平面曲线对称性的判别方法论文.pdf

word 文档可自由编辑 目录 1 引言.1 2 平面曲线对称性定义.1 2.1由直角坐标方程表示平面曲线对称性的定义.1 2.2由参数方程表示平面曲线对称性的定义.2 2.3由极坐标方程表示平面曲线对称性的定义.4 3 平面曲线对称性判定.4 3.1由直角坐标方程表示平面曲线对称性的判定.4 3.1.1 关于直线对称.4 3.1.2 关于点对称.6 3.1.3 举例.8 3.2由参数方程表示平面曲线对称性的判定.10 3.2.1 关于直线对称.10 3.2.2 关于点对称.12 3.2.3 举例.12 3.3由极坐标方程表示平面曲线对称性的判定.14 3.3.1 对称性判定.14 3.3.2 举例.15 4 结束语.16 参考文献.17 致谢.18 word 文档可自由编辑 平面曲线对称性的判别方法 摘要：平面曲线的对称性对于函数研究具有重要意义。利用函数的奇偶性和导数的有关概念，推导出几个用导数的方法判定函数图像对称性的结论，并通过实例验证了这些结论对判断一般曲线的对称性是方便可行的。本文给出了平面曲线轴对称与点对称的定义和判定定理,指出可以用类似求一元函数极值和拐点的办法判定曲线的对称轴和对称中心,从而平面曲线的对称性可以归结为导数应用问题。关键词：平面曲线，对称性，直角坐标方程，参数方程，极坐标方程。Determine of plane curves symmetry Abstract:Symmetry of plane curve is important to function research.With the relevant concepts about parity of function and derivative,the paper is designed to deduce several conclusions that can measure the symmetry of general curve by derivative method,and test and verify these conclusions are convenient and workable though living examples.This article includes the definition andtheorem of exial symmetry and center symmetry,and also points out that thedetermine of symmetry axisand center of symmetry is similar to calculating extremum and inflexion point of function.So determine ofplane curves symmetry comes down to the application of derivative.Key words:plane curve,symmetry,rectangular coordinate system,parametric equation,polar coordinates equation.word 文档可自由编辑 1 引言 平面曲线对称性这部分知识，渗透在数学的各部分内容中，有着十分广泛的应用。对称性是函数的一条十分重要的性质，应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，这对同学们将所学数学中复杂的知识简单化，起到了很大的作用，对学生的逻辑思维能力和数形结合思想有较高的要求。平面曲线对称性对函数的研究具有重要的意义。在高等数学和数学分析的教学中，涉及到求由直角坐标方程、参数方程和极坐标方程表示的曲线所围成区域的面积，很多时候我们需要知道区域的对称性，以便简化计算。通常我们要画出函数的图像再来确定其对称性，这样既麻烦而且其对称性的得出也不规范。本文将探讨这三种方程所表示的函数曲线对称性的一般方法。本文给出平面曲线轴对称和点对称的定义和判定定理。2 平面曲线对称性定义 2.1由直角坐标方程表示平面曲线对称性的定义 定义 1 设曲线的直角坐标方程为 yf xxD,若存在0 xD,使得 00f xxf xx或 02fxxf x 恒成立,则称曲线 yf x对称于直线0 xx,并且称直线0 xx为曲线 yf x的对称轴。