2023年考研数学三真题及全面解析.doc

1996年全国硕士硕士入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1) 设方程确定是函数,则_. (2) 设,则_.(3) 设是抛物线上一点,若在该点切线过原点,则系数应满足关系是_. (4) 设,其中.则线性方程组解是_.(5) 设由来自正态总体容量为9简朴随机样本,得样本均值,则未知参数置信度为0.95置信区间为_.二、选择题(本题共5小题,每题3分,满分15分.每题给出四个选项中,只有一项符合题目规定,把所选项前字母填在题后括号内.)(1) 累次积分可以写成 ( )(A) (B) (C) (D) (2) 下述各选项对的是 ( )(A) 若和所有收敛,则收敛(B) 收敛,则和所有收敛(C) 若正项级数发散,则(D) 若级数收敛,且,则级数也收敛(3) 设阶矩阵非奇异(),是矩阵伴随矩阵,则 ( )(A) (B) (C) (D) (4) 设有任意两个维向量组和,若存在两组不全为零数 和,使,则( )(A) 和所有线性有关(B) 和所有线性无关(C) 线性无关(D) 线性有关(5) 已知且,则下列选项成立是( )(A) (B) (C) (D) 三、(本题满分6分)设其中有二阶持续导数,且.(1)求；(2)讨论在上持续性.四、(本题满分6分)设函数,方程确定是函数,其中可微；,持续,且.求.五、(本题满分6分)计算.六、(本题满分5分)设在区间上可微,且满足条件.试证:存在使七、(本题满分6分)设某种商品单价为时,售出商品数量可以表达成,其中均为正数,且.(1) 求在何范围变化时,使对应销售额增长或减少.(2) 要使销售额最大,商品单价应取何值?最大销售额是多少?八、(本题满分6分)求微分方程通解.九、(本题满分8分)设矩阵.(1) 已知一种特性值为3,试求；(2) 求矩阵,使为对角矩阵.十、(本题满分8分)设向量是齐次线性方程组一种基础解系,向量不是方程组解,即.试证明:向量组线性无关.十一、(本题满分7分)假设一部机器在一天内发生故障概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周5个工作日里无端障,可获利润10万元；发生一次故障仍可获得利润5万元；发生两次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元.求一周内期望利润是多少?十二、(本题满分6分)考虑一元二次方程,其中分别是将一枚色子(骰子)接连掷两次前后出现点数.求该方程有实根概率和有重根概率.十三、(本题满分6分)假设是来自总体X简朴随机样本；已知.证明：当充足大时,随机变量近似服从正态分布,并指出其分布参数.1996年全国硕士硕士入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题共5小题,每题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)(1)【答案】【解析】措施1：方程两边取对数得,再两边求微分,.措施2：把变形得,然后两边求微分得,由此可得 (2)【答案】【解析】由,两边求导数有,于是有 .(3)【答案】(或),任意【解析】对两边求导得因此过切线方程为即又题设知切线过原点,把代入上式,得即由于系数,因此,系数应满足关系为(或),任意.(4)【答案】【解析】由于是范德蒙行列式,由知.根据解和系数矩阵秩关系,因此方程组有唯一解.根据克莱姆法则,对于,易见 因此解为,即.【有关知识点】克莱姆法则：若线性非齐次方程组或简记为 其系数行列式,则方程组有唯一解其中是用常数项替代中第列所成行列式,即.(5)【答案】【解析】可以用两种措施求解：(1)已知方差,对正态总体数学期望进行估计,可根据因,设有个样本,样本均值,有,将其原则化,由公式得：由正态分布分为点定义可确定临界值,进而确定对应置信区间.(2)本题是在单个正态总体方差已知条件下,求期望值置信区间问题.由教材上已经求出置信区间,其中,可以直接得出答案.措施1：由题设,可见查原则正态分布表知分位点本题, , 因此,根据 ,有,即 ,故置信度为0.95置信区间是 .措施2：由题设,查得, 代入得置信区间.二、选择题(本题共5小题,每题3分,满分15分.每题给出四个选项中,只有一项符合题目规定,把所选项前字母填在题后括号内.)(1)【答案】(D)【解析】措施1：由题设知,积分区域在极坐标系中是1即是由和轴在第一象限所围成平面图形,如右图.由于最左边点横坐标是,最右点横坐标是1,下边界方程是上边界方程是,从而直角坐标表达是故(D)对的.措施2：采用逐渐淘汰法.由于(A)中二重积分积分区域极坐标表达为而(B)中积分区域是单位圆在第一象限部分,(C)中积分区域是正方形因此,她们所有是不对的.故应选(D).(2)【答案】(A)【解析】由于级数和所有收敛,可见级数收敛.由不等式及比较鉴别法知级数收敛,从而收敛.又由于即级数收敛,故应选(A).设,可知(B)不对的.设,可知(C)不对的.设,可知(D)不对的.注：在本题中命题(D)“若级数收敛,且,则级数也收敛.”