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第一章集合第一节集合的含义、表示及基本关系 A组1.已知/=1,2,8=以4,则集合/与8的关系为.解析:由集合3=,4知，5=1,2.答案:A=B2.若。呈小2Wa,a R,则实数。的取值范围是.解析：由题意知，fw q有解，故答案：a 203.已知集合Z=04y=d2x1,x R,集合3=-2x 5,集合3=小。,若命题 是命题的充分不必要条件，则实数。的取值范围是.解析：命题是命题“xGB”的充分不必要条件，./B,：.a5.答案：a0 且 Z 0;(2)a 0 且 b0;(3)a 0 且 Z 0;(4)a 0 且 b0,讨论得y=3或y=-1.答案：3,12.已知集合4=-1,3,2加一1,集合3=3,毋.若BJA,则实数加=_.解析：,BA,显然毋力-1且加2#3,故加2=2相-1,即(/-Ip=0,.答案：13.设尸，。为两个非空实数集合，定义集合产+。=。+切。，bQ,若尸=0,2,5,Q=1,2,6,则P+。中元素的个数是 个.解析：依次分别取。=0,2,5;6=1,2,6,并分别求和，注意到集合元素的互异性，：.P+。=1,2,6,3,4,8,7,11.答案：84.已知集合胫=x,2=l,集合N=x|a x=l,若N M,那么a的值是_.解析：M=小=1 或=-1,N M,所以 N=0时，a=0;当 a#0 时，x=：=或-15.工。=1 或-1.答案：0,1,15.满足1窄411,2,3的集合/的个数是 个.解析：Z中一定有元素1,所以/有 1,2,1,3,1,2,3.答案：36.已知集合4=妙=+/aZ,B=xx=,bZ,0=小=1十/,c GZ,则Z、B、C之间的关系是.解析：用列举法寻找规律.答案：A呈B=C7.集合/=x|,|W4,x R,B=xx5”的.解析：结合数轴若Z C 8台。24,故“ANB”是“a 5”的必要但不充分条件.答案：必要不充分条件8.(2010年江苏启东模拟)设集合用=相同=2，N,且加500,则用中所有元素的和 为解析：V2w0,故x WO,孙W0,于是由Z=B得尼(肛)=0,xy=：.A=,1,0,B=0,忖，1.于是必有,|=1,：=x Wl,故=-1,从而y=-l.11.已知集合/=x p3x10W0,(1)若8C 4 B=xm-lx2 m-l,求实数相的取值范围；(2)若4C 3,B=xm-6x2 m-l,求实数相的取值范围；(3)若4=B,B=xm-6x2 m-l,求实数机的取值范围.解：由4=产 一3%-100,得4=R-2Wx 2加-1,即加 m-6,m-5,(2)若Z Q3,则依题意应有1m-6W-2,解得2.(2)若3是Z的子集，即由数轴可知l Wa W2.1a2若4=3,则必有。=2第二节集合的基本运算A组1.（2009年高考浙江卷改编）设。=氏4=布0,B=xx l,则40.解析：9=小力,Q中=x|0 xl.答案：RO12.（2009年高考全国卷I改编）设集合2=4,5,7,9,5=3,4,7,8,9,全集。=Z UB,则集 合14/08）中的元素共有 个.解析：AHB=4,1,9,Z U3=3,4,5,7,8,9,05）=3,5,8.答案：33.已知集合 M=0,2,N=xx=2 a,aM,则集合 M GN=.解析：由题意知，N=0,2,4,故 MGN=0,2.答案：0,24.（原创题）设4 3是非空集合，定义4值）3=%,力03且x M AB,已知4=x|0Wx 1,集得到方程 乓球运动合B=(1)当相=一1 时，求Z AB,AUB；(2)若BNA,求相的取值范围.解：(1)当加=-1 时，Qx|-1WxW2,.n Qx|lx W2“U8=x|x l.(2)若匹4,则勿1,即力的取值范围为（1,+8）B组1.若集合 M=x R|-3Ul,N=x Z|-lx W2,贝l j M HN=.解析:因为集合=-1,0,1,2,所以 M GN=-l,0.答案：-1,02.已知全集。=-1,0,1,2,集合4=-1,2,B=0,2,则()03=.解析：:=0,1,故(/)n g=0.答案：03.(2010年济南市高三模拟)若全集U=R,集合M=x|-2Wx W2,N=x p_3x W0,则 MC(uN)=.