定义 2 设曲线的直角坐标方程为 yf xxD,若存在曲线上的点00,x y,使得：0000yf xxf xxy或 0022f xfxxy 恒成立,则称曲线 yf x对称于点00,x y,并且称点00,x y为曲线 yf x的对称中心。特殊：当00 x 时,式可变为 fxf x;当000 xy时,式可变为word 文档可自由编辑 fxf x 。这便是所说的“偶函数对称于y轴,奇函数对称于原点”。例 1 函数 yf x对一切实数满足 33fxfx，且方程 0f x 恰有6个不同实根，则这6个根的和为()18A12B9C0D 解：33fxfx 的图像由定义可知关于直线3x 对称，故可设6个实根分别为1122333,3,3,3,3,3xxxxxx，则其和为18,因此选A。例 2 求曲线 320f xaxbxcxd x的对称中心。解：设 320f xaxbxcxd x的对称中心为00,x y，则对一切x有：0022f xfxxy 即有：323200002222axbxcxdaxxbxxcxxdy 322220000008126442222axx xx xbxx xxcxdy 232000000036242axb xaxb x xaxbxcxdy 比较等式两边x同次幂的系数，得：030axb 即03bxa 32000042axbxcxdy 即可化简为：2320000003axb xaxbxcxdy 所以可以得到00yf x 所以曲线的对称中心为,33bbfaa。2.2由参数方程表示平面曲线对称性的定义 定义 3 设曲线的参数方程为 xt,yt t D,若存在 t 和常数0 x使得：(1)00 xtx word 文档可自由编辑(2)t 恒成立，则称曲线关于直线0 xx对称。定义 4 设曲线的参数方程为 xt,yt t D,若存在 t 和常数0y使得：(1)00yty (2)t 恒成立，则称曲线关于直线0yy对称。定义 5 设曲线的参数方程为 xt,yt t D,若存在 t 和常数00,x y分别使得：(1)t (2)t 恒成立，则称曲线关于直线0yx对称。定义 6 设曲线的参数方程为 xt,yt t D,若存在 t 和常数00,x y分别使得：(1)t (2)t 恒成立，则称曲线关于直线0yx 对称。定义 7 设曲线的参数方程为 xt,yt t D,若存在 t 和常数00,x y分别使得：(1)00 xtx(2)00yty 恒成立，则称曲线关于点00,x y对称。word 文档可自由编辑 2.3由极坐标方程表示平面曲线对称性的定义 定义 8 设曲线的极坐标方程为 f D,若存在常数0，使得对的一切可取值有：00ff 恒成立，则称曲线 f关于直线0 对称，也称为第一类对称。定义 9 设曲线的极坐标方程为 f D,若存在常数0，使得对的一切可取值有：00ff 恒成立，则称曲线 f关于直线02 对称，也称为第二类对称。3 平面曲线对称性判定 3.1由直角坐标方程表示平面曲线对称性的判定 3.1.1 关于直线对称 定理 1：若函数 f x在0 x 处有意义，且 f x存在，则函数 f x是偶函数（图像关于直线0 x 对称）的充要条件是：f x是奇函数即：fxf x 证明：必要性：因 f x是偶函数，且 f x存在，则 fxf x，并且 0limxfxxfxfxx 0limxf xxf xx 0limxf xxf xx 令tx，因为0 x，所以0t。因此有 0limxf xtf tfxt f x word 文档可自由编辑 所以 f x是奇函数。显然有0 x 时 00f。充分性：由于 f x是奇函数，则 fxf x ，对它进行两边同时积分，则：f x dxfx dxfx dx，即有：12f xCfxC。因当0 x 时，f x有意义，即函数过 0,0f点，所以 1200fCfC从而有12CC。则可得到 fxf x，因而 f x是偶函数 由定理 1 可知 f x是奇函数时，它的原函数 yf xC都是偶函数。推论：若函数 f x为偶函数，且 fx存在，则 fx为偶函数。定理 2：设 yf x在定义域 D 内可导,则 f x有对称轴0 xx的充要条件是：000f xxf xx xD 证明:必要性：由于 f x有对称轴0 xx，则有：00f xxf xx 上式两边同时对x求导得：00f xxf xx 故而有：000f xxf xx 下面论证其充分性。由式积分得:00f xxf xxC 令0 x 得0C。