1 （B） 2 （C） 3 （D）4答：（A）解：若0，则于是，显然不也许若，则 于是，解得，进而求得因此，原方程组解为只有1个解故选（A） 2口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法种数是（ ）（A） 14 （B） 16 （C）18 （D）20答：（B）解：用枚举法： 红球个数 白球个数 黑球个数 种 数 5 2，3，4，5 3，2，1，0 4 4 3，4，5，6 3，2，1，0 4 3 4，5，6，7 3，2，1，0 4 2 5，6，7，8 3，2，1，0 4因此，共16种故选（B）3已知为锐角三角形，通过点B，C，且与边AB，AC分别相交于点D，E 若半径与外接圆半径相等，则一定通过（ ）（A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心答：（B）解： 如图，连接BE，由于为锐角三角形，因此，均为锐角又由于半径与外接圆半径相等，且为两圆公共弦，因此于是，（第3题答案图）若外心为，则，因此，一定过外心故选（B）4已知三个有关x一元二次方程，恰有一种公共实数根，则值为（ ）（A） 0 （B）1 （C）2 （D）3答：（D）解：设是它们一种公共实数根，则，把上面三个式子相加，并整顿得由于，因此于是故选（D）5方程整数解（x，y）个数是（ ） （A）0 （B）1 （C）3 （D）无穷多答：（A）解：原方程可化为，由于三个持续整数乘积是3倍数，因此上式左边是3倍数，而右边除以3余2，这是不也许因此，原方程无整数解故选(A).二、填空题（共5小题，每题6分，满分30分）6如图，在直角三角形ABC中，CA4点P是半圆弧AC中点，连接BP，线段BP把图形APCB提成两某些，则这两某些面积之差绝对值是 答：4解：如图，设AC与BP相交于点D，点D有关圆心O对称点记为点E，线段BP把图形APCB提成两某些，这两某些面积之差绝对值是BEP面积，即BOP面积两倍而（第6题答案图）因而，这两某些面积之差绝对值是47如图，点A，C都在函数图象上，点B，D都在轴上，且使得OAB，BCD都是等边三角形，则点D坐标为 答：（，0） （第7题答案图）解：如图，分别过点A，C作x轴垂线，垂足分别为E，F设OEa，BFb， 则AE，CF，因此，点A，C坐标为（，），（2b，），因此 解得因而，点D坐标为（，0）8已知点A，B坐标分别为（1，0），（2，0） 若二次函数图象与线段AB恰有一种交点，则取值范围是 答：，或者解：分两种状况：（）由于二次函数图象与线段AB只有一种交点，且点A，B坐标分别为（1，0），（2，0），因此，得由，得，此时，符合题意；由，得，此时，不符合题意（）令，由鉴别式，得当时，不合题意；当时，符合题意综上所述，取值范围是，或者9如图，则n 答：6解：如图，设AF与BG相交于点Q，则，于是（第9题答案图）因此，n610已知对于任意正整数n，均有，则 答：解：当2时，有 ，两式相减，得 ，因此 因而 三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）11（A）已知点M，N坐标分别为（0，1），（0，1），点P是抛物线上一种动点（1）判断以点P为圆心，PM为半径圆与直线位置关系；（2）设直线PM与抛物线另一种交点为点Q，连接NP，NQ，求证：解：（1）设点P坐标为，则PM;又由于点P到直线距离为，因此，以点P为圆心，PM为半径圆与直线相切 5分（第11A题答案图）（2）如图，分别过点P，Q作直线垂线，垂足分别为H，R由（1）知，PHPM，同理可得，QMQR由于PH，MN，QR都垂直于直线，因此，PHMNQR，于是 ，因此 ，因而，RtRt于是，从而 15分 12（A）已知a，b都是正整数，试问有关x方程是否有两个整数解？假如有，请把它们求出来；假如没有，请给出证明.解：不妨设b，且方程两个整数根为()，则有因此 ，. 5分由于,b都是正整数，因此x1，x2均是正整数，于是，0,0，1,1，因此 或 （1）当时，由于a,b都是正整数，且b，可得a1，b3，此时，一元二次方程为，它两个根为，（2）当时，可得a1，b1，此时，一元二次方程为，它无整数解.综上所述，当且仅当a1，b3时，题设方程有整数解，且它两个整数解为， 15分13（A）已知AB为半圆O直径，点P为直径AB上任意一点以点A为圆心，AP为半径作A，A与半圆O相交于点C；以点B为圆心，BP为半径作B，B与半圆O相交于点D，且线段CD中点为M求证：MP分别与A和B相切（第13A题答案图）证明：如图，连接AC，AD，BC，BD，并且分别过点C，D作AB垂线，垂足分别为，则CEDF由于AB是O直径，因此在Rt和Rt中，由射影定理得， 5分两式相减可得 ，又 ，于是有 ，即 ，因此，也就是说，点P是线段EF中点因而，MP是直角梯形中位线，于是有，从而可得MP分别与A和B相切15分14（A）（1）与否存在正整数m，n，使得？（2）设(3)是给定正整数，与否存在正整数m，n，使得？解：（1）答案与否认若存在正整数m，n，使得，则，显然，于是，因此，不是平方数，矛盾 5分（2）当时，若存在正整数m，n，满足，则，而，故上式不也许成立 10分当4时，若（t是不不不小于2整数）为偶数，取，则 ， ，因而这样（m，n）满足条件若1（t是不不不小于2整数）为奇数，取，则 ， ，因而这样（m，n）满足条件 综上所述，当时，答案与否认；当4时，答案是必然 15分 注：当4时，构造例子不是唯一11（B）已知抛物线：和抛物线：相交于A，B两点. 点P在抛物线上，且位于点A和点B之间；点Q在抛物线上，也位于点A和点B之间. （1）求线段AB长；（2）当PQy轴时，求PQ长度最大值解：（1）解方程组得 因此，点A，B坐标分别是（-2，6），（2，-6）于是5分（2）如图，当PQy轴时，设点P，Q坐标分别为， ， ，因而 PQ8，当时等号成立，因此，PQ长最大值8 （第11B题答案图） 15分12（B）实数a，b，c满足abc，且，abc1求最大实数k，使得不等式恒成立解：当，时，实数a，b，c满足题设条件，此时4 5分下面证明：不等式对满足题设条件实数a，b，c恒成立由已知条件知，a，b，c都不等于0，且由于，因此 由一元二次方程根与系数关系知，a，b是一元二次方程两个实数根，于是0，因此 10分因而 15分13（B）如图，点E，F分别在四边形ABCD边AD，BC延长线上，且满足若，延长线相交于点，外接圆与外接圆另一种交点为点，连接PA，PB，PC，PD求证：（1）；（2）证明：（1）连接PE，PF，PG，由于，因此又由于，因此，于是有 ，从而 ，因此 （第13B题答案图）又已知，因此， 10分（2）由于，结合（1）知，从而有 ，因此，因而 15分14（B）证明：对任意三角形，一定存在两条边，它们长u，v满足1证明：设任意ABC三边长为a，b，c，不妨设若结论不成立，则必有， 5分 记，显然，代入得，令，则 由，得，即，于是由得， 由，得，此式与矛盾从而命题得证 15分袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