解析：根据已知得 MG(网=x-2Wx W2 n 小3=x-2Wx 0.答案：x|2x =5,M=xx=o a,则集合 M 的所有子集是.解析：./()=/,.;2,3,a2+2 a-3=2,5,a+l,：.a+=3,且/+2a-3=5,解得。=-4 或 a=2,.t.M=l o g22,l o g2|-4|=1,2.答案:0,1,2,1,210.设集合4=%|?3%+2=0,3=x|?+2(q+i)x+32-5)=0.(1)若Z G3=2,求实数a的值；(2)若Z U3=4求实数a的取值范围.解：由尤2-3x+2=0得x=1或=2,故集合/=1,2.2,代入 8 中的方程，得/+4a+3=0=a=-1 或a=-3;当a=-1 时，3=x|x2-4=0=-2,2,满足条件；当。=-3 时，B=小2-4x+4=0=2,满足条件；综上，a的值为-1或-3.(2)对于集合B,A=4(a+1)2-4(/-5)=8(+3).：AB=A,：.BA,当A0,即a 0,即a-3时，8=/=1,2才能满足条件，则由根与系数的关系得51+2=-2(a+1)a=-r,2 2 矛盾.综上，a的取值范围是a W-3.l X2=a-5 2 rQ=7,11.已知函数危)=、/詈彳1的定义域为集合Z，函数g(x)=l g(f+2x+M的定义域为 集合注(1)当加=3 时，求Z G(1r3)；(2)若Z GB=x 1x4,求实数相的值.解:A=x-l x 5.(1)当 zn=3 时,B=x|-l x 3,则rB=x|x W-1 或 x=3,.,./G(rB)=x|3Wx W5.(2)：A=x|-1X5,ACB=x|-l x 4,有-4?+2X4+加=0,解得加=8,此时B=x|-2x 4,符合题意.12.已知集合4=%R|q x23x+2=0.(1)若4=0,求实数a的取值范围；(2)若4是单元素集，求a的值及集合4;(3)求集合=a RMN。.解：(1乂是空集，即方程办2一3%+2=0无解.2若a=0,方程有一解=不合题意.9若a WO,要方程a?-3%+2=0无解，则A=9-8a Q.O(2)当a=0时，方程a?-3%+2=0只有一才艮2 91 4=符合题意.o当 a WO 时，贝|A=9-8a=0,即 a=d时，O方程有两个相等的实数根%=*贝I/=刍.综上可知，当4=0时，A=1;当a=时，A=.（3）当a=0时，4=|.当。力0时，要使方程有实数根，9贝|A=9-8a 20,即O9 9综上可知，a的取值范围是a Wg,即河=a R|Z W0=a|a Wg 第二章函数第一节 对函数的进一步认识A组_ 1 3x F41.（2009年高考江西卷改编）函数歹=X 丫 的定义域为卜 工2-3%+420,解析：-=4x e-4,0）U（0,l x WO,答案：4,0）U（0,12.（2010年绍兴第一次质检）如图，函数次光）的图象是曲线其中点O,A,B的坐标分别为。0）,（1,2）,（3,1）,贝1J大志）解析：由图象知y（3）=1,=火1）=2.答案：23,%1.解析：依题意得x Wl时，3、=2,/.=l o g32;当 x l 时，-x=2,x=-2（舍去）.故 x=l o g 32.答案：k）g 324.（2010年黄冈市高三质检）函数力1,也一1,地满 厂,足加到1的这样的函数个数有_个./解析：如图.答案：1 Ji4口5.（原创题）由等式 x 3+a x 2+q 2x+a 3=（x+1）3+仇（X+Ip+/bz（x+1）+济定义一个映射人处，的的）=（加，b2,b3）,则2,1,-1）.解析：由题意知+2x2+X-1=（X+1）3+b（x+1）2+b2（X+1）+63，令=1得：-1=；再令x=0与尤=1得_ =+仇+岳+济3=8+4仇+2 b2+b-i解得 b=-1,b2=0.答案:(1,0，1)6.已知函数於)=/+1(l Wx Wl),(1)求人1一亡7)，/W2)的值；(2)求人3%E+3(X-1).31);(3)若义)=/,求 a解：1A%)为分段函数，应分段求解.7=1-(也+D=-V21,Pxy 3x 0=1+3T=3xTT；3若-l W3x-1W1,即 OWx W,/3x-l)=(3x-I)2+1=9?