故有：00f xxf xx,即 f x有对称轴0 xx。在式中令0 x 可得00f x 根据定理 2，在函数 yf x的一阶导数存在的条件下，要判断一个一般的word 文档可自由编辑 曲线 yf x是否关于直线0 xx对称，只要令 0f x，解得0 x，再代入式或式检验;若 f x在0 x不可导,则可直接用式判定。从几何上讲，这个定理不仅印证了“轴对称图形上一对对称点处的两条切线有互补的倾角”(即切线也关于此轴对称)这一显著事实,而且反过来表明了这一命题的可逆性。即如果曲线上关于某直线的任意一对对称点处的切线关于此直线对称，那么这条直线就是曲线的对称轴。3.1.2 关于点对称 定理 3：若函数 f x过 0,0点，且 f x存在，则函数 f x是奇函数（图像关于 0,0点对称）的充要条件是：f x是偶函数，即 fxf x。证明：必要性：证法同定理l(略)，现证明充分性:由于 f x是偶函数，所以 fxf x，对它进行两边同时积分有：f x dxfx dxfx dx 则：12f xCfxC 因为 f x过 0,0点，而当0 x 时，0f x，代人知12CC，此时对函数 f x有 f xfx ，故函数 f x是奇函数。由定理 4 表明导函数 f x为偶函数时，它的原函数簇中只有过 0,0点的一个原函数是奇函数，其余均不是奇函数，它们可由过点 0,0的奇函数 yf x加任意常数而得到。推论：若函数 f x为奇函数且 fx存在，则其 fx也是奇函数。定理 4:设曲线 f x在定义域 D 内的二阶导 fx存在,则 f x关于00,xf x点对称的充要条件是：0 xftx是关于t的奇函数，且0t时，00 xfx。word 文档可自由编辑 证明：令 0T tf xf x，0txx 则：0f xT tf x，0 xt x 在以00,Oxf x为原点的坐标系中，曲线 f x变为：00T tf txf x 当0t，00T，即函数 T t过 0,0O 点。因为：000txxtTf txtxf tx 而 000txxtTftxtxftx 由定理3 知函数 00T tf txf x是t的奇函数（图像关于 0,0O 成中心对称）的充要条件是：Tt是t的偶函数。由定理 1 知函数 Tt是t的偶函数的充要条件是：0txTftx是t的奇函数，且0t时，000 xTfx。即函数 f x关于00,xf x点对称的充要条件是0 xftx关于t的奇函数，且0t时，00 xfx。根据定理 4，要判断一条曲线 yf x是否关于其曲线上某一点成中心对称，只要令 0fx，解得0 x，再把0 xt x 代人 fx，如果0 xftx是 t的奇函数，则曲线 yf x关于00,xf x点成中心对称，否则曲线 yf x不关于00,xf x点成中心对称。定理 5：设 yf x在定义域内D可导,则 f x有对称中心00,x y的充要条件是：00f xxf xx xD word 文档可自由编辑 证明:必要性由式对x求导即得。下面论证其充分性。由式积分得:00f xxf xxC 令0 x 得0022Cf xy ,便可推出式。即 f x有对称中心00,x y。这个定理的几何意义也是显然的,即 f x有对称中心00,x y当且仅当曲线上关于00,x y对称的任意一对对称点处的两条切线平行。若 f x在0 x二阶可导,则由式有 0000f xxf xf xxf xxx 令0 x 可得00fx 这说明:欲求 fx的对称中心00,x y,在二阶可导的情况下,可以像求拐点那样进行。先解出方程00fx 的根0 x,再代入式检验或连同00yf x代入式检验;如果 fx在0 x不可导,则可直接用式判定;若在0 x仅一阶可导,则可用式检验。3.1.3 举例 例 1 若是常数，试判断函数 22212xf xe的对称性。解：由题可得：2222xxf xe 而：2222xxfxe 则可知：fxf x 由定理 1 可知 22212xf xe关于直线0 x 对称。例 2 试讨论函数 22x xf xe的对称性。word 文档可自由编辑 解：由题可知：2222x xf xx e 令 0f x，解得：01x 带入式成立，可知01x 是它的对称轴。又有 22222222x xx xfxxee 解得：0212x 分别代入式不成立，则曲线无对称中心。例 3 求曲线 320f xaxbxcxd x的对称性。