不定积分(含变上限积分)和微分解题方法.doc

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不定积分和微分
一、公式和的应用
注意：的不定积分为是的原函数是的导数，即 或
1、已知不定积分的值，求被积函数或被积函数中的一部分，利用两边求导处理
已知，求
方法：求导得，令，则，即
例1（1），求
解：对求导得，
则
（2），求
解：对两边求导得，即

2、已知导数值，求原函数，利用两边积分的方法处理
已知，求
方法：令，则，即，故
例2（1），求
解：令，则，
即 两边积分的
（2）已知，求
解：令，则上式为，即
由上面两式得

两边积分得
（3）设在内可导，且，又
，求
解：令得，则
即
当时，，两边积分得
当时，，两边积分得
又因为设在内可导，所以在内连续
而，
因为在处连续，则，即
故
（4）设在处的改变量为（），，求
解：由 知 即
两边积分得 得
而 故 ，即 故
（5）设，求
解：

二、已知是的原函数，求被积函数中含有的积分
1、由求出，代入积分计算
2、把积分转化为的形式，利用求值
例3（1）是的原函数，，求
解：因为是的原函数，所以
而
（2）是的原函数，求
解：因为，所以
则
三、已知的表达式，求被积函数中含有的积分
1、由求，再把的表达式代入积分计算
2、由先求，把含有的积分转化为的形式处理
例4（1），求
解：在中，令得

因为
所以
（2），且求
解：令，则，而
则 即

（3），连续，求
解：因为，所以，

（4），求
解：

（5），求
解：

（6）设，求
解：因为，所以

四、利用凑微分法求积分
注意：
例5（1），，，求
解：

（2）设二阶可导，， ，求
解：
（3）设，，求
解

因为，所以
而，故
五、已知，且，求
方法：两边积分，得，求
例6（1）是的原函数，且时，有，又，，求
解：因为是的原函数，所以，
由于 故，
两边积分得
而
故，又得
而，所以
（2）连续，且当时，，求
解：令，，由于
则
两边积分得
即
故
因为 令得，代入上式
故，
（3）已知为非负连续函数，且时，，求
提示：因为，令处理
六、变上限积分的导数运算
注意：(1)如，则，则
(2)如，则由复合函数的求导法则有

(3)如，可得成，则

例7（1）已知满足，求
解：两边求导得 即
两边积分得，所以
（2）求一个不恒等于零的连续函数，使它满足
解：两边求导得
即
因为是不恒等于零的连续函数，故
两边积分得
在中令，得代入上式有
故
注意：
（1）上题要充分利用已知条件确定初始条件
（2）定积分或变上限积分的被积函数有参变量时，必须通过换元，使被积函数不含参变量，然后再求导
例8（1）已知连续，，求
解：令，
则

即
两边求导得：
因为 ，上式中令得
所以
（2）求可导数，使它满足
解：令，则
因为，所以
两边求导得
两边积分得
（3）由方程（）确定是的函数，求
解：对求导得，故
（4）是由确定的函数，求
解：对求导得故
在中令时，有，即
故
注意：此题确定的方法
（5）设为已知可导奇函数，为的反函数，则
解：令，则
所以
令，则
两边积分得
故
（6）设函数可导，且，，求
解：令，则
由于
故
七、求分段函数的不定积分
先分别求分段函数的各分段在相应区间的原函数，然后考虑函数在分段点处的连续性。如果在分段点处连续，则在处连续
例9（1），求
解：当时，
当时，
因为在处连续，故，即
所以
（2）
解：
当时，
当时，
当时，
求满足的原函数
由于，即 得，
又由于，即 得

（3）（）
解：分别求出在区间（）上满足的原函数
在上，，
在上，，
故
八、分段函数的变上限积分
例10（1），求，并讨论在的连续性
解：当时，
当时，
在上连续，在处，
，
故在处连续
（2），求
解：令，则
当时，