-6x+2;若 3x-1-1,即 x0,火3%-1)=2(3x-1)+3=6x+1.,./3x-l)=Q 2 A”mv 2 9x-6x+26x+1(x l 或-i 3当 a l 时，有 l+,=2，a=2;当-iWa Wl 时,o2+1=I，；.a=乎.a=2 或土手.B组1.(2010年广东江门质检)函数y=1 yj Sx2Hg(2x1)的定义域是.2 2解析：由 3%-20,2x-10,得.答案：%2x+l,(x 32.(2010年山东枣庄模拟)函数x)=j3,(一lx W2)，则刎R+5)=_.2%1，(x 2),解析：-l w|w 2,.火|)+5=-3+5=2,W2W2,，火2)=-3,7/(-3)=(-2/(-3)+1=7.答案：73.定义在区间(一1,1)上的函数小)满足处)一人一x)=l g(x+l)，则义工)的解析式为解析：对任意的 工(-1,1),有-由纨x)-/(-x)=l g Q+l),由久一%)-兀r)=l g(x+l),义2+消去火 r),W)=21g(x+1)+l g(-x+1),必)=争g Q+1)+|l g(l-x),(-l x 1).2 1答案:Xx)=yl g(x+l)+l g(l x),(一4.设函数歹=危)满足义x+l)=/x)+1,则函数y=/(x)与歹=%图象交点的个数可能是 个.解析：由於+1)=/)+1可得41)=0)+1,义2)=0)+2,3)=义0)+3,本题中如 果0)5.设函数义工)=2,人,若火4)=义0)，人-2)=2,则/)的解析式为 x+bx+c(x WO)a)=，关于x的方程加)=%的解的个数为 个.解析：由题意得16-46+c=c 彷=4)4-2 b+c=-2 c=22 Q 0)/./x)=7.x2+4x+2(x WO)由数形结合得加)=x的解的个数有3个.|2(%0)口 x2+4x+2(xWO)6.设函数Xx)=l o g,30,。1),函数 g(x)=f+6x+c,若大2+立)一/(巾+l)=g,g(x)的图象过点4(4,-5)及8(2,-5),则a=,函数减)的定义域为.答案：2(-1,3)x24x+6,%207.(2009年高考天津卷改编)设函数加)=I,，则不等式加)次1)的解集是彳+6,x 0解析：由已知，函数先增后减再增，当工20,加)次1)=3时，令於)=3,解得x=1,%=3.故危)次1)的解集为0Wx 3.当 x 0,x+6=3 时，x=-3,故兀r)次 1)=3,解得-3x 3.综上，危)刁的解集为 x|-3x 3.答案：x 3x 3l o g 2(4x),x WO,8.(2009年高考山东卷)定义在R上的函数段)满足於)=,小 j 则於-1)X12),x 0,义3)的值为.解析：.义3)=2)-义1)，又人2)=义1)-a)，.出3)=-旭)，VX0)=l o g 24=2,.33)=-2.答案：一29.有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5分 钟内只进水，不出水，在随后的15分钟内既进水，又出水，得到时间x与容器中的水量y 之间关系如图.再随后，只放水不进水，水放完为止，则这段时间内(即 220),v与x之间 函数的函数关系是.解析：设进水速度为升/分钟，出水速度为为升/分钟，则由题意得5a i=20 ax=4_ 得,.5。1+15(0-=35 a2=3则y=35-3(%-20),得，=-3%+95,又因为水放完为止，所以时间为当，又知x，20,故解析式为歹=-3x+95(20Wx W苧).答案：y=10.函数工)=,(1。2)%2+3(1。)%+6.(1)若段)的定义域为R,求实数。的取值范围；(2)若段)的定义域为2,1,求实数a的值.解：(1)若1-=0,即。=1,(i)若a=1时，於)=加，定义域为R,符合题意；(五)当=一时，於)=66%+6,定义域为-1,+8),不合题意.若 1-a M 0,贝I 虱%)=(1-a2)x2+3(1-a)x+6 为二次函数.由题意知g(x)O对x R恒成立，1a0,(a-l)(l l a+5)0,:.-亮41.由可得-亮Wa Wl.