不对的,这表明：比较鉴别法适合用于正项级数收敛(或级数绝对收敛)鉴别,但对任意项级数一般是不合用.这是任意项级数和正项级数收敛性鉴别中一种主线辨别.(3)【答案】(C)【解析】伴随矩阵基础关系式为,现将视为关系式中矩阵,则有.措施一：由及,可得故应选(C).措施二：由,左乘得,即.故应选(C).(4)【答案】(D)【解析】本题考察对向量组线性有关、线性无关概念理解.若向量组线性无关,即若,必有.既然和不全为零,由此推不出某向量组线性无关,故应排除(B)、(C). 一般状况下,对于不能保证必有及故(A)不对的.由已知条件,有,又和不全为零,故线性有关.故选(D).(5)【答案】(B)【解析】依题意因,故有.因此应选(B).注：有些考生错误地选择(D).她们认为(D)是全概率公式,对任何事件所有成立,不过忽视了全概率公式中规定作为条件事件应满足,且是对立事件.【有关知识点】条件概率公式：.三、(本题满分6分)【解析】(1) 由于有二阶持续导数,故当时,也具有二阶持续导数,此时,可直接计算,且持续；当时,需用导数定义求.当时, 当时,由导数定义及洛必达法则,有.因此 (2) 在点持续性要用定义来鉴定.由于在处,有.而在处是持续函数,因此在上为持续函数.四、(本题满分6分)【解析】由可得.在方程两边分别对求偏导数,得因此 .于是 .五、(本题满分6分)【分析】题被积函数是幂函数和指数函数两类不同样函数相乘,应当用分部积分法.【解析】措施1:由于 因此 而 ,故原式.措施2: 六、(本题满分5分)【分析】由结论可知,若令,则.因此,只需证明在内某一区间上满足罗尔定理条件.【解析】令,由积分中值定理可知,存在,使,由已知条件,有于是且在上可导,故由罗尔定理可知,存在使得即【有关知识点】1.积分中值定理：假如函数在积分区间上持续,则在上至少存在一种点,使下式成立：.这个公式叫做积分中值公式.2.罗尔定理：假如函数满足(1)在闭区间上持续；(2)在开区间内可导；(3)在区间端点处函数值相等,即,那么在内至少有一点(),使得.七、(本题满分6分)【分析】运用函数单调性鉴定,假如在某个区间上导函数,则函数单调递增,反之递减.【解析】(1)设售出商品销售额为,则令得 .当时,因此随单价增长,对应销售额也将增长.当时,有,因此随单价增长,对应销售额将减少.(2)由(1)可知,当时,销售额获得最大值,最大销售额为.八、(本题满分6分)【解析】令,则.当时,原方程化为,即,其通解为 或 .代回原变量,得通解.当时,原方程解和时相似,理由如下:令,于是,并且.从而有通解,即.综合得,方程通解为.注：由于未给定自变量取值范围,因此在本题求解过程中,引入新未知函数后得,从而,应当分别对和求解,在类似问题中,这一点应当牢记.九、(本题满分8分)【分析】本题(1)是考察特性值基础概念,而(2)是把实对称矩阵协议于对角矩阵问题转化成二次型求原则形问题,用二次型理论和措施来处理矩阵中问题.【解析】(1)由于是特性值,故因此.(2)由于,要,而是对称矩阵,故可构造二次型,将其化为原则形.即有和协议.亦即.措施一：配措施.由于 那么,令即经坐标变换有 .因此,取 ,有 .措施二：正交变换法.二次型对应矩阵为,其特性多项式.特性值.由,即,和,即,分别求得对应线性无关特性向量,和特性向量.对用施密特正交化措施得,再将单位化为,其中：.取正交矩阵,则 ,即 .十、(本题满分8分)【解析】证法1： (定义法)若有一组数使得 (1)则因是解,知,用左乘上式两边,有. (2)由于,故. 对(1)重新分组为. (3) 把(2)代入(3)得 .由于是基础解系,它们线性无关,故必有.代入(2)式得:.因此向量组线性无关.证法2： (用秩)经初等变换向量组秩不变.把第一列-1倍分别加至其他各列,有因此 由于是基础解系,它们是线性无关,秩,又必不能由线性表出(否则),故.因此 即向量组线性无关.十一、(本题满分7分)【解析】设一周5个工作日内发生故障天数为,则服从二项分布即.由二项分布概率计算公式,有设一周内所获利润(万元),则是函数,且由离散型随机变量数学期望计算公式,(万元).【有关知识点】1.二项分布概率计算公式：若,则, .2.离散型随机变量数学期望计算公式：.十二、(本题满分6分)【解析】一枚色子(骰子)接连掷两次,其样本空间中样本点总数为36.设事件“方程有实根”,“方程有重根”,则.用列举法求有助于样本点个数(),详细做法见下表:有助于意思就是使不等式尽量成立,则需要越大越好,越小越好.当取遍1,2,3,4,5,6时,记录也许出现点数有多少种.B1 2 3 4 5 6有助于样本点数0 1 2 4 6 6有助于样本点数0 1 0 1 0 0由古经典概率计算公式得到【有关知识点】古经典概率计算公式：十三、(本题满分6分)【解析】依题意,独立同分布,可见也独立同分布.由及方差计算公式,有因此,根据中心极限定理极限分布是原则正态分布,即当充足大时,近似服从参数为正态分布.【有关知识点】1.列维-林德伯格中心极限定理,又称独立同分布中心极限定理：设随机变量独立同分布,方差存在,记和分别是它们相似期望和方差,则对任意实数,恒有其中是原则正态分布函数.2.方差计算公式：.