1、微积分莫兴德莫兴德广西大学广西大学数信学院数信学院Email:微微 积积 分分第1页微积分链接目录第一章第一章 函数函数第二章第二章 极限与连续极限与连续第三章第三章 导数与微分导数与微分第四章 中值定理,导数应用第五章第五章 不定积分不定积分第六章第六章 定积分定积分第七章第七章 无穷级数无穷级数(不要求不要求)第八章第八章 多元函数多元函数第九章第九章 微分方程微分方程复习第2页微积分参考书参考书1赵树嫄赵树嫄.微积分微积分.中国人民出版社中国人民出版社2同济大学同济大学.高等数学高等数学.高等教育出版高等教育出版社社第3页微积分第五章第五章几个特殊类型函数积分几个特殊类型函数积分第4页微
2、积分几个特殊类型函数积分几个特殊类型函数积分一、有理函数积分一、有理函数积分有理函数定义：有理函数定义：两个多项式商表示函数称之两个多项式商表示函数称之.第5页微积分假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是这有理函数是真分式真分式；这有理函数是这有理函数是假分式假分式；利用多项式除法利用多项式除法,假分式能够化成一个假分式能够化成一个多项式和一个真分式之和多项式和一个真分式之和.例例难点难点 将有理函数化为部分分式之和将有理函数化为部分分式之和.第6页微积分（1）分母中若有因式）分母中若有因式 ，则分解后为，则分解后为有理函数化为部分分式之和普通规律：有理函数化为部
3、分分式之和普通规律：特殊地：特殊地：分解后为分解后为第7页微积分注注关于部分分式分解关于部分分式分解如对如对进行分解时进行分解时一项也不能少，因为通分后分子上是一项也不能少，因为通分后分子上是多项式，可得到多项式，可得到k个方程，定出个方程，定出k个系数，不然将个系数，不然将会得到矛盾结果。会得到矛盾结果。比如比如第8页微积分但若但若矛盾矛盾第9页微积分（2）分母中若有因式）分母中若有因式 ，其中，其中则分解后为则分解后为特殊地：特殊地：分解后为分解后为第10页微积分真分式化为部分分式之和真分式化为部分分式之和待定系数法待定系数法例例1 1第11页微积分代入特殊值来确定系数代入特殊值来确定系数
4、取取取取取取并将并将 值代入值代入例例2 2第12页微积分例例3 3整理得整理得第13页微积分例例4 4 求积分求积分 解解第14页微积分例例5 5 求积分求积分 解解第15页微积分例例6 6 求积分求积分解解令令第16页微积分第17页微积分说明说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：现三类情况：多项式；多项式；讨论积分讨论积分令令第18页微积分则则记记第19页微积分这三类积分均可积出这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数且原函数都是初等函数.结论结论 有理函数原函数都是初等函数有理函数原函数都是初等函数.第20页微积分第21页微积分第22页微积
5、分第23页微积分第24页微积分第25页微积分注意注意 以上介绍虽是有理函数积分普遍方法，但对以上介绍虽是有理函数积分普遍方法，但对一个详细问题而言，未必是最简捷方法，应首先考一个详细问题而言，未必是最简捷方法，应首先考虑用其它简便方法。虑用其它简便方法。如如使用凑微分法比较简单使用凑微分法比较简单基本思绪基本思绪尽可能使分母简单尽可能使分母简单降幂、拆项、同乘等降幂、拆项、同乘等化部分分式，写成份项积分化部分分式，写成份项积分可考虑引入变量代换可考虑引入变量代换第26页微积分三角有理式定义：三角有理式定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算组成函数称之普通记为
6、组成函数称之普通记为二、三角函数有理式积分二、三角函数有理式积分第27页微积分令令（万能置换公式）（万能置换公式）第28页微积分例例7 7 求积分求积分解解由万能置换公式由万能置换公式第29页微积分第30页微积分例例8 8 求积分求积分解（一）解（一）第31页微积分解（二）解（二）修改万能置换公式修改万能置换公式,令令第32页微积分解（三）解（三）能够不用万能置换公式能够不用万能置换公式.结论结论 比较以上三种解法比较以上三种解法,便知万能置换不一便知万能置换不一定是最正确方法定是最正确方法,故三角有理式计算中故三角有理式计算中先考虑其它伎俩先考虑其它伎俩,不得已才用万能置换不得已才用万能置换
7、.如如第33页微积分若用万能代换，则若用万能代换，则化部分分式比较困难化部分分式比较困难但若是凑微分，则比较简单但若是凑微分，则比较简单基本思绪基本思绪第34页微积分尽可能使分母简单尽可能使分母简单分子分母同乘，或使分母分子分母同乘，或使分母 变成一项等变成一项等尽可能使尽可能使幂次降低幂次降低万能代换万能代换例例9 9 求积分求积分解解第35页微积分第36页微积分第37页微积分第38页微积分第39页微积分第40页微积分讨论类型讨论类型处理方法处理方法作代换去掉根号作代换去掉根号.例例1010 求积分求积分解解 三、简单无理函数积分三、简单无理函数积分第41页微积分第42页微积分例例1111
8、求积分求积分解解 令令说明说明 无理函数去根号时无理函数去根号时,取根指数取根指数最小公倍数最小公倍数.第43页微积分例例1212 求积分求积分解解先对分母进行有理化先对分母进行有理化原式原式第44页微积分例例13解一解一令令第45页微积分解二解二第46页微积分令令第47页微积分简单无理式积分简单无理式积分.有理式分解成部分分式之和积分有理式分解成部分分式之和积分.（注意：必须化成真分式）（注意：必须化成真分式）三角有理式积分三角有理式积分.（万能置换公式）（万能置换公式）（注意：万能公式并不万能）（注意：万能公式并不万能）四、小结四、小结思索题思索题将分式分解成部分分式之和时应注意什么？将分式分解成部分分式之和时应注意什么？第48页微积分思索题解答思索题解答分解后部分分式必须是最简分式分解后部分分式必须是最简分式.第49页
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