2023年高等数学经典方法与典型例题归纳.doc

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高等数学
经典措施及经典例题归纳

—经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务
—理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其自动化、交通运送、计算机科学与技术、土木工程

5月17日星期五
曲天尧 编写
一、求极限多种措施
1．约去零因子求极限
例1：求极限
【阐明】表明无限靠近，但，因此这一零因子可以约去。
【解】=4
2．分子分母同除求极限
例2：求极限
【阐明】型且分子分母都以多项式给出极限,可通过度子分母同除来求。
【解】
【注】(1) 一般分子分母同除最高次方；
　　(2)
3．分子(母)有理化求极限
例3：求极限
【阐明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。
【解】

例4：求极限
【解】

【注】本题除了使用分子有理化措施外，及时分离极限式中非零因子是解题关键　
4．应用两个重要极限求极限
两个重要极限是和，第一种重要极限过于简朴且可通过等价无穷小来实现。重要考第二个重要极限。
例5：求极限
【阐明】第二个重要极限重要弄清晰凑环节：先凑出１，再凑，最终凑指数某些。
【解】
例6：(1)；(2)已知，求。
5．用等价无穷小量代换求极限
【阐明】
(1)常用等价无穷小有：
当 时,,
；
(2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中因式；
(3)此措施在多种求极限措施中应作为首选。
例7：求极限
【解】 .
例8：求极限
【解】
6．用洛必达法则求极限
例9：求极限
【阐明】或型极限,可通过罗必塔法则来求。
【解】

【注】许多变动上显积分体现极限，常用洛必达法则求解
例10：设函数f(x)持续，且，求极限
【解】 由于,于是
==
==
7．用对数恒等式求极限
例11：极限
【解】 ==
【注】对于型未定式极限，也可用公式
=
由于

例12：求极限.
【解1】 原式

【解2】 原式

8．运用Taylor公式求极限
例13 求极限 .
【解】 ,
;

.
例14 求极限.
【解】

.
9．数列极限转化成函数极限求解
例15：极限
【阐明】这是形式数列极限，由于数列极限不能使用洛必达法则，若直接求有一定难度，若转化成函数极限，可通过7提供措施结合罗必塔法则求解。
【解】考虑辅助极限
因此，
10．n项和数列极限问题
n项和数列极限问题极限问题有两种处理措施
(1)用定积分定义把极限转化为定积分来计算;
(2)运用两边夹法则求极限.
例16：极限
【阐明】用定积分定义把极限转化为定积分计算,是把当作［0,1］定积分。
【解】原式＝

例17：极限
【阐明】(1)该题遇上一题类似，不过不能凑成形式，因而用两边夹法则求解；
(2) 两边夹法则需要放大不等式，常用措施是都换成最大或最小。
【解】
由于　　
又　　　　
因此　　＝１
11．单调有界数列极限问题
例18：设数列满足
（Ⅰ）证明存在，并求该极限；
（Ⅱ）计算.
【分析】 一般运用单调增长有上界或单调减少有下界数列必有极限准则来证明数列极限存在.
【详解】 （Ⅰ）由于，则.
可推得　，则数列有界.
于是　，（因当）， 则有，可见数列单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限存在.
设，在两边令，得　，解得，即.
（Ⅱ）　因　，由（Ⅰ）知该极限为型，
(使用了洛必达法则)
故　.

二、常用不定积分求解措施讨论
0. 引言
不定积分是《高等数学》中一种重要内容，它是定积分、广义积分、狭积分、重积分、曲线积分以及多种有关积分函数基本，要处理以上问题，不定积分问题必要处理，而不定积分基本就是常用不定积分解法。不定积分解法不像微分运算时有一定法则，它要根据不一样题型特点采用不一样解法，积分运算比起微分运算来，不仅技巧性更强，并且也已证明，有许多初等函数是“积不出来”，就是说这些函数原函数不能用初等函数来体现，例如
（其中）；；；等。
这首先体现了积分运算困难，另首先也推进了微积分自身发展。同步，同一道题也也许有多种解法，多种成果，因此，掌握不定积分解法比较困难，下面将不定积分多种求解措施分类归纳，以便于更好掌握、运用。
1. 不定积分概念
定义：在某区间I上函数，若存在原函数，则称为可积函数，并将全体原函数记为
,
称它是函数在区间I内不定积分，其中为积分符号，称为被积函数，称为积分变量。
若为原函数，则：
=+C(C为积分常数)。
在这里要尤其注意，不定积分是某一函数全体原函数，而不是一种单一函数，它几何意义是一簇平行曲线，也就是说：
() 和
是不相等，前者成果是一种函数，而后者是无穷多种函数，因此，在书写计算成果时一定不能忘掉积分常数。
性质：
1.微分运算与积分运算时互逆。
注：积分和微分连在一起运算时：

——————>完全抵消。
——————>抵消后差一常数。
2.两函数代数和不定积分，等于它们各自积分代数和，即：=±。
3.在求不定积分时，非零数可提到积分符号外面，即：
=(≠0)。
在这里，给出两个重要定理：
(1)导数为0函数是常函数。
(2)若两函数导数到处相等，则两函数相差一种常数。
以便于更好处理某些简朴不定积分问题。
上面将不定积分概念以及性质做了简朴简介，下面，咱们开始讨论不定积分多种求解措施。
2. 直接积分法(公式法)
从解题方面来看，运用不定积分定义来计算不定积分是非常不以便，运用不定积分运算性质和基本积分公式从而直接求出不定积分，这种措施就是直接积分法(另称公式法)。
下面先给出基本求导公式：
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
(7) (8)
(9) (10)
(11) 。