此时
当时，

此时
九、积分估值
估计积分的值
方法：（1）令，
（2）求，确定和不存在的点
（3）在上确定的最值
（4）利用估计积分值
例11估计积分值
解：设函数，其中

令，得
因为，，，故
所以
十、形如的等式，求和
方法：（1）令
（2）两端积分
得,求的值
（3）把的值代入原式求
例12设，求
解：令，
则
两边积分
即
两边积分
即
故，，即
十一、已知函数在上的形式，求
方法：（1）求
（2）对两边积分得
（3）取，由已知条件求的值确定
例13（1）设，求+
解：两边求导得，所以（为常数）
又因为当时，
所以
（2）设， +，求
解：两边求导得，所以（为常数）
又因为当时，
所以
十二、例14 已知，求.
解：因为
所以
两边对求导得
故 即或
当时,令,则,此时两边积分得
而 所以
,即
同理（略）
十三、计算
1、如果，令得
则 得
例15
解：令，即
则

所以
即
2、形如的积分，令，然后相加处理
例16
解：令，则

所以
故
3、形如
令确定
例17（1）
解：令
比较上式两端得 即，

（2）
解：令
比较上式两端得 即，

4、利用公式处理
例18
解：

5、利用计算，每用一次分部积分法，被积函数的分母次数降低一次
例19（1）
解：因为
而
故
（4）
解：
则
令，则原式=
由上式知，原式=
6、当在上可积，则

