2022年线性代数题库难题讲解.doc

线性代数疑难习题讲解

1．
题目 证明向量线性无关的充要条件是线性无关。
知识点 线性无关，向量的初等变换。
解题步骤：
方法一。
必要性：
设
即
∵线性无关
∴有方程组

∵其系数矩阵的行列式:

∴
只有零解
即
∴线性无关
充分性：
设
与其等价的式子为

线性无关
∴
其系数矩阵的行列式：

∴方程只有零解
即
∴线性无关.
方法二：
∵

∴
故线性无关的充要条件是线性无关
方法总结：
方法一是从定义出发进行证明，必要性比较容易想到，但充分性比较难，要确定与其等价式子的系数，可通过求解方程组的方法来确定。
方法二是利用了向量的初等变换求秩方法来解决问题。
相关例题：例4.9（P67）

2．
题目 设为n阶实矩阵，证明：若，则。
知识点：矩阵相乘、转置矩阵、零矩阵概念
解题步骤：
证明：设
，则
∴其中*为省略表示的代数和
∴
∵为实数
∴
即＝0
∴

常见错误及原因：混淆了零矩阵与行列式为零的概念，由

得出。

3．
设为n阶矩阵，若，试证的特征值是 -1或1.
知识点：特征值与特征向量
解题步骤：
方法一。
设的特征值为，对应的特征向量为，则有：

两边左乘矩阵得：
或
把和代入上式得：

因为为非零向量，所以

方法二。
∵
∴或
∴
∴
∴或
∴的特征值为或

方法三。
设的特征值为，并设有多项式
则方阵的特征值为
由
得
∴
即
∴
相关例题：例5.4（P89）

4．
题目 设A, X, B分别是m×n,n×1,m×1矩阵，B≠0; 是方程AX=B的一个解；对应的齐次方程AX=0的一个基础解系为，，… ，，r = rank(A). 证明 , ， ，…… ，线性无关。

知识点：线性无关 基础解系

解题步骤：

方法一。（从定义出发）
设存在k, k, k, k…, k，使
k+ k+ k+……+k= 0
在等式两边左乘A，有
kA + kA+ kA+……+kA= 0
， ，…… ，是齐次方程AX=0的一个基础解系，是方程AX=B的一个解。
kA+ kA+……+kA=0， A =B
kB=0
B≠0
k = 0
k+ k+…… + k=0成立
， ，…… ，是齐次方程AX=0的一个基础解系。
， ，…… ， 线性无关
k=k=k= …… = k=0
k = k= k= k= …… = k=0
, ， ，…… ， 线性无关.

方法二。（反证法）
假设 可由 ， ，…… ， 线性表示，
即 =
， ，…… ，是齐次方程AX=0的一个基础解系
， ，…… ， 线性无关
是方程AX=B的一个解
A = 0 =B这与B≠0矛盾
假设不成立
不能由， ，…… ，线性表示
Rank(，， ，…… ，)=n-r+1
, ， ，…… ， 线性无关.

方法三。
证明：， ，…… ，是齐次方程AX=0的一个基础解系。
， ，…… ，线性无关。
Rank (， ，…… ) = n－r
是方程AX=B的一个解，B≠0
不能由， ，…… ，线性表示

Rank (，， ，…… ，) = n－r＋1
, ， ，…… ， 线性无关.

方法总结
虽然向量组线性相关或无关的证明比较困难，但还是有多种方法可以解决。可从定义出发进行证明（方法一），可用反证法进行证明（方法二），还可以利用性质或定理进行证明（方法三）。

5．
题目
求矩阵A=的特征值与特征向量。
知识点 特征值 特征向量
解题步骤法：
解： A的特征多项式为 det(AE) =

=
解 det(AE) = 0
得 特征值
当 时， 得
则：, 故是A的属于的全体特征向量，
当 时， 得
则 ，，， 故是A的属于的全体特征向量。
常见错误
解： A=
则 A的特征多项式为 det(AE) =

得 特征值
…（因为特征值已经错误，后面的步骤省略）
分析
在计算这类题时，大部份同学都会将矩阵化为对角矩阵或上、下三角矩阵，但有些同学习惯于纯粹的数字矩阵的初等变换，而不习惯于有未知数的初等变换，于是为了计算方便，便直接将矩阵A变换成对角矩阵或上、下三角矩阵，造成错误。
其实我们可以知道，当矩阵A初等变换成对角矩阵或上、下三角矩阵时，矩阵A就不是原来的矩阵A，而是与矩阵A的秩相同的另一个矩阵了。

相关例题
(1)求矩阵A=的特征值与特征向量。
(2) 求矩阵A=的特征值与特征向量。

6.
题目
在计算机行列式时如何利用范德蒙行列式的结果.
知识点
n阶范德蒙行列式的算法为
= (1)
它有如下结构特点:
的每列都是某一个数的不同方幂,且自上而下方幂次数由0递增至n-1.
只要抓住其特点,将所给行列式转化为范德蒙行列式,然后用(1)式计算结果.