解：对函数求导得：232f xaxbxc 令 0f x得：2033bbacxa 230bac有：00f xxf xx 2200003232a xxb xxca xxb xxc 22002 326axbxcax 26ax0 由定理 2 可知函数无对称轴。而又有 62fxaxb 令 0fx得：03bxa 方法一：由上述可知：00f xxf xx 2200003232a xxb xxca xxb xxc 0124ax xbx0 word 文档可自由编辑 而：3222927327bbabca dfaa 则由定理 2 可知函数有对称中心3222927,327bbabca daa。方法二：令 03bxxtta 代入 fx得：623bfxa tba6at 可知 fx是t的奇函数，即：fxfx 而：3222927327bbabca dfaa 所以曲线关于点3222927,327bbabca daa对称。3.2由参数方程表示平面曲线对称性的判定 3.2.1 关于直线对称 定理 6 若曲线的参数方程为 xt,ytt D它们满足条件：(1)00t(2)对110tt t,t是 关 于0t点 的 广 义 奇 函 数,即 00tttt ，t是关于0t的广义偶函数,即 00tttt，则曲线关于0 x 对称。证明:令 00,xtt ytt,由条件(2)有：00ttttx ，00tttty 所以参数0tt与0tt所对应的曲线上的点分别为 ,x yx y，,而这两点关于y轴对称.由t的任意性知,曲线关于0 x 对称。word 文档可自由编辑 定理 7 若曲线的参数方程为 xt,ytt D它们满足条件：(1)00t(2)110tt t,t是关于0t点的广义奇函数,即 00tttt ，t是关于0t的广义偶函数,即 00tttt 则曲线关于0y 对称。证法同定理 6 定理8设曲线方程为 xt,yt t D,且 xt,yt在D内可导，若存在 t 使得 0tt ，(1)若 t 满足：00 xtxt 则曲线 xt,yt关于0 xx对称。(2)若 t 满足：00ytyt 则曲线 xt,yt关于0yy对称。定理9设曲线方程为 xt,yt t D,且 xt,yt在D内可导，若存在 t 使得 0tt ，(1)若 t 满足：tt 则曲线 xt,yt关于yx对称。(2)若 t 满足：word 文档可自由编辑 tt 则曲线 xt,yt关于yx 对称。3.2.2 关于点对称 定理 10 若 xt，yt均为奇函数,且 t存在反函数 1tx,则曲线 xt，yt关于 0,0点对称。证 明：xt的 反 函 数 为 1tx,由 于 xt为 奇 函 数,即 ttx ,所以 1tx即 11xx ,t的 反函数 1tx也 为 奇 函 数,于 是 1ytx 也 必 为 奇 函 数,事 实 上 11xxx ，即 yx 为奇函数,所以曲线关于 0,0点对称。定理 11 设曲线方程为 xt,yt t D,且 xt,yt在D内可导，若存在 t 使得：0tt ，若 t 满足：0000 xtxyty 则曲线 xt,yt关于00,x y对称。3.2.3 举例 例 1 判断椭圆的参数式为cos,sinxayb的对称性。解：由椭圆的参数式为cos,sinxayb知，存在2t，使得：cos022xa 对t,有：cos22tat sinat word 文档可自由编辑 cos2at 2t 故 xt关于2为广义奇函数，而 sin22tbt cosbtsin2bt2t 故 yt关于2为广义偶函数，故曲线关于0 x 对称。存在00t,使得椭圆的参数方程满足定理 7,故椭圆关于0y 也对称。例 2 判断曲线35,xt yt的对称性。解：由曲线35,xt yt即：35,xtt ytt 而：tt ，tt 则可知 t和 t均为奇函数，且可知 t存在反函数：1tx 则由定理 10 可知，曲线35,xt yt关于 0,0点对称。例 3 研究摆线sin,1cosxa tt yat的对称性。解：因为：1cos,sinxat yat 将它代入定理 8 有：1cossinsin1cos0aat aat 从而可以推出：2tkt 代入定理 8（1）有：1cos 2yaktt 令：012xt 12sin2sin2aktkta tt k a 可得摆线有对称轴：xk a kZ 而代入定理 8（2）不符合。同理将x，y代入定理 9 和 11 都不满足，所以摆线只有对称轴xk a kZ。word 文档可自由编辑 例 4 研究星形曲线33sec,tanxat yat的对称性。