例20（1）
解：

（2）
解：

7、积分，作变量替换得
则
例21（1）
解：

所以

（2）
解：

8、利用被积函数的奇偶性求积分
如果是上的偶函数，则

如果是上的奇函数，则
例22
解：因为函数是奇函数，故
所以

9、凑微分法利用第一换元法和分部积分法
常见的凑微分公式

例23（1）
解：
（2）
解：

（3）
解：

10、分段函数的定积分
例24（1）
解：

（2）
解：令，，当；当
则

注意：，其中称为欧拉常数，且
（3）
解：

（4）
解：

（5）
解：

(6)
解：
（7）
解：令，，当时，；当时，
所以
(7)
解：当，得，其中
当，得，其中
故

（8）
解：

(9)
解：

11、利用第二换元法求积分
例25（1）
解：令，则，

（2）（为自然数）
解：因为
则
令 ，则，
所以 再令
则

（3）
解：

12、被积函数中含有的形式，一般作代换
例26
解：令，

13、杂题
例２７（1）
解：令，则
而

（2）
解：

（4）
解：

（５）
分析：
而
故
（此方法易想到但太繁，解略）
十四、积分的应用
1、利用转轴公式求值
如果平面内一点的旧坐标和新坐标分别为和，则转轴公式为

例２８：设D：，
1) 求D的面积；2)求D绕旋转一周的绕旋体体积。
解 把直角坐标系顺时针转，使为轴，此时转轴公式为

则的各边界在新坐标系下的坐标为，，，
1）
2)
2、求值
例２９（１）设直线与抛物线所围成的图形面积为，它们和直线围成的图形面积为，且。（1）求，使最小（2）求该最小值所对应的平面绕轴旋转所得旋转体的体积
（２）设平面图形由与所确定，求该图形绕直线旋转所得旋转体的体积。
（３）求曲线与所围成图形绕轴旋转所形成的旋转体的体积
（４）过点作抛物线的切线，该切线与抛物线及轴围成一个平面图形，求该图形绕轴旋转所成的旋转体体积。
（５）在曲线（）上求一点，使该点的切线被两坐标轴所截的线段和该曲线以及过线段端点而垂直于轴的两直线所围图形的面积最小。
（６）求常数，使曲线与直线所围图形的面积最小
（７）设在上连续，在内，有，证明：在内存在唯一的点，使曲线与两直线和所围成图形的面积是曲线与两直线和所围成图形的面积的面积。
（８）已知（），求与轴围成的面积。
（９）设过，当时，，如果它与轴、直线所围图形面积为，求使图形绕轴旋转所成的体积最小。
注意：补充隐函数的积分
例：设函数是由确定的隐函数，求换元法）
习题
1、求值（1），求
（2），求
（3），求
2求值（1），求
（2），求
（3），且，求
（4），且，求
（5）设在处的改变量为，，求
（6）是的原函数，求
3 是的原函数，求
4（1），求，
（2），求
（3）是的一个原函数，求
（4），求
（5），求
（6），求
（7），求
（8）的一个原函数为，求
5（1） （2）
（3），求
（4），且，求
6（1）是的原函数，且时，有，又，，求
（2）设，且 ，当时，有
，试求。
7（1）设时，，其中连续，求
(2)设是上的已知连续函数，求函数，使
，且当时，的表达式
(3)，求
(4)求，在上的极值和最值
(5)在内连续，且，求
(6)（），求
8（1）已知连续，，求
（2）已知连续，，求、
（3）设是的连续函数，求
（4）设（），求
（5），的导数与为等价无穷小，求
(6)设f(x)在（－∞，+∞）内连续，且，求。
(7)求，其中f(t)为已知的连续函数，为已知可微函数。
（8）已知当时，的导数与为等价无穷小，则
（9）设在上可导，有，其中为常数，求
(10)，求
（11）已知，其中由方程组确定，求
9（1），求
（2），求
（3） （4） （5）
（6）（7）
（8）的不定积分为，求
（9求，其中
10（1），求
（2）设，，求
（3）设在上连续，，且，求
11（1）证明（2）证明
（2）估计积分值
12（1）设，求和
（2）设，求
（3）设，求、
13(1)设时，求
（2）当时，设，。求的关系
14设，如果，，且时，，求
15求积分（1） （2）
16求积分（1） (2)
17求积分（1） （2） （3）
18求积分
19求积分（1）（2）
20求积分（1）（2）
21（1）证明
（2）求 （3）
（4） （5）
22求积分
23求积分（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
注意：积分可在分母中提出一个，凑微分处理。例
24求积分
（1） （2） （3）
(4) （5） (6)
（7） （8） （9）
25（1）　（2）（3）　
（4） （5） (6)
(7)　 (8) (9)　
(10) (11)　　　 (12)
(13)　　(14) (15)
(16) (17)　 (18)
(19)　　 　(20) (21)
26求积分
２７（１）（做代换） （２）
（３）设为闭区间内使得被积式有意义的一切值所构成的集合，求积分
。
(4) (5) (6)
(7) (8) (9)
(10) (11) (12)
(13) (14)
２８（１）求抛物线和直线围成的平面图形绕直线旋转一周所得的旋转体体积。
（２）求由曲线所围图形的面积，并求当该图形绕直线旋转一周所得旋转体体积
２９（1）求和内部的公共部分的面积
（2）过点作抛物线的切线，求该切线与上述抛物线及轴围成的图形面积，并求该图形绕轴旋转一周所成的体积。
(３)假设曲线：（0）、轴和所围成的平面区域被曲线：分为面积相等的的两部分，其中是大于零的常数，试确定的值。
(４)求抛物线与所围平面图形的面积
（５）求曲线，与直线所围平面图形的面积
（６）求由曲线，及所围图形的面积
（７）曲线（）与交于点，过坐标原点和点的直线与曲线围成一平面图形，问为何值时，该图形绕轴旋转所得旋转体体积最大，并求最大值。
（８）设定义在上，为上的任一点，问当为何值时，图中两个阴影部分的面积之和取最小值
（９）曲线（1）在原点与（）之间找一点，使这点的左右两边的阴影部分的图形面积相等，并写出的表达式（1）求
（1０）求在之间由曲线所围图形的面积
（1１）求抛物线及其在点和点处的切线所围成的图形的面积
（1２）求由曲线（）与直线及所围图形分别绕轴、轴及旋转所成的旋转体体积
（1３）抛物线通过点，且当时，，它和直线及所围成的图形的面积是，问该图形绕轴旋转而成的旋转体的体积为最小时，是多少？
1. 什么是积分变限函数？
所谓“积分变限函数”就是用定积分定义的函数，其中自变量出现在积分的上限或下限。
在讲牛顿-莱布尼茨定理时，我们用定积分对一个连续函数 f(x) 函数，定义了一个这样的函数：
由于这个函数的自变量 x 在积分上限，我们称这样的函数为“积分上限函数”。在微积分里证明了：这个积分上限函数是 f(x) 的原函数，或者说，f(x) 是这个积分上限函数的导数。这个结论直接导致了微积分基本定理：牛顿-莱布尼茨公式。
当然，变量也可能出现在积分下限，甚至上限和下限都可以含有自变量，我们把这类函数统称为“积分变限函数”。
积分变限函数与以前所接触到的所有函数形式都很不一样。首先，它是由定积分来定义的；其次，这个函数的自变量出现在积分上限或下限。因此，这种函数给人一种新鲜感、神秘感。一些同学甚至对这种函数形式感到很茫然。
2. 为什么函数要用定积分来表示？哪些函数要用积分来表示？
有的人觉得奇怪，为什么有的函数要表示成积分的形式？其实，并不是数学家们故弄玄虚，故意要把函数写成这种复杂的形式来为难我们，这实在是不得已而为之的事情。因为有很多函数（有不少还是重要的函数）没有办法写成我们喜欢的初等函数的形式（有限的形式），它们只能用这种积分的形式来表示。
例如，概率积分（也叫误差函数）

