1、1/17对二阶线性偏微分对二阶线性偏微分主部主部特征方程特征方程:a11(dy)2-2a12 dx dy+a22(dx)2=0解得解得:令令积分积分 2/17方程的化简与分类 特征方程的应用特征方程的应用 利用特征线法求解双曲方程利用特征线法求解双曲方程 自变量的非奇异变换自变量的非奇异变换 特征方程的导出特征方程的导出3/17例例1 1 求一维齐次双曲型方程通解求一维齐次双曲型方程通解令令特征线方程特征线方程特征方程的应用特征方程的应用从而从而令令4/17由由引入变换5/176/17代入代入 utt=a2uxx 化简，得化简，得 通解通解 u(x,t)=f(x at)+g(x+at)7/17
2、二阶方程自变量的变换二阶方程自变量的变换:a11uxx+2a12uxy+a22uyy+b1ux+b2uy+cu=f 自变量的非奇异变换自变量的非奇异变换其中其中,是二次连续可微；是二次连续可微；且且引入如下变换引入如下变换8/179/17从而可将原方程化为从而可将原方程化为再考虑引例再考虑引例变量代换其中其中10/17特征方程的导出特征方程的导出特征线方程特征线方程11/17下面分三种情况来讨论：下面分三种情况来讨论：1.在在点点(x0,y0)的某邻域内的某邻域内,如果如果=a122-a11a220,存在两族相异的实特征线：存在两族相异的实特征线：双曲型方程双曲型方程的标准形式的标准形式12/
3、172.在在点点(x0,y0)的某邻域内的某邻域内,如果如果=a122-a11a22=0,3.在在点点(x0,y0)的某邻域内的某邻域内,如果如果=a122-a11a220,抛物型方程抛物型方程的标准形式的标准形式椭圆型方程椭圆型方程的标准形式的标准形式13/171.由由 a11uxx+2a12uxy+a22uyy=0 构造二次方程构造二次方程3.写出新方程及通解写出新方程及通解求解求解,得得2.构造线性变换构造线性变换4.将变换表达式代入得原方程通解将变换表达式代入得原方程通解利用特征线法求解双曲方程利用特征线法求解双曲方程14/17例例2 2 求方程的通解求方程的通解 uxx+2uxy 3uyy=0=1(1)31(-1)+33=8 通解通解:解解:由特征方程由特征方程非奇异变换非奇异变换:15/17例例3.讨论讨论 x2uxx+2xyuxy+y2uyy=0 的类型的类型,并化并化为标准型为标准型,再求通解再求通解.特征方程特征方程判别式判别式:ln y=ln x+C0y=Cx构造变换构造变换:a122 a11a22=(xy)2 x2y2=0 故故,该微分方程为抛物型。该微分方程为抛物型。16/17x2uxx+2xyuxy+y2uyy=0a11a12a22标准型标准型:通解通解:17/17习题习题 2.4(P.36)1:(1)、(4)2:(1)、(3)、(6)
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