1、10.2 10.2 一阶线性微分一阶线性微分方程方程可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程形式形式：解法解法为微分方程的解为微分方程的解.分离变量：分离变量：两端积分两端积分例例1 1 求解微分方程求解微分方程解解分离变量分离变量两端积分两端积分例例2 2 求方程求方程 的通解的通解.解解:分离变量：分离变量：两边积分两边积分即即通解为通解为及特解及特解可化为分离变量的微分方程可化为分离变量的微分方程形式形式：其中其中a 和和 b 是常数是常数.作变量代换作变量代换则有则有代入原微分方程，代入原微分方程，有有分离变量：分离变量：已化为可分离变量已化为可分离变量的微分方程的微分方程积分，得：积
2、分，得：换入便得原方程的通解换入便得原方程的通解。例例3 3 求微分方程求微分方程 的通解的通解.解解 作变量代换作变量代换两端对两端对 x 求导，得求导，得于是于是分离变量分离变量积分，得积分，得通解为：通解为：代入代入 便得原方程的通解便得原方程的通解。形式形式：齐次方程齐次方程作变量代换作变量代换则有则有代入原微分方程，有代入原微分方程，有分离变量：分离变量：已化为可分离变量已化为可分离变量的微分方程的微分方程积分，得积分，得两边对两边对x求导求导例例4 4 求微分方程求微分方程 的的通解通解.解解 方程可化为方程可化为作变量代换作变量代换 可得可得可分离变量但不好积分。可分离变量但不好
3、积分。换个位置考虑，将换个位置考虑，将 x 看成函数，看成函数，y 看成自变量，看成自变量，例例4 4 求微分方程求微分方程 的通解的通解.解解方程可化为方程可化为作变量代换：作变量代换：则则代入方程，化简得代入方程，化简得 两端分别积分，得两端分别积分，得即即及及 将将 代入方程得代入方程得 通解：通解：形式：形式：形式形式：形式形式：可分离变量微分方程可化为分离变量的微分方程分离变量分离变量;两边积分两边积分作变量代换作变量代换作变量代换作变量代换形式形式:方程称为方程称为一阶线性一阶线性齐次方程齐次方程。方程称为方程称为一阶线性一阶线性非齐次方程非齐次方程.一阶线性微分方程一阶线性微分方
4、程例如例如线性的线性的;非线性的非线性的.齐次方程的通解为齐次方程的通解为1.线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法(使用分离变量法使用分离变量法)2.线性非齐次方程线性非齐次方程讨论讨论两边积分两边积分非齐次方程通解形式非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比与齐次方程通解相比:常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.作变换作变换一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解解解例例1 1例例2 2 如图所示，平行与如图所示，
5、平行与 轴的动直线被曲线轴的动直线被曲线 与与 截下的线段截下的线段PQ之长数值上等之长数值上等于阴影部分的面积于阴影部分的面积,求曲线求曲线 .两边求导得两边求导得解解解此微分方程解此微分方程所求曲线为所求曲线为形式形式伯努利方程伯努利方程解法解法:需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程.代入上式代入上式解一阶线性微分方程，求出通解后，将解一阶线性微分方程，求出通解后，将 代入即得代入即得解解例例 3例例4 4 用适当的变量代换解下列微分方程用适当的变量代换解下列微分方程:解解所求通解为所求通解为伯努利方程解解分离变量法得分离变量法得所求通解为所求通解为作业作业10-2:14（单）（单）
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