(2)由题意知，不等式(1-a2)x2+3(1-a)x+620的解集为-2,1,显然1-且-2,1是方程(1-a2)x2+3(1-a)x+6=0的两个根.ri-a20,Z 1,3。一。)”2 1，4=2，a-1 Ja=2.，a=2.561。1l A=3(1-a)2-24(1-a2)011.已知而:+2)=)(x R),并且当工1,1时，危)=一/+1,求当工2左一 1,2左+1(左Z)时、火灯的解析式.解：由义工+2)=加)，可推知麻:)是以2为周期的周期函数.当工2后-1,24+1时，2 k-1 Wx W2左+1,-1 Wx-2 kW 1.fix-2 k)=(x-2 k)2+1.又工)=於-2)=危-4)-J(x-2 k),AX)=-(x 2后y+1,一 2左一 1,2左+1,一Z.12.在2008年11月4日珠海航展上，中国自主研制的ARJ 21支线客机备受关注，接到了 包括美国在内的多国订单.某工厂有216名工人接受了生产1000件该支线客机某零部件的 总任务，已知每件零件由4个C型装置和3个H型装置配套组成，每个工人每小时能加工 6个C型装置或3个H型装置.现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，设加工C型装置的工人有无位，他们加工完C型装置所需时间为g(x),其余工人加工完H 型装置所需时间为力(%).(单位：h,时间可不为整数)(1)写出虱%),(尤)的解析式；(2)写出这216名工人完成总任务的时间曲:)的解析式；(3)应怎样分组，才能使完成总任务的时间最少？解：(1)g(x)=2：?O(0 x2 16,xN*),h(x)=16,xN*).(0a W86,x N*).(2次0=(3)分别为 86、130 或 87、129.示与(876216,i*)第二节函数的单调性A组1.(2009年高考福建卷改编)下列函数加)中，满足“对任意修，不(0,+8),当修必时,都有於1)次%2)”的是./(%)=:/(%)=(尤一1)2 f(x)=eX/a)=l n(x+l)解析：,对任意的11，X20(。，+8),当即12 大期)次制)，,危)在(0，+8)上为减函数.答案：2.函数於)(x R)的图象如右图所示，则函数g(x)人104%)(01 1)的单调减区间是.解析：V0t zl,y=Io&a 为减函数，.,.l o g0r0,时，都有1时,蛉)为减函数.由 OWl o g yW 答案：6，1(或(或，1)3.函数q=r_4+y i5_3x的值域是.解析：令x=4+sin2。，G0,与，y=sina+3c o sa=2sin（a+）,.,.10W2.答案：1,24.已知函数段）=|e+W3R）在区间0,1上单调递增，则实数a的取值范围解析：当a 0,且，+弓20时，只需满足e+320即可，贝U-l Wa 0时，曲:）=e*+/,则满足/Q）=e-120在工0,1上恒成 立.只需满足。W小而成立即可，故。式1，综上-IWa Wl.答案：-5.（原创题）如果对于函数加）定义域内任意的,都有加为常数），称为於）的下 界，下界”中的最大值叫做段）的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是.1（x 0）0/=sinx；/（x）=l g x；/a）=e；（x）=。（%=。）1（x o)=o(x=0).-1(%o）的下确界为-1.危）=o（x=0）是有下确界的函数.答案:.-1（X-1）6.已知函数x)=%2,g(x)=x1.(1)若存在x R使加)6-g(x),求实数b的取值范围；(2)设F(x)=Ax)7w g(x)+l加一病，且回(%)|在0,1上单调递增，求实数机的取值范围.解：(iRw R,y(x)b-g Q)x R,x-bx+b)2-4Z 0 b4.(2)尸(无)=x2-w x+1-m2,A=7W2-4(1-7W2)=5w2-4,当AWO即一手W冽W平时，则必需畀。-乎令0即加-或加时，设方程77a）=0的根为修，12（%10.太2,心AV.一 4a W4.答案：一4a 0,3.若函数危）=x+3a 0）在6,+8）上是单调增函数，则实数a的取值范围 a 3 9解析：,.义无）=%+-30）在（或，+8）上为增函数，0a T7.X 1 10答案:（O,.4.