二项期权定价模型.DOC

金融创新
分 析 师：高谦
报告类型：可转换债券研究
二项期权定价模型

摘要：
在可转债的定价过程中，期权部分的定价最为复杂，本文介绍了对可转债价值中期权部分的一种定价方法——二项期权定价模型，以单一时期内买权定价为例进行了。
一般来说，二项期权定价模型（binomal option price model， BOPM）的基本假设是在每一时期股价的变动方向只有两个，即上升或下降。BOPM的定价依据是在期权在第一次买进时，能建立起一个零风险套头交易，或者说可以使用一个证券组合来模拟期权的价值，该证券组合在没有套利机会时应等于买权的价格；反之，如果存在套利机会，投资者则可以买两种产品种价格便宜者，卖出价格较高者，从而获得无风险收益，当然这种套利机会只会在极短的时间里存在。这一证券组合的主要功能是给出了买权的定价方法。与期货不同的是，期货的套头交易一旦建立就不用改变，而期权的套头交易则需不断调整，直至期权到期。

一、对股票价格和期权价格变化的描述
假设股票当期（t＝0）的价格S为100元，时期末（t＝1）的价格有两种可能：若上升，则为120元，记做uS；若下降，则为90元，记做dS。执行价格为110元。相对应地来看，期权价格则分别记做、、，则在t＝1时，、分别等于max（120－110，0）、max（90－110，0），即10元和0。此时的状态可以用下图描述：

uS＝120 股价上升时

S＝100

dS＝90 股价下降时

＝10 max（120－110，0）

＝？

＝0 max（90－110，0）

二、构建投资组合求解买权
（一）构建投资组合
在上图中，唯一需要求解的是。为求解，也即给t＝0时的买权定价，可以证明的价格可以通过建立期权和相关资产的零风险套利交易来得到，具体来说，就是考虑一个包括股票和无风险债券在内的投资组合，该组合在市场上不存在无风险套利机会时等于买权的价格，因此可以用来模拟买权的价格。
我们可以考虑这样一个投资组合：
（1） 以价格卖出一份看涨期权；
（2） 以价格100买入0.333股股票；
（3） 以无风险利率8％借入27.78元。
（二）投资组合的净现金流分析
根据上述投资组合，可以得到t＝0时期的净现金流为：－（0.333100+27.78）。根据前述对股票和期权价格变化的描述，在到期日时会出现两种可能的结果，这两种结果在到期日时的现金流可以描述如下：

股价上升时的现金流
股价下跌时的现金流
买进一份看涨期权
－10（由max【120－110】得到）
0（由max【90－110】得到）
股票变现
40（由0.333120得到）
30（由0.33390得到）
偿付贷款
－30（由－27.781.08得到）
－30（由－27.781.08得到）
净现金流
0
0
这表明，不管相关资产的价格是上升还是下降，这个投资组合的最终结果都一样，其净现金流均为零，该投资组合被称为零风险套头交易。如果该组合的最终结果为零，那么开始获得此组合的适当价格也应为零，也即－（0.333100+27.78）＝0，由此可以解出：＝5.55。
三、对t＝0时期买权价格变化的动态分析
如前所述，投资组合的最终净现金流为零，并由此得到了期权的最初价格。那么，如果期权的最初价格高于或低于这个价格时会出现什么情况呢？
首先，假设买权的价格高于5.55元，为10元，则投资者以10元的价格卖空买权，并同时构建前述投资组合，在t＝0时期，投资者的净现金流入或净盈利为10－（0.333100－27.78）＝4.45元。到期以后，投资者的净现金流为零，也就是说投资者在初期可以获得4.45元的无风险利润。如果市场上存在大量的套利者，这中非均衡状态是不可能持久的，买权价格最终将会调整到均衡状态。
其次，如果买权的价格低于5.55元，比如为3元，这时投资者将购买一份买权，同时卖空0.333股股票，以及在8％的利率水平上投资27.78元。在t＝0时，投资者的净现金流量为：－3＋（0.333100－27.78）＝2.55元。而在年底，入下表所示，其净现金流仍然为零。这说明，投资者在构建这样一个零风险套头交易以后，只要市场上买权的价格低于均衡价格，投资者就可以在初期获取无风险收益，而在到期日时无论股价如何变化，都不会产生损失。当然，与前述情况一样，这种状态不会持久，最终将会调整到均衡状态。

股价上升时的现金流
股价下跌时的现金流

卖出进一份看涨期权
10（由max【120－110】得到）
0（由max【90－110】得到）
偿付卖空股票
－40（由－0.333120得到）
－30（由－0.33390得到）
收回投资
30（由－27.781.08得到）
30（由27.781.08得到）
净现金流
0
0

四、单一时期内买权定价的一般推导
抛开特殊例子，考虑一个一般性的证券组合：
（1） 以价格卖出一份看涨期权；
（2） 以价格S买入N股股票；
（3） 投资在无风险债券上。
这里的参数N和的取值均为满足零风险套头交易的特定取值，不管相关资产价格在到期日时是上升还是下降。无风险利率为R因为初始现金流为零，则有：
－（NS+）＝0 （1）
假设在到期日时股票价格只有上升和下降两种可能的情况，那么可以设立方程组：
－（NuS－R）＝0 （2）
－（NdS－R）＝0 （3）
可以解出：
N＝
＝
将N、带入（1）可以解出：
＝
其中，如果假设：p＝，则：
＝
p为股票价格变化的概率，即股票价格以概率p上升到uS，而股票价格下降为dS的概率则为1－p。
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