1、不不等等式式小小结结第1页/共9页一、基本不等式一、基本不等式基本不等式求最值的条件：一正二定三相等基本不等式求最值的条件：一正二定三相等1.1.积定和最小，和定积最大积定和最小，和定积最大例例1.lgx+lgy=2,1.lgx+lgy=2,求求 的最小值。的最小值。变变1:1:x+y=5,x+y=5,求求3 3x x+3+3y y的最小值。的最小值。变变2:2:2x+y=20(x0,y0),2x+y=20(x0,y0),求求lgx+lgylgx+lgy的最大值。的最大值。第2页/共9页例例2.2.求函数求函数 的最小值。的最小值。变变1:1:求函数求函数 的最小值。的最小值。变变2:2:求函
2、数求函数 的值域。的值域。变变3 3:求函数求函数 的值域。的值域。推广：分式函数求值域。推广：分式函数求值域。2.2.关于关于“1 1”的代换的代换例例.设设x0,y0,x0,y0,且且 求求x+yx+y的最小值。的最小值。变变1:1:a0,b0a0,b0且且a+2b=1,a+2b=1,求求 的最小值。的最小值。变变2:2:若若0 x1,a,b0 x1,a,b为常数，求为常数，求 最小值。最小值。变变2:2:若若0 x ,0 x ,求求 最小值。最小值。3.3.两正数和、积关系（倒数和、平方和）两正数和、积关系（倒数和、平方和）例例1.1.正数正数a,ba,b满足满足ab=a+b+3,ab=
3、a+b+3,求求abab，a+ba+b范围。范围。例例2.2.直角三角形周长为直角三角形周长为1 1，求面积的最大值。，求面积的最大值。变变1:1:求内切圆半径的最大值求内切圆半径的最大值变变2:2:求外接圆半径的最小值求外接圆半径的最小值例例3.Rt3.Rt ABC斜边长为斜边长为2 2，求内切圆半径的最，求内切圆半径的最大值。大值。4.4.三角代换三角代换例例.实数实数a,b,x,ya,b,x,y满足满足a a2 2+b+b2 2=m,x=m,x2 2+y+y2 2=n,=n,求求ax+byax+by最大值最大值五五.恒成立问题恒成立问题例例1.1.求不等式求不等式 恒成立的恒成立的实数实
4、数a a的最小值。的最小值。例例2.2.已知已知 恒恒成立，求成立，求a a的范围。的范围。例例3.3.对任意正实数对任意正实数x,yx,y恒成立，求恒成立，求正数正数a a的最小值。的最小值。六六.应用题应用题例例1.1.某种汽车，购车费用是某种汽车，购车费用是1010万元，每年使用的保险费万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为、养路费、汽油费约为0.90.9万元，年维修费第一年是万元，年维修费第一年是0.20.2万元，以后逐年递增万元，以后逐年递增0.20.2万元。问这种汽车使用多少年万元。问这种汽车使用多少年时，它的平均费用最少？时，它的平均费用最少？例例2.2.一一批赈灾物资随批赈
5、灾物资随2626列货车从上海以列货车从上海以v v公里公里/小时的速小时的速度匀速运往灾区，已知两地铁路线长为度匀速运往灾区，已知两地铁路线长为400400公里，为了公里，为了安全起见，两列货车的间距不得小于安全起见，两列货车的间距不得小于 公里，求这批公里，求这批物资全部运到灾区最快需要多少小时及最省时列车的速物资全部运到灾区最快需要多少小时及最省时列车的速度度.(.(设各列车从上海到灾区的途中都不停车，且不计列设各列车从上海到灾区的途中都不停车，且不计列 车的长度车的长度)例例3.3.甲、乙两地相距甲、乙两地相距S S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过地，速度不得超过c c千米千米/时，已知汽车每小时的运输成时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度分与速度x x（千米（千米/时）的平方成正比，比例系数为时）的平方成正比，比例系数为b b，固定部分为固定部分为a a元，元，（1 1）把全程运输成本）把全程运输成本y y（元）表示为速度（元）表示为速度x x（千米（千米/时）时）的函数，指出定义域；的函数，指出定义域；（2 2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？驶？常见不等式的解法常见不等式的解法
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