（2009年高考陕西卷改编）定义在R上的偶函数作），对任意修，x2G0,+8）（修应），有空匕空山0,则下列结论正确的是X2X1-OM 3M-2）A1）Al）勺（一2）勺（3）A2）/（1）/（3）A3）Al M-2）解析：由已知空2二曲）0,得兀t）在工0,+8）上单调递减，由偶函数性质得义2）=X2 一%X-2）,即火3）4-2）41）.答案：d（x 0）,5.（2010年陕西西安模拟）已知函数加）=,，、一，、小 满足对任意x iWX2,都有（a3）x+4a（QO）曲与0成立，则a的取值范围是.0a l,解析：由题意知，兀t）为减函数，所以*-30,解得0a/心（a-3）X0+4a,6.（2010年宁夏石嘴山模拟）函数兀v）的图象是如下图 所示的折线段。4&点4的坐标为（1,2）,点3的坐标为（3,0）,定义函数g（%）=/a）G1），贝1J函数g（x）的最大值为.2 朱.：解析：由函数y=-忖的图象可知其增区间为（-8,0.答案：2.若函数於）=l o g 2a2 一+30在区间2,+8）上是增函数，则实数a的取值范围是1:B.3%解析：g(x)=2%(尤-1).(一 x+3)(x-1)(OWx l),(14W3),当OWx l时，最大值为0;当时，在x=2取得最大值1.答案：17.（2010年安徽合肥模拟）已知定义域在1,1上的函数歹=加）的值域为2,0,则函数y=Xc o s5）的值域是.解析：Vc o Vx G-1,1,函数歹=次光）的值域为-2,0,.歹=心0八&）的值域为-2,0.答 案：2,08.已知x）=l o g y+2,x el,9,则函数歹二次“才+加丹的最大值是.解析：；函数尸监）2+加2）的定义域为140,a Wl）在区间（0,3内恒有兀0。，则义工）的单调递增区间 为.解析：令=2丁+%,当 x（0,时，（，D,而此时 1A%）0 恒成立，:.Ovo vl.=2Q+%一压,则减区间为（-8,_；）.而必然有 2+%0,即尤0 或 x-的单调递增区间为（-8,-1）.答案：（一8,-1）10.试讨论函数y=2（l o羲）221o羲+1的单调性.解：易知函数的定义域为（0,+）.如果令=g（x）=l o羲，y=XW）=2w2-2m+1,那 么原函数y=yg（x）是由g（x）与人）复合而成的复合函数，而=l o g|x在 0（0,+8）内是减 函数，y=22-2+1=2（-畀+g在we（-o o,g）上是减函数，在+8）上是增函 数.又母，即 的单调性：1。羲只，得坐；斗 得0%1时，於）0.（1）求人1）的值；（2）判断加）的单调性；（3）若人3）=-1,解不等式火网）0，代入得孙 则,1，由于当 1时，/）0,所以0,即於D-加2）9，.%9或x 9或-93%2+ax+h12.已知：兀0=l o g 3 ,%（0,+）,是否存在实数a,b,便段）同时满足下列三 个条件：（1）在（0,1上是减函数，（2）在1,+8）上是增函数，（3胎）的最小值是1.若存在，求 出a、b；若不存在，说明理由.+Q+6解：,./%）在（0,1上是减函数，1,+8）上是增函数，.=1时，危）最小，io g3一J一=1.即 a+b=2.设0 x i加2）.即修+办1+6应+2+6恒成立.修 X2由此得应*江包0恒成立.XX2又-60 恒成立，1.设1 X4，则/3）加4）恒成立.，心遥“4心 0恒成立.X3X4一%40，x犷4b 恒成立.由 621 且6W1 可知 6=1,=1.，存在a、b,使大x）同时满足三个条件.第三节函数的性质A组1.设偶函数段）=l o g亦一6|在（一8,0）上单调递增，则大a+1）与6+2）的大小关系为解析：由人龙）为偶函数，知b=o,10gol M，又曲:）在（-8,0）上单调递增，所以0a l,l a+12,则）在（0,+8）上单调递减，所以人+1）次6+2）.答案：a+1）次6+2）2.（2010年广东三校模拟）定义在R上的函数/犬）既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则D+义4）+火7）等于解析：危）为奇函数，且x R,所以0）=0,由周期为2可知，义4）=0,义7）=人1）,又 由次光+2）=於），令=-1得义1）=义-1）=-/1）1）=0,所以11）+义4）+7）=0.