二次曲线的配极原理市公开课一等奖百校联赛获奖课件.pptx

配极在二次曲线理论中十分主要配极在二次曲线理论中十分主要,二次曲线大部分主要性质二次曲线大部分主要性质均与配极相关均与配极相关.只讨论二阶曲线只讨论二阶曲线,总假定：非退化总假定：非退化.设设配极变换配极变换配极变换配极变换第1页一、极点与极线一、极点与极线1.引入引入 定义定义6 两点两点P,Q关于关于共轭共轭(如图如图)，假，假如如(PQ,M1M2)=-1.定理定理13 点点P关于关于共轭点轨迹为一条直线共轭点轨迹为一条直线Sp=0.证实证实 设设P(pi),Q(qi).则则PQ与与:S=0交点交点M(pi+qi)满足满足设其两根为设其两根为1,2.则交点为则交点为Mj(pi+jqi),j=1,2).于是于是(PQ,M1M2)=1 1/2=1 1+2=0 将将qi改为流动坐标改为流动坐标xi,得得P关于关于共轭点轨迹为直线共轭点轨迹为直线Sp=0.配极变换配极变换配极变换配极变换第2页 推论推论5 两点两点P,Q关于关于共轭共轭Spq=0.注注1.P在在上上,则则Spp=0。我们要求。我们要求 上点关于上点关于自共轭自共轭.注注2.验证两点验证两点P,Q关于关于共轭共轭,只要验证只要验证配极变换配极变换配极变换配极变换第3页2.极点与极线极点与极线 定义定义7 对于点对于点P,若若则称则称P关于关于共轭点轨迹共轭点轨迹p为为切线切线pP关于关于极线极线,方程为方程为Sp=0反之反之,称称P为直线为直线p关于关于极点极点.由推论由推论5,我们给出共轭点一个等价定义：我们给出共轭点一个等价定义：配极变换配极变换配极变换配极变换 定义定义6 相互在对方极线上两点称为关于相互在对方极线上两点称为关于共轭点共轭点.第4页 推论推论6 平面上任一点平面上任一点P关于关于极线存在唯一极线存在唯一,其方程为其方程为Sp=0.反之反之,平面上任一直线平面上任一直线u关于关于极点存在唯一极点存在唯一.证实证实 只要证后半只要证后半.设直线设直线u:u1x1+u2x2+u3x3=0,求求u关于关于极极点点.设设P(pi)为其一个极点为其一个极点,因为因为P(pi)极线唯一存在为极线唯一存在为Sp=0,从而从而u与与Sp=0为同一直线为同一直线,由此能够推知由此能够推知因为因为|aij|0,故故(2)对于对于(p1,p2,p3)有唯一解有唯一解,即即u极点极点P唯一存在唯一存在.(2)表示直线表示直线u与它极点与它极点P之间关系之间关系,称为称为极点方程组极点方程组.配极变换配极变换配极变换配极变换第5页3.极点与极线计算极点与极线计算 (1).已知已知P(pi),求极线求极线,直接求直接求Sp=0.(2).已知已知u(ui),求极点求极点,将将ui代入代入(2),解出解出(pi).(注：在实际注：在实际计算时计算时,可取可取=1.)注注.方程方程(2)是一个非奇异线性变换是一个非奇异线性变换,是由是由:S=0经过关于它经过关于它极点极线关系要求同底点场与线场之间一个一一变换极点极线关系要求同底点场与线场之间一个一一变换.定义定义8 相互经过对方极点直线称为关于相互经过对方极点直线称为关于共轭直线共轭直线.注注.利用利用Maclaurin定理及对偶标准有定理及对偶标准有:两直线两直线uui,vvi关于关于:S=0共轭共轭Tuv=0 依据推论依据推论6,能够对偶地给出以下定义：能够对偶地给出以下定义：配极变换配极变换配极变换配极变换第6页二、配极变换二、配极变换1.配极变换概念配极变换概念 定义定义 称由称由决定同底点场与线场之间变换为关于非退化二阶曲线决定同底点场与线场之间变换为关于非退化二阶曲线:S=0配极配极变换变换.