根据以上基本求导公式，咱们不难导出如下基本积分表：

(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
(7) (8)
(9) (10)
(11) 。
下面举例子加以阐明：
例2.1： 求
解 原式=
=
=
=
注意：这里三个积分常数都是任意，故可写成一种积分常数。因此对一种不定积分，只要在最终所得式子中写上一种积分常数即可，后来碰到这种状况不再阐明。
例2.2： 求
解 原式==
=
注：此处有一种技巧措施，这里先称作“加1减1”法，相称于是将多项式拆提成多种单项式，然后运用基本积分公式计算，下面例题中还会碰到类似题型，遇届时详细讲解。
直接积分法只能计算较简朴不定积分，或是稍做变形就可用基本积分表处理不定积分，对于稍微复杂一点不定积分便无从下手，因此，下面咱们将一一讨论其她措施。
3. 第一类换元法(凑微法)
运用基本积分公式和积分性质可求得某些函数原函数，但只是这样远不能处理问题，如

就无法求出，必要将它进行变形，然后就可以运用基本积分公式求出其积分。
假如不定积分用直接积分法不易求得，但被积函数可分解为
，
作变量代换，并注意到，则可将有关变量积分转化为有关积分，于是有

假如可以求出，不定积分计算问题就处理了，这就是第一类换元法(凑微分法)。
注：上述公式中，第一种等号体现换元，最终一种等号体现回代.
下面详细举例题加以讨论
例3.1：求.
解 原式=
=

对变量代换比较纯熟后，可省去书写中间变量换元和回代过程。
例3.2：求.
解 原式

例3.3：求
解

在这里做一种小结，当碰到形如：不定积分，可分为如下3中状况：
：
①不不不小于0时。可将原式化为，
其中，x1、x2为两个解，则原不定积分为：

②等于0时。可运用完全平方公式，然后可化成。然后根据基本微分公式(2)便可求解。
③不不小于0时。形如例4，可先给分母进行配方。然后可根据基本积分公式(4)便可求解。
例3.4： 求
解 原式

该题也可运用三角函数之间关系求解：
原式

.
虽然两种解法成果不一样，但经验证均为原函数，这也就体现了不定积分解法以及成果不唯一性。
例3.5：求.
解

例3.6：求.
解

注：当被积函数是三角函数乘积时，拆开奇次项去凑微分。当被积函数为三角函数偶多次幂时，常用半角公式通过减少幂次措施来计算；若为奇次，则拆一项去凑微，剩余偶次用半角公式降幂后再计算。
例3.7：求.
解 原式

注：这里也就是类似例2所说措施，此处是“减1加1”法。
4. 第二类换元法
假如不定积分用直接积分法或第一类换元法不易求得，但作恰当变量替代后，所得到有关新积分变量不定积分

可以求得，则可处理计算问题，这就是所谓第二类换元(积分)法。
设是单调、可导函数，且，又设具有原函数，则
，
其中是反函数。

注：由此可见，第二类换元积分法换元与回代过程与第一类换元积分法恰好相反。
例4.1：求不定积分.
解 令，则，，因此

a

x
t
为将变量还原回本来积分变量，由作直角三角形，可知，代入上式，得

注：对本题，若令，同样可计算。
例4.2：求不定积分.
解 令，则，，因此

例4.3：求不定积分.
解 令，则，，因此

注：以上几例所使用均为三角代换，三角代换目是化掉根式，其一般规律如下若果被积函数中具有时，可令，；假如被积函数中具有，可令，；假如被积函数中具有；可令，.

例4.4：求不定积分
解 令，则，因此，。

.
例4.5：求不定积分.
解 (变形).
令， .
原式
有关第二类换元法，就举些例子阐明，详细要多做大量习题，这样才能找到该怎么样换元感觉，才能更好掌握这种措施。
5. 分部积分法
前面所简介换元积分法虽然可以处理许多积分计算问题，但有些积分，如、等，运用换元法就无法求解.接下来要简介另一种基本积分法——分部积分法.
设函数和具有持续导数，则移项得到，因此有
，
或 .
上面两个式子称为分部积分公式.
运用分部积分公式求不定积分关键在于怎样将所给积分
化成形式，使它更轻易计算.所采用重要措施就是凑微分法，例如，
运用分部积分法计算不定积分，选用好u,v非常关键，选用不妥将会使积分计算变得愈加复杂。下面将通过例题简介分部积分法应用。
例5.1：求不定积分.
解 令，，则

有些函数积分需要持续多次应用分部积分法。
例5.2：求不定积分.
解 令和，则
.
对背面不定积分再用分部积分法，

(运算纯熟后，式子中不再指出u和v了)，代入前式即得
.
注：若被积函数是幂函数(指数为正整数)与指数函数或正(余)弦函数乘积，可设幂函数为u，而将别旳某些凑微分进入微分符号，使得应用分部积分公式后，幂函数幂次减少一次(幂指相碰幂为u)。

例5.3：求不定积分.
解 令，,则