答案：03.(2009年高考山东卷改编)已知定义在R上的奇函数危)满足於4)=一段),且在区间0,2 上是增函数，则大一25)、11)、负80)的大小关系为.解析：因为小)满足加:-4)=-加:)，所以曲:-8)=段)，所以函数是以8为周期的周期 函数，则火-25)=/(-1),火80)=火0),火11)=火3),又因为火”)在R上是奇函数，火0)=0,得人80)/0)=0,X-25)=/-l)=-XI),而由加-4)=/)得火 11)=火3)=-/-3)=-/I-4)=/1),又因为兀t)在区间0,2上是增函数，所以义1)次0)=0,所以-义1)|)，由川-1|)勺及)，再根据作)的单调性得12%1 1?1 2-1|3 解得.答案：(，5.(原创题)已知定义在R上的函数兀t)是偶函数，对x R,2+%)=人2%),当人3)=一 2时，火2011)的值为.解析：因为定义在R上的函数/)是偶函数，所以2+1)=义2-力=於-2),故函数於)是以4为周期的函数，所以2011)=0),由 1)+人 4)=0,得 a(l-5+。(4-2)2-5=0,：.a=2,.7/(尤)=2Q-2了 一 5(1 Wx W4).(3)：歹=危)(-IWx Wl)是善函数，./(0)=0,又知产危)在0,1上是一次函数，.可设 危)=丘(OWx Wl),而义1)=2(1-2)2-5=-3,.k=-3,.当 OWx Wl 时，於)=-3x,从 而当一 1 Wx 0 时,fix)=x)=-3x,故-1 1 时,J(x)=-3x.，当 4/x W6 时,有-1Wx-5W1,.,.义工)=加-5)=-3。-5)=-3%+15.当 6x W9 时，1%-5W4,=/x-5)=2(x-5)-22-5=2(x-7)2-5.-3x+15,4Wx/62(x-7)2-5,6x9B组1.(2009年高考全国卷I改编)函数大%)的定义域为R,若+1)与加-1)都是奇函数，则 下列结论正确的是./(%)是偶函数/)是奇函数 领x)=/(x+2)/(x+3)是奇函数解析：加+1)与加-1)都是奇函数，./(一%+1)=-於+1),大一-1)=一/一 1),函数段)关于点(1,0),及点(-1,0)对称，函数加:)是周期7=2口-(-1)=4的周期函 数.X-x-l+4)=-危-1+4),人-+3)=-兀t+3),即加:+3)是奇函数.答案：32.已知定义在R上的函数/(%)满足/)=一且次-2)=/(1)=一1,；(0)=2,y(l)+/2)+-+/2009)+/2010)=.3解析：危)=一段+5)咏+3)=加0，即周期为3,由义-2)=人-1)=一1,义0)=2,所 以义 1)=一 1,2)=-1,3)=2,所以/I)+/2)+-+/2009)+/2010)=/2008)+/2009)+式2010)=川)+2)+3)=0答案：03.(2010年浙江台州模拟)已知兀t)是定义在R上的奇函数，且1)=1,若将大x)的图象向 右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则人1)+义2)+义3)+十大2010)=.解析：a)是定义在R上的奇函数，所以义-%)=-仆)，将曲:)的图象向右平移一个单 位后，得到一个偶函数的图象，则满足次-2+力=即/+2)=-於)，所以周期为4,XI)=1,X2)=X0)=0,X3)=-XI)=-1,X4)=o,所以加)+火2)+次3)+1)+义2)+/3)+/2010)=/4)X502+寅2)=0.答案：04.(2010年湖南郴州质检)已知函数0,若/1)=0,那么关于x的木等式液x)0,则在(0,+8)上段)是增函数，在(-8,0)上是减函 数，又义X)在R上是偶函数，且犬-1)=0,.AD=0.从而可知工(-8,-1)时，/)0;%(-1,0)时，於)0;%(0,1)时，於)0.，不等式的解集为(-8,-1)0(0)答案：(-8,-l)U(0,l).5.(2009年高考江西卷改编)已知函数加:)是(一8,+8)上的偶函数，若对于x 20,都有人无+2)=/)，且当 工0,2)时，於)=l o g 2(x+l),则大2009)+义2010)的值为.