注注1.任一非退化二阶曲线任一非退化二阶曲线都决定了平面上一个配极变换都决定了平面上一个配极变换.注注2.配极变换是异素变换配极变换是异素变换.定理定理14(配极标准配极标准)点点P关于关于极线极线p经过点经过点Q点点Q关于关于极极线线q经过点经过点P.(对偶：直线对偶：直线p关于关于极点极点P在直线在直线q上上直线直线q关于关于极点极点Q在直线在直线p上上.)注注.本定理给出了配极变换最基本几何性质本定理给出了配极变换最基本几何性质.配极变换配极变换配极变换配极变换第7页 推论推论7 两点连线极点为此二点极线交点；两两点连线极点为此二点极线交点；两直线交点极线为此二直线极点连线直线交点极线为此二直线极点连线.推论推论8 共线点极线必共点；共点线极点必共线点极线必共点；共点线极点必共线共线.推论推论9 关于非退化二阶曲线关于非退化二阶曲线配极变换使得点列对应于线束配极变换使得点列对应于线束,线束对应于点列；图形对应于其对偶图形线束对应于点列；图形对应于其对偶图形.推论推论10 关于非退化二阶曲线关于非退化二阶曲线配极变换使得共线四点交比等配极变换使得共线四点交比等于其对应共点四直线交比于其对应共点四直线交比.所以所以,配极变换要求了一个点列与其对配极变换要求了一个点列与其对应线束之间一个射影对应应线束之间一个射影对应.综上：综上：非退化二阶曲线非退化二阶曲线配极变换配极变换二维异素射影变换二维异素射影变换二维异素射影变换二维异素射影变换对偶变换对偶变换从而从而配极标准配极标准特殊对偶标准特殊对偶标准配极变换配极变换配极变换配极变换第8页2.自极三点形自极三点形 定义定义10 若一个三点形关于若一个三点形关于每个顶点是其对边极点每个顶点是其对边极点(则每边则每边是其对顶极线是其对顶极线),则称此三点形为关于则称此三点形为关于一个一个自极三点形自极三点形.定理定理15 内接于非退化二阶曲线内接于非退化二阶曲线完全四点形对边三点形是关完全四点形对边三点形是关于于一个自极三点形一个自极三点形.注注1.自极三点形任一顶点必不在自极三点形任一顶点必不在上上.注注2.自极三点形恰有一个顶点在自极三点形恰有一个顶点在“内部内部”.注注3.自极三点形任意两顶点相互共轭自极三点形任意两顶点相互共轭;任意两边相互共轭。任意两边相互共轭。例例1.给定不在给定不在上一点上一点P(pi),任求任求一个自极三点形一个自极三点形PQR.解解.(i)求求P(pi)极线极线p：Sp=0.(ii)在在p上任取不属于上任取不属于一点一点Q(qi),求求Q极线极线q：Sq=0.(iii)求求p与与q交点交点R(ri),则则PQR必为必为一个自极三点形一个自极三点形.配极变换配极变换配极变换配极变换第9页3.配极变换基本应用配极变换基本应用(1).几何证实题几何证实题灵活利用配极标准以及自极三点形等概念灵活利用配极标准以及自极三点形等概念(2).极点极线作图极点极线作图 例例2.已知非退化二阶曲线已知非退化二阶曲线及不在及不在上一点上一点P,求作求作P关于关于极线极线p.例例3.已知非退化二阶曲线已知非退化二阶曲线以及一直以及一直线线p,求作求作p关于关于极点极点P.作法作法.在在p上任取不在上任取不在上两相异点上两相异点Q,R,利用上例利用上例,作作Q,R关于关于极线极线q,r.则则qr=P.例例4.已知非退化二阶曲线已知非退化二阶曲线及及外一外一点点P,过过P求作求作两切线两切线.作法一作法一.利用例利用例2,设设p交于交于E,F,连连PE,PF即可即可.作法二作法二.如图如图.过过P任作三割线任作三割线,可得切线可得切线.配极变换配极变换配极变换配极变换第10页