现将常见的转化方法归纳如下:
方法一
当所给行列式各列（或行）都是某元素的不同方幂，但其次数或其排列与范德蒙行列式不尽相同时，应利用行列式的性质（提公因式，调换行列次序等），将其转化为范德蒙行列式。
例如：
计算
解 提取各行的公因式，得

上式即为n阶范德蒙行列式，故
=n!(2-1)(3-1)…(n-1)·(3-2)(4-2)…n-2)…〔n-(n-1)〕
=n!(n-1)!(n-2)!…2!1!

方法二
当各行（或列）元素均为某一元素的不同方幂，但都缺少同一方幂时，可用加边法来转化。
例如：
计算
解 (1)当a,b,c,d中任两个相等时，显然D=0
(2) 当a,b,c,d互异时，由于D中缺少三次幂的一行元素，为产生五阶范德蒙行列式，现添加一列，得

按最后一列展开，得
f(x)=
因为f(a)= f(b)= f(c)= f(d)=0,故a,b,c,d为f(x)的四个根，
由根与系数关系得
　　　a+b+c+d= -/
又因为== -D，而
=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)
故D= -=(a+b+c+d)= (a+b+c+d) (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)
方法三
行列式的各行（或列）都是元素的不同方幂，只有一行（列）不是元素的某次幂，用行列式性质使其转换为范德蒙行列式的形式.
例
试用范德蒙行列式计算
　　　　D=
D==(a+b+c)
=(a+b+c)(b-a)(c-a)(d-a)

方法总结
范德蒙行列式是线性代数中一个相当重要的工具，如果在计算行列式时能够熟练的适时运用，将为解题过程带来很大的方便。

7.
题目
设n阶矩阵X满足，证明都可逆，并求。
知识点 逆矩阵，矩阵的运算
解题步骤
证明
方程化为，即，取行列式得
，故，即可逆。
由 知 X可逆且

方程也可以化为，故，即可逆.

=
=.
另外也可这样做:
既然已证明原矩阵可逆，则原式一定可化成

的形式，只需用待定系数法便能得到结果.

常见错误
(1)在求逆矩阵时把矩阵代数化.
如得到像的式子.解得逆矩阵为
(2)“巧用代数变换”
由得从而解得逆矩阵为

相关例题
设n阶矩阵满足
.

8.
题目
设向量组线性无关，且，判断向量组的线性相关性.
知识点

解题过程
解法一 （从定义出发）
设
即线性无关

所以线性无关.

解法二 （利用矩阵的秩）

因为 满秩

即线性无关。

常见错误
(1)线性相关性概念模糊，以致无从下手.
(2)不会利用系数行列式求解齐次线性方程组，以致无法利用矩阵的秩求解.

代数难题2
9.
题目
设n阶可逆矩阵A满足A=A，求A的特征值。
知识点
特征值与特征向量
矩阵的行列式
解题过程
解：因为A=A
所以A－A=0
所以det(A－A)=det[A(A－E)]=det(A)det(A－E)=0
A为可逆矩阵，所以det(A)≠0
所以det(A－E)=0
所以A的特征值为1.
常见错误
设存在λ，使Ax=λx成立
则 det(Ax)=det(A)det(x)
=det(x)
=det(x) (错误在于向量取行列式)
所以 有成立.
又因为A=A
det(A)=det(A), 即det(A)=0或det(A)=1.
由于A为可逆矩阵，det(A)≠0.
所以 det(A)=1

当n为奇数时，λ=1.
当n为偶数时，λ=1.
相关例题
设A为n阶矩阵,若A=E，试证A的特征值是1或-1.

10.
题目
设A是奇数阶正交矩阵，且det(A)=1，证明det(E-A)=0.
知识点
①正交矩阵的定义：AA=E
②单位矩阵的性质：EA=AE=A E=E
③矩阵运算规律
④转置矩阵的性质：(A+B)=A+B
⑤det(A)=det(A)
⑥det(AB)=det(A)det(B)
⑦det(-A)=(-1)det(A)

解题过程
∵A是正交矩阵
∴E－A= AA－A= AA－EA=( A－E)A
∵det(A)=1
∴det(E－A)=det((A－E)A)=det(A－E)det(A)=det(A－E)
∵det(E－A)=det(E－A)=det(E－A)
∴det(A－E)= det(E－A)= det(－(A－E))= (－1) det(A－E)
∵n为奇数
∴(－1)= －1
∴det(A－E)=0
∴det(E－A)=0

常见错误
①误以为det(E－A)= det(E)－ det(A)，于是det(E－A)=1－det(A)=1－1=0
②∵det(A)=1
∴··…·=1(其中,,…,为A作初等变换变为上三角形后对角线上的元素).
∴det(E－A)=（1-）（1-）…（1-）.
∵det(E-A)=det((A-E)A)=det(A-E)det(A)=det(A-E)
且det(A-E)= （-1）（-1）…（-1）.
∴（1-）（1-）…（1-）=（-1）（-1）…（-1）
= (-1)（1-）（1-）…（1-）
∵n为奇数
∴(－1)= －1
∴（1－）（1－）…（1－）=0
∴det(E－A)=0

以上证法先把A变为上三角，再用E减去变化后的A，再求行列式，这是错误的。

相关例题
证明：若A为正交矩阵，则det(A)=±1.