解析：是偶函数，-2009)=x2009).%)在%20时/+2)=/)，.加)周期 为 2.AX-2009)+/2010)=/2009)+/2010)=/1)+/0)=l o g22+l o g2l=0+1=L 答案:1 6.(2010年江苏苏州模拟)已知函数兀T)是偶函数，并且对于定义域内任意的”,满足於+2)=一点，若当 2c x3 时，於:)=%,则2009.5)=.解析：由义工+2)=-焉，可得加+4)=网，mo o w.o zx d+L Sk HL Sk y c-zH.Ta)是偶函数,.m2009.5)=。，且比一a|2时，则7(2a修)与人无2)的大小关系为-解析：,.,歹=於：+。)为偶函数，歹=/+。)的图象关于y轴对称，.尸友:)的图象关于 x=a对称.又,x)在(-8,团上是增函数，在+8)上是减函数.当修 a,且用一臼,2 一时，有a-XX2 a,即a2 a 一为 答案：7(2a修)次型)8.已知函数段)为R上的奇函数，当”20时,)=%(%+1).若火a)=2,则实数a=.解析：当时，兀r)=x(x+1)0,由 於)为奇函数知x 0时，义%)0,.*.a 0)在区间8,8上看四个不同的根修，%2，%3，%4，则修+芍+闷+%4=.解析：因为定义在R上的奇函数,满足於-4)=-工),所以 0)在区间-8,8上有四个不同的根修，孙 3，彳4，不妨设 Xi X2 X3 0)10.已知加)是口上的奇函数，且当无(8,0)时，/x)=-x l g(2x),求7(x)的解析式.解：:/(乃是奇函数,可得0)=-0),.成0)=0.当0时,-x 0,由已知0).如）=,-x l g(2-x)(x 0),-x l g(2+x)(Q0).即 Ax)=-%l g(2+,|)(x R).11.已知函数左），当x,y R时，恒有人犬+、）=加）+加）.（1）求证：义工）是奇函数；（2）如 果x R+,危）0,并且川）=一/试求加）在区间-2,6上的最值.解：（1）证明：.函数定义域为R,其定义域关于原点对称.先+力=於）+方）,令尸-1,.0）=段）+火-）.令x=y=O,.义0）=义0）+的），得火0）=0./）+火-X）=0,得次-%）=-於），Xx）为奇函数.（2）法一：设x,yR*,VXx+y）=_Xx）+7（y）,X%+y）-段）=的,.,x R,义无）0,./（x+歹）-工）0,x+yx,在（0,+8）上是减函数.又VAx）为奇函数，40）=0,.）在（-8,+8）上是减函数.m-2）为最大值，6）为最小值-1,/./-2）=-/2）=-贺 1）=1,X6）=贺3）=2/（1）+x2）=-3.A所求危）在区间-2,6上的最大值为1,最小值为-3.第二：设修如且龙1，2艮则兀0一修）=m2+（一%1）=加2）+人一看）=7（%2）一加1）；12-X1O,.XX2-X1）O.AX2）-危1）0.即危）在R上单调递减.为最大值，义6）为最 小值.7（1）=弓，-2）=-X2）=-W 1）=1,X6）=贺3）=2区1）+火2）卜-3.所求加 在区间-2,6上的最大值为1,最小值为-3.12.已知函数加）的定义域为R,且满足於+2）=一加）.（1）求证：危）是周期函数；（2）若加）为奇函数，且当04W1时，危）=会，求使段）=-g在0,2010上的所有x的个数.解：证明：先+2)=-/)，.於+4)=-/+2)=-切=段),，加)是以4为周期的周期函数.(2)当 时，1Ax)=$,设-1 Wx WO,则 0W-x W 1,:爪-X)=-x)=-权,.&)是奇函数，:爪一X)=_a),-j lx)=一$，即加)=$.故危)=%(-1 Wx W 1)又设 l x 3,贝|一1%-21,-2)=2(x-2)又V/x-2)=-/2-x)=-4(-x)+2=-A-x)=-fix),A-Xx)=1(x-2),./x)俘(-14W1)=一声一2)(1%3).孙)=j 一声-2)(14 l,b?b0,.*.0a6的图象如图所示，则义3)=_.解析：由图象知犬0)=1+6=-2,：.b=-3.又大2)=a2-3=0,：.a=&则义3)=(小)3-3=3小-3./答案：3小一3/3.