2007—数二真题、标准答案及解析.doc

2007年考研数学二真题
一．选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）
（1） 当时，与等价的无穷小量是 （ ）
A. B. C. D.
（2）函数在区间上的第一类间断点是( )
A. 0 B. 1 C. D.
（3）如图.连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设则下列结论正确的是： （ ）
.

(4)设函数f（x）在x=0处连续，下列命题错误的是 ( )
A. 若存在，则 B. 若存在,
C. 若存在, 则 D. 存在,
（5）曲线渐近线的条数为 （ ）
0 1 2 3
(6)设函数在上具有二阶导数，且, 令= 则下列结论正确的是 ( )
A.若，则必收敛 B. 若，则必发散
C. 若，则必收敛 D. 若，则必发散
（7）二元函数在点（0，0）处可微的一个充分条件是 （ ）
A.
B. ，且

C.
D. 且
（8）设函数连续，则二次积分等于 （ ）

（9）设向量组线形无关，则下列向量组线形相关的是： ( )
（A） （B）
（C） （D）
（10）设矩阵A=，B=,则A于B， （ ）
(A) 合同，且相似 (B) 合同，但不相似
(C) 不合同，但相似 (D)既不合同，也不相似

二．填空题：11－16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上
____.
曲线上对应于的点处的法线斜率为_____
设函数，则＝_____.
二阶常系数非齐次线性微分方程的通解y＝_____.
设是二元可微函数，,则.

设矩阵，则的秩为______.
三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（17）设是区间上单调、可导函数，且满足，其中是的反函数，求.
（18）（本题满分11分）
设D是位于曲线 下方、轴上方的无界区域.
（Ⅰ）求区域D绕轴旋转一周所成旋转体的体积；
（Ⅱ）当为何值时，最小？并求此最小值.
（19求微分方程满足初始条件的特解.
（20）已知函数具有二阶导数，且＝1，函数由方程所确定.设求，.
(21)（本题11分）
设函数在上连续，在内具有二阶导数且存在相等的最大值，证明：存在使得.
（22）（本题满分11分）
设二元函数
计算二重积分其中
(23)（本题满分11分）
设线性方程组
与方程

有公共解，求的值及所有公共解
(24)设3阶对称矩阵A的特征向量值是A的属于的一个特征向量,记其中为3阶单位矩阵
验证是矩阵的特征向量,并求的全部特征值的特征向量；
求矩阵.

2007年考研数学二真题解析
一．选择题（本题共10小题，每小题4分满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）
（2） 当时，与等价的无穷小量是 （B）
A. B. C. D.
（2）函数在区间上的第一类间断点是(A)
A. 0 B. 1 C. D.
（3）如图.连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设则下列结论正确的是：（C）
.

(4)设函数f（x）在x=0处连续下列命题错误的是 (C)
A. 若存在，则 B. 若存在,
C. 若存在, 则 D. 存在,
（5）曲线渐近线的条数为 （D）
0 1 2 3
(6)设函数在上具有二阶导数，且, 令= 则下列结论正确的是 (D)
A.若，则必收敛 B. 若，则必发散
C. 若，则必收敛 D. 若，则必发散
（7）二元函数在点（0，0）处可微的一个充分条件是 （B）
A.
B. ，且

C.
D. 且
（8）设函数连续，则二次积分等于 （B）

（9）设向量组线形无关，则下列向量组线形相关的是： (A)
（A） （B）
（C） （D）
（10）设矩阵A=，B=,则A于B， （B）
(A) 合同，且相似 (B) 合同，但不相似
(C) 不合同，但相似 (D)既不合同，也不相似
二．填空题：11－16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上
.
曲线上对应于的点处的法线斜率为（）.
设函数，则＝.
二阶常系数非齐次线性微分方程的通解y＝_.
设是二元可微函数，,则.
设矩阵，则的秩为_1______.

三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（17）设是区间上单调、可导函数，且满足，其中是的反函数，求.
【详解】：
设则.
则原式可化为：
等式两边同时求导得：

（18）（本题满分11分）
设D是位于曲线 下方、轴上方的无界区域.
（Ⅰ）求区域D绕轴旋转一周所成旋转体的体积；
（Ⅱ）当为何值时，最小？并求此最小值.
【详解】：

得
故
即是唯一驻点，也是最小值点，最小值
（19）求微分方程满足初始条件的特解.
【详解】：
设，则代入得：

设 则

即 由于
故
即
由或
特解为或
（20）已知函数具有二阶导数，且＝1，函数由方程所确定.设求，.
【详解】：
两边对求导得
得 （当
故有

（本题11分）
设函数在上连续，在内具有二阶导数且存在相等的最大值，证明：存在使得.
【详解】：
证明：设在内某点同时取得最大值，则，此时的c就是所求点

.若两个函数取得最大值的点不同则有设
故有，由介值定理，在内肯定存在由罗尔定理在区间内分别存在一点＝0在区间内再用罗尔定理，即.
（22）（本题满分11分）
设二元函数
计算二重积分其中
【详解】：D如图（1）所示，它关于x,y轴对称，对x,y均为偶函数，得
，其中是D的第一象限部分.

2
2
x
y
x
1
2
1
2
y
(1)
(2)

由于被积函数分块表示，将分成（如图（2））：,且

于是.而

所以

得

（本题满分11分）
设线性方程组
与方程
有公共解，求的值及所有公共解.
【详解】：
因为方程组(1)、(2)有公共解，即由方程组(1)、(2)组成的方程组
的解.
即矩阵方程组(3)有解的充要条件为

.
当时，方程组(3)等价于方程组(1)即此时的公共解为方程组(1)的解.解方程组(1)的基础解系为此时的公共解为：
当时，方程组(3)的系数矩阵为此时方程组(3)的解为，即公共解为：
(24)设3阶对称矩阵A的特征向量值是A的属于的一个特征向量,记其中为3阶单位矩阵
验证是矩阵的特征向量并求的全部特征值的特征向量；
求矩阵.
【详解】：
（Ⅰ）可以很容易验证，于是

于是是矩阵B的特征向量.
B的特征值可以由A的特征值以及B与A的关系得到，即
，
所以B的全部特征值为－2，1，1.
前面已经求得为B的属于－2的特征值，而A为实对称矩阵，
于是根据B与A的关系可以知道B也是实对称矩阵，于是属于不同的特征值的特征向量正交，设B的属于1的特征向量为，所以有方程如下：

于是求得B的属于1的特征向量为
（Ⅱ）令矩阵，则，所以

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