11
题目
试就a,b的各种取值情况,讨论下列线性方程组的解,若有解,则求出解。
（1）

知识点 线性方程组解的结构

解题过程

解：B=

(1)当a—b0,且a0时，rank(B)=3，增广矩阵的秩也等于3，而且等于未知数的个数，故方程组（1）有唯一解。其解为：

(2)当a-b=0，且a0时，rank(B)=2,增广矩阵的秩也等于2，秩小于未知数的个数，此时故方程组（1）有无穷多解。
其解可由，解得，代入第一个方程得到；
一般解为：
（3）当a=0，b 为任意数，
此时增广矩阵可化为：

可见，rank(B)=2, 但增广矩阵的秩为3，所以方程组（1无解，

常见错误
在讨论带参数的线性方程时，尽管初等变换结果正确，也会产生讨论不全的错误。
如，当ab时，就说原方程有唯一解，没有指出a0，当a=b时，就说原方程组有无穷多解，没有指出a=b0，等等。

相关例题
确定a,b的值，使下列方程组

（1） 有唯一解；
（2） 无解；
有无穷多解，并求出通解。

12.
题目
若线性无关，，其中全不为0. 证明线性无关.
知识点 向量线性相关

解题过程
证法一：（从定义出发）
设存在常数，使得
已知，代入上式，得

化为：
由题意知：线性无关

由定义，知线性无关
证毕

证法二：（由初等列变换，秩相等）

由于初等变换不改变矩阵的秩，所以由线性无关，知
的秩为3，所以秩也为3，推出线性无关

证法三：（反证法）
假设线性相关.
则存在不全为0的常数，使得
已知，代入上式，得

化为：

（否则，由得）
即 线性相关, 与题目已知条件矛盾.
所以假设不成立, 即 线性无关.

13.
题目
设是的解且线性无关，，试证的任一解可表示为
，
其中
知识点 基础解系 方程组解的结构

解题过程
证明

由

因为 线性无关，所以
线性无关，
也线性无关，且

所以 是的基础解系
因为的任一解可以表示为：

的任一解可以表示为：
①
其中是的一个特解
扩展①式，取，得

化简得

令，
则的解可以表示为

且
命题得证

另外取时

化简得

此时令

则的解可以表示为

且

此时命题也成立
常见错误
不会应用定理. 不知两个非齐次组的解的差是齐次线性方程组的解.
14.
题目
设是矩阵A的两个不同的特征值，分别属于的特征向量，证明不是矩阵A的特征向量.

知识点
特征值 特征向量

解题过程
用反证法.
设 是A的对应的特征向量，则有
(1)
已知 ，
所以 (2)
由(1)(2)知
(3)
因为线性无关，所以，与已知矛盾.

常见错误
由(1)(2)直接推出，只从形式上来看有这个结论，没有利用不同特征值所对应的特征向量是线性无关的性质， 因为有了这个性质才能推出 (3)的系数为0. 这在证明中不够严密.
代数难题之三
15.
题目

知识点
矩阵乘法 逆矩阵 向量运算

解题过程
(1)

(2)

常见错误
矩阵乘法概念模糊，没有注意当 是n维向量时，是一个矩阵，但是一个数。事实上，可看作是一个矩阵乘以矩阵，其结果是矩阵，即一个数.

16.
题目

知识点
零矩阵的概念 矩阵乘法

解题过程

可见

常见错误
对零矩阵概念不理解，因而不明确：要证明A是零矩阵，必须要证A中每一个元素均为0. 另一方面，没有想到X可取一些特殊的向量.

17.
题目 计算行列式.

知识点 行列式性质
解题过程

常见问题
本题技巧性强, 首先用按行展开的方法把行列式降阶, 再巧用等式关系找出递推规律, 最后利用递推关系求出行列式的值. 本题的方法不容易想到.

18.
题目
证明

知识点
行列式性质
解题过程

常见错误
有些同学用加边法进行计算，在其过程中出现，这就要求全不为零，但题目给出的条件并没有这种限制，故不适合.
19.
题目
设A为n阶非零实矩阵（n>2），且A的每个元素等于它在detA中的代数余子式，求det A.
知识点
矩阵运算 行列式按行展开
解题过程
因为

所以

其中

因为A为非零实矩阵，所以

所以

从而

常见错误
没有利用A是非零实矩阵的条件，推出
.
20.
题目
设n阶矩阵A的分块如下：

若A11可逆，证明

知识点
分块矩阵 矩阵乘法
解题过程
若A11可逆，则A11-1存在，因为

所以

从而

常见问题
对分块矩阵的运算不熟练，对矩阵的初等行变换与左乘初等方阵的关系不明确，导致不会分解原来的分块矩阵.

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