解：因为：3323 sec tan,3 tan secxatt yatt 代入定理 8 可知：3323233 sectan 3 tan sec3 tansec3 sec tan0aattaatt 化简可解得：122,21ktkt 将1，2代入定理 8 的（1），（2）有：33sec 2secaktatt 3tan21aktt 可得：0,0yx。从而可知星形曲线有对称轴0,0 xy。由上可知 0,0是它的对称中心。3.3由极坐标方程表示平面曲线对称性的判定 3.3.1 对称性判定 定理 14 若曲线的极坐标方程为 f,(1)若 f关于2为广义偶函数,即22ff ,则曲线关于0 x 对称。(2)若 f关于32为广义偶函数,即3322ff ,曲线关于0 x 对称。定理 15 若曲线的极坐标方程为 f,(1)若 f为偶函数,即 ff,则曲线关于0y 对称。(2)若 f关于为广义偶函数,即 ff ,则曲线关于0y 对称。word 文档可自由编辑 定理 16 若曲线的极坐标方程为 f,(1)若 ff ,则曲线关于0 x 对称。(2)若ff ,则曲线关于0 x 对称。(3)若22ff ,则曲线关于0y 对称。(4)若3322ff ,则曲线关于0y 对称。定理 17 设曲线的极坐标方程为 f D,若存在常数0，且 f在0的某领域内可导：(1)若有00f，则有第一类对称轴。(2)若有00f，则有第二类对称轴。3.3.2 举例 例 1 判断心形曲线1cosa的对称性。解：因为：1cos1cosaa 1cos1cosaa 则由定理 15 可知曲线关于0y 对称。例 2 判断玫瑰线sin3的对称性。解：由题可知：3cos3 则可令:0,解得：163k 代入定义8 可知：1sin363kf 1sin363kf 则曲线有第一类对称轴163k ，0,1,2,3,4,5k 得到不重合的对称线6word 文档可自由编辑 条：57311,626626 同理可令sin 30，得：23k。由定义 9 可知：2sin33kf 1sin33kf 即可知有第二类对称轴2232k ，0,1,2,3,4k 得不重合的对称线5条。但由于第一类和第二类重合，则共有6 条对称轴：57311,626626。4 结束语 在本文给出了平面曲线轴对称与点对称的定义和判定定理,对数学的学习又很重要的意义，特别是在数学分析中有关曲线和曲面部分的应用。本文指出可以用类似于求一元函数极值和拐点的办法判定曲线的对称轴和对称中心,从而平面曲线的对称性可以应用导数问题来判断。总而言之，对称性问题在解决相关题时又很重要的作用。在中学中没有系统的介绍关于中心对称和轴对称的问题。然而对称思想是一种重要的数学思想方法，因此在高中以及大学的学习中，我们以你注重指导学生掌握一些解决对称性问题的方法，学会一些判断对称性的方法。word 文档可自由编辑 参考文献 1杨峻,刘玉晓,毛凤梅.平面曲线对称性的判定J.平顶山工学院学报,2003,12(3):47-48.2同济大学数学教研室.高等数学M.北京:高等教育出版社,1987.3张文忠.周期函数集萃M.重庆:西南师范大学出版社,1987.4王业勇.关于对称曲线方程的几个定理J.武陵学刊,1999,20(3):85-86.5仇春霖.简明美学原理M.北京:高等教育出版社,1987.6 左 元 斌.试 用 导 数 判 断 曲 线 的 对 称 性 J.盐 城 工 学 院 学报,2001,14(1):71-72.7金玲.关于对称问题J.大庆高等专科学校学报,1997,17(4):15-19.word 文档可自由编辑 致谢 时光如梭，短暂而有意义的四年大学生活即将结束，此时看着毕业设计摆在面前，我感慨万千。它不仅承载了我四年来的学习收获，更让我学会了如何求学、如何进行科学研究甚至如何做人。回想起四年的学习生活，有太多的人给我以帮助与鼓励，教导与交流。在此我将对我的恩师们，还有所有的同学们表示我的谢意！首先，衷心感谢我的恩师们对我的悉心教诲和指导！在这段时间里，我不仅学到了许多专业知识，同时也学习到了他严谨求实、一丝不苟的治学态度和踏踏实实、孜孜不倦的工作精神，它将使我受益终生。在此我对老师的教育和培养表示衷心的感谢！同时我还要感谢学校领导和数学系的师生对我日常生活的关心和帮助，思想上的激励和启发，以及为我提供了良好的学习环境。谢谢你们！最后，我要感谢我的家人在这些年来给予我的大力支持，尤其要感谢我的舍友，正是她们为我仔细检查该文，使得本文更加流畅、整洁。