1、在柱坐标系和球坐标系下计算在柱坐标系和球坐标系下计算第1页一、在柱坐标系下计算法一、在柱坐标系下计算法要求：要求：第2页圆柱面圆柱面半平面半平面平平 面面如图，柱面坐标系中体积元如图，柱面坐标系中体积元第3页然后再把它化为三次积分来计算然后再把它化为三次积分来计算积分次序普通是先积分次序普通是先 z 次次 r 后后积分限是依据积分限是依据 在积分区域中改变范围来确定在积分区域中改变范围来确定例例1解解将将 投到投到xoy 面得面得D第4页注注 若空间区域为以坐标轴为轴圆柱体、若空间区域为以坐标轴为轴圆柱体、圆锥体或旋转体时，通常情况下总是考圆锥体或旋转体时，通常情况下总是考虑使用柱坐标来计算。
2、虑使用柱坐标来计算。例例2第5页解解关键在于定出关键在于定出 改变范围改变范围 范围轻易定出范围轻易定出z 呢？呢？第6页注意到注意到第7页二、在球坐标系下计算法二、在球坐标系下计算法第8页要求要求球球 面面圆锥面圆锥面半平面半平面第9页如图，如图，球面坐标系中体积元素为球面坐标系中体积元素为然后把它化成对然后把它化成对 三次积分三次积分详细计算时需要将详细计算时需要将 用球坐标系下不等式组表示用球坐标系下不等式组表示积分次序通常是积分次序通常是第10页解一解一用球坐标用球坐标第11页解二解二 用柱坐标用柱坐标第12页解解第13页注注若若 积分区域为球体、球壳或其一部分积分区域为球体、球壳或其
3、一部分被积函数呈被积函数呈而用球坐标后积分区域球坐标方程比较简单而用球坐标后积分区域球坐标方程比较简单通常采取球坐标。通常采取球坐标。第14页补充：利用对称性简化三重积分计算补充：利用对称性简化三重积分计算使用对称性时应注意：使用对称性时应注意：、积分区域关于坐标面对称性；、积分区域关于坐标面对称性；、被积函数在积分区域上关于三个坐标轴、被积函数在积分区域上关于三个坐标轴奇偶性奇偶性“你你对称，对称，我我奇偶奇偶”第15页关于关于 xoy 面对称面对称关于关于 xoz 面对称面对称第16页关于关于 yoz 面对称面对称第17页三、小结三、小结三重积分换元法三重积分换元法柱面坐标柱面坐标球面坐标球面坐标（1）柱面坐标体积元素柱面坐标体积元素（2）球面坐标体积元素球面坐标体积元素（3）对称性简化运算对称性简化运算第18页思索题思索题第19页练练 习习 题题第20页第21页第22页第23页练习题答案练习题答案第24页第25页第26页
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