1、第三节圆方程第三节圆方程 第1页基础梳理基础梳理1.圆标准方程与普通方程(1)圆标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，其中圆心为_，半径为r；(2)圆普通方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，圆心坐标_，半径为_方程表示圆充要条件是_2.点(x0，y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2位置关系：(1)当(x0-a)2+(y0-b)2r2时，点在_；(2)当(x0-a)2+(y0-b)2=r2时，点在_；(3)当(x0-a)2+(y0-b)2r，点P在圆外第8页变式1-1圆心在直线2x-y-7=0上圆C与y轴交于两点A(0，-4)，B(0，-2)，则圆C 方程是 ()A.(x-2)2+
2、(y+3)2=5B.(x+2)2+(y-3)2=5C.(x-3)2+(y+2)2=5D.(x+3)2+(y-2)2=5 答案：A解析：由题意知圆心一定在直线y=-3上，又圆心在直线2x-y-7=0上，故圆心坐标为(2，-3)，半径r=，故所求圆方程为(x-2)2+(y+3)2=5.第9页题型二圆对称问题题型二圆对称问题【例2】已知圆C1：(x+1)2+(y-1)2=1，圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称，则圆C2方程为 ()A.(x+2)2+(y-2)2=1B.(x-2)2+(y+2)2=1C.(x+2)2+(y+2)2=1D.(x-2)2+(y-2)2=1解：设圆C2圆心为(a，b)，
3、则依题意，有 解得 对称圆半径不变，仍为1，故选B.第10页变式变式2-12-1已知圆C 圆心与点P(-2,1)关于直线y=x+1对称.直线3x+4y-11=0与圆C 相交于A、B两点，且|AB|=6，则圆C 方程为_ 答案：x2+(y+1)2=18解析：设圆心C(x，y)，则 所以 故圆心坐标为(0，-1)，圆心到直线3x+4y-11=0距离d=3，所以r2=32+d2=18.故圆方程为x2+(y+1)2=18.第11页题型三与圆相关最值问题题型三与圆相关最值问题【例3】已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.(1)求 最大值和最小值；(2)求y-x最大值和最小值；(3)求x2+y2
4、最大值和最小值解：原方程可化为(x-2)2+y2=3，表示以(2,0)为圆心，为半径圆(1)几何意义是圆上一点与原点连线斜率，所以设 =k，即y=kx.当直线y=kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时 =，解得k=，如图1，所以最大值为 ，最小值为-.第12页(2)y-x可看作是直线y=x+b在y轴上截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时 =，解得b=-2 .如图2，所以y-x最大值为-2+，最小值为-2-.(3)x2+y2表示圆上一点与原点距离平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线和圆两个交点处取得最大值和最小值，如图3.又圆心到原点距离为 =2.所以，x
5、2+y2最大值为(2+)2=7+4 ，x2+y2最小值为(2-)2=7-4 .第13页变式变式3-13-1已知圆C：(x-3)2+(y-4)2=1，点A(-1,0)，B(1,0)，点P为圆上动点，求d=|PA|2+|PB|2最大值、最小值 解：设P(x0，y0)，则d=|PA|2+|PB|2=(x0+1)2+y02+(x0-1)2+y02=2(x02+y02)+2.欲求d最值，只需求w=x02+y02最值，即求圆C上点到原点距离平方最值，故过原点O与圆心C直线与圆两个交点P1，P2即为所求设过O，C两点直线交圆C于P1，P2两点，则wmin=(|OC|-1)2=16=|OP1|2，此时dmin
6、=2*16+2=34，wmax=(|OC|+1)2=36=|OP2|2，此时dmax=2*36+2=74.第14页题型四与圆相关轨迹问题题型四与圆相关轨迹问题【例4】已知线段AB端点B坐标是(4,3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB中点M轨迹方程解：设点M坐标为(x，y)，点A(x0，y0)因为M是线段AB中点，且B(4,3)，所以 所以 又点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，所以(x0+1)2+y02=4.把代入，得(2x-4+1)2+(2y-3)2=4，整理得 2+2=1.所以点M轨迹是以 为圆心，半径为1圆第15页变式4-1由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、
7、PB,切点分别为A、B，AOB=120(O为坐标原点)，求动点P轨迹方程 解：连接OP，因为PA、PB为切线，切点分别为A、B，所以OAAP，OBBP.因为AOB=120，所以APO=BPO=30.在RtAPO中，可得|OP|=2|OA|=2,所以点P轨迹是以点O为圆心、半径为2圆，其方程为x2+y2=4.第16页解：以AB中点为原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图.则C(4,2)、M(3,3).设圆弧所在圆方程为x2+(y-b)2=r2，则 即所求圆方程为x2+(y+1)2=25.令x=0代入方程解得y=4或-6(舍去)所以拱顶E距路面AB最少需4 m.题型五圆方程实际应用题型五圆方程实际应用【例5】某工程设计一条单行隧道，其横截面如图所表示，下部ABCD为长8 m高2 m矩形，上部是圆弧CED一部分.欲使宽6 m高3 m大型货车刚好能经过，求拱顶E距离路面AB最少需多少米？第17页链接高考链接高考(广东)已知圆心在x轴上，半径为 圆O位于y轴左侧，且与直线x+2y=0相切，则圆O方程是_.知识准备：1.知道圆心横坐标为负，纵坐标为0；2.知道圆心到切线距离等于半径答案：(x+5)2+y2=5解析：设圆心为(a,0)(a0)，则r=，解得a=-5.所以圆O方程为(x+5)2+y2=5.第18页
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