就是一个积分上限函数。由于数学家已经证明其被积函数 e^(-x^2)  的原函数不是初等函数，所以这个积分是“积不出”的 (我们不能用定积分的牛顿-莱布尼茨公式求出原函数，再代入上、下限)。所以这个函数就只能写成积分上限函数的形式。（当然，我们也可以将被积函数展开成幂级数，再逐项积分，然后代入上、下限。这样可以把这个积分上限函数表示成无穷级数的形式。见教材下册226页，例4）。
这种“积不出”的积分变限函数大量存在于很多学科领域。在数学中，我们把这种函数称为由积分定义的“特殊函数”（Special function）（其中包括伽马函数、贝塔函数、概率积分（误差函数）、正弦积分函数（余弦积分函数）等等）。这些函数的研究已经超出非数学专业本科生的学习范围。
3. 积分变限函数的有图形吗？图形怎么作出？
请问：你是否曾经亲眼看见过积分变限函数的图形？ 我想，绝大多数同学都会说：“没有！”（不管在教材上、还是在课堂上。） 有的同学可能会说：“它们还有图形？我怎么没有想过这个问题？”
是的，积分变限函数（跟其他形式的函数一样）是有图形的由于积分上限函数一般不是初等函数，所以它们的图形很难画出。因为要作出积分变限函数的图形，你必须计算大量的定积分（还要用近似计算的方法）。这就是为什么微积分教材中有很多积分变限函数，但是我们却看不到这些函数的图形！在课堂上，老师也不可能在黑板上用粉笔画出它们的图形。
但是，如果利用先进的计算工具，这种情况就可以改变。今天，我们利用计算机和数学软件（例如Maple、Mathematica、Matlab），就不难作出积分变限函数的图形。因为对于计算机而言，计算大量的定积分是轻而易举的事情，我们只要用数学软件编出一个小小的程序，计算的事情由计算机去完成就可以了。
4. 一些积分变限函数的图形
下面就让我们来亲眼看一看利用数学软件Maple编程画出的一些积分变限函数的图形。这些图形使得积分变限函数不再神秘。
（1）正弦积分函数 (Sine integral function 或 Sine integral)（教材下册，227页，例5）

with(plots):
quxian:=plot(int(sin(t)/t,t=0.01..x),x=-40..40,thickness=3):
display(quxian,title="The sine integral function");

（2）误差函数（概率积分）(Error function)（教材下册，226页，例4）

with(plots):
quxian:=plot(int((2/sqrt(Pi))*exp(-t^2),t=0..x),x=-5..5,thickness=3):
display(quxian,title="The error function");

（3）费涅耳函数（Fresnel function）

with(plots):
quxian:=plot(int(sin(Pi*t^2/2),t=0..x),x=-5.5..5.5,thickness=3):
display(quxian,title="The Fresnel function");

       如果不但积分上下限有自变量、被积函数也有自变量，则属于含参变量的积分（教材下册第九章，第五节）。这种函数更加复杂（已超出本科教学大纲）。但是用数学软件仍然能够作出它们的图形。

含参变量的积分1（教材下121页，例1）

with(plots):
quxian:=plot(int(sin(x*t)/t,t=x..x^2),x=-3..3,thickness=3):
display(quxian);

含参变量的积分2（教材下123页，题2）

with(plots):
quxian:=plot(int((t^2*sin(x)-t^3),t=sin(x)..cos(x)),x=-4..4,thickness=3):
display(quxian);
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