1、曲线和曲面上积分曲面积分1.曲面上测度1第1页曲面积分曲面表示和曲面上测度第一型曲面积分(质量)第二型曲面积分(流量)2第2页曲面映射观点定义设a,bRk,:a,b Rn(nk+1)若连续,称S=(a,b)为 Rn中连续超曲面若含有一阶连续导数,且ta,b,(t)满秩,称S=(a,b)为 Rn中k维光滑超曲面;若是单射,S=(a,b)为 Rn中k维正则超曲面若连续,且存在a,b能够分成m个内部不相交闭区域Wj,Lj=(Wj)是k维光滑(正则)超曲面,称S=(a,b)为 Rn中k维分片光滑(正则)超曲面3第3页曲面集合观点定义设SRn,若存在:a,b Rk Rn,有S=(a,b)若连续,就称S为
2、Rn中一个连续超曲面,称为S一个表示若光滑且导数点点不为零,就称S为Rn中k维光滑超曲面,称为S光滑表示若光滑,单射且导数点点不为零,就称S为 Rn中一条正则曲面,称为S正则表示4第4页同一超曲面能够有不一样表示同一超曲面能够有不一样表示：集合观点下正则超曲面一定有非正则表示;几何上正则超曲面未必有正则表示;几何上非正则超曲面一定没有正则表示在下面讨论中,我们总假设连续,S是正则或分片正则超曲面,是其对应表示所以将对超曲面两种观点统一5第5页超曲面分类设:a,b Rn(n2),连续若是单射,称L=(a,b)为Rn中简单曲面 Rn中闭超曲面：？Rn中简单闭超曲面：不带边紧流形 6第6页超曲面方向
3、(定向)可定向曲面(双侧曲面)不可定向曲面(单侧曲面)7第7页正则超曲面面积定义设a,bRk,:a,b Rn(nk+1),正则,S=(a,b),定义Sk维面积为其中上标T表示矩阵转置8第8页对超曲面面积公式说明面积公式推导 Rn中k维平行2k面体体积计算 用切超平面块近似超曲面面积n-1维超曲面面积公式 由参数方程给出曲面体积公式 由函数图像给出曲面体积公式9第9页 Rn中k维平行2k面体体积设E是由Rn中k个线性无关向量V1,V2,Vk所张成平行2k面体,由Schmidt正交化方法得到与其等体积直角平行2k面体E0,张成E0k个向量是a1,a2,.,ak两组向量间关系10第10页平行2k面体
4、体积(续1)体积公式:|E|=|E0|=|a1|a2|ak|也就是也就是11第11页平行2k面体体积(续2)由此就得到其中注意Vj都是列向量.12第12页平行2k面体体积公式解释Binet-Cauchy公式:设A=(aij)nk,B=(bij)nk,则对这个公式解释:Rn中平行2k面体体积平方等于其在 Rn中全部k维坐标面中投影平方和(普通勾股定理)13第13页用切超平面块近似超曲面面积设a,bRk,:a,b Rn(nk+1),正则,S=(a,b).下面按微元法给出超曲面面积公式:任取a,b一个分法W:W1,Wm.Sj=(Wj),j=1,m.取tjWj,用近似Sj体积,然后求和-取极限就得到公式.14第14页n-1维超曲面面积公式(1)由参数方程给出曲面体积公式:设a,bRn-1,:a,b Rn(nk+1),正则,S=(a,b).此时,习惯上有下面记法其中e表示第i个元素标准基向量ei列向量15第15页n-1维超曲面面积公式(2)由函数图像给出曲面体积公式:函数图像公式a,bRn-1,g:a,b R,(t)=(t,g(t),S=(a,b)16第16页正则超曲面上测度设a,bRk,:a,b Rn(nk+1),正则,S=(a,b).ES,假如-1(E)是a,b可测集,就说E是S可测集,其测度定义为17第17页
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