函数=七产一”的值域是-dy T-X解析：*/2x-x2=-I)2+1 1,.铲一2斗答案：fl+8)4.（2009年高考山东卷）若函数兀t）=a xa（a 0,且a#l）有两个零点，则实数a的取值 范围是解析：函数人x）的零点的个数就是函数y=a 与函数y=x+a交点的个数，由函数的图 象可知a l时两函数图象有两个交点，0a l.答案：（1,+（）5.（原创题）若函数加）=-1（心0,a#1）的定义域和值域都是0,2,则实数a等于,0a l角翠析：由题意知。21=0-1=21无解或/-1=0=a=小.答案:小 a2-1=26.已知定义域为R的函数义工）=/二是奇函数.（1）求a,6的值；（2）若对任意的后R,不等式火*2/）+42，一后）0恒成立，求后的取值范围.1+A解：（1）因为於）是R上的奇函数，所以40）=0,即J=0,解得b=L二+1-2X+1-2+1 2 1从而有/）=2*1+又由7U）=一人-1）知 4+.=一T+a，解得 a=2_ qX+（2）法一：由（1）知危）=2x+i+2=2+27TT,由上式易知曲:)在R上为减函数，又因大x)是奇函数，从而不等式义广27)+义2*-左)0 妗-2 t)0,从而A=4+12后0,解得后-/-2X+1-2-2,+1-22/2-*+1法二：由知於)=21+2,又由题设条件得/二27+2+222-左二2(即/231+2)(_2於-2，+D+Q/2-2L 1+2)(_ 22a-J 1)1,因底数21,故3/-2/-心0上式对一切洋R均成立，从而判别式=4+12左0且a Wl)的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么一定有.0 0 0。1 且 01 且 b 且 b0解析：当0。1时，把指数函数於)=，的图象向下平移，观察可知-16-10,即 061.答案：2.(2010年保定模拟)若段)=-f+2与g(x)=(a+l)L x在区间1,2上都是减函数，则a 的取值范围是.,解析：fix)=-x2+2 ax=(x-af+a2,所以兀t)在a,+8)上为减函数，又/龙)，g(x)a Wl都在1,2上为减函数，所以需 0013.已知麻:)，g(x)都是定义在R上的函数，且满足以下条件/(x)=a*(x)(a 0,a#l)；虱x)70；若磊+卷二*=|，则。等于解析：由於)=小四)得鉴=，所以综+合土=。+加=解得。=2或;答案：4.(2010年北京朝阳模拟)已知函数段)=30且。21),其反函数为/U).若火2)=9,则/1弓)+次1)的值是.解析：因为0,.，.。二？，贝 I 於)=3*=/.x=-1,故/4)=-1.又加)=3,所以尸弓)+用)=2.答案:25.(2010年山东青岛质检)已知人工)=，若兀0的图象关于直线x=l对称的图象对应的函 数为g Q)，则g(%)的表达式为.解析：设、=8(%)上任意一点、P(x,y),P(x,y)关于x=l的对称点P(2-,y)在山)=4)x上，y=q)2-x=3-2.答案：,=3x-2(x R)X X X-X解析：7(-1)=c=cx-e x=一次”)，为奇函数，排除.e+e-x e+l-1+2 2又=_Q-x=a 2x _ 1=a 2x _i=1+2x _ 1 在(-8,0)、(0,+8)上都是减函数，e v v 1 v 1 v 1排除、.答案：7.(2009年高考辽宁卷改编)已知函数人工)满足：当x 24时，曲:)=(3；当x 4时，段)=/+1),则大2+l o g 23)=_.解析：V234=22,A l l o g232.32+l o g234,：.fi2+l o g23)=K.z为.2-叫 X21或%三-1,解析：由兀=得或-1,.,.水x)=1则单调增区间为(-8,-1,答案：(一8,-19.函数y=2的定义域为b,值域为1,16,当a变动时，函数6=虱。)的图象可以是解析：函数歹=2的图象如图.当 a=一4 时，0W6W4,当6=4时，-4a W0,答案：10.(2010年宁夏银川模拟)已知函数加l ua+Z，一 a Wl)在区间1,1上的最大值为14,求实数a的值.解:)=a2V+2,-1=+1)2-2,vxg-1,1,(1)当 0。时，!/Wa,.当a =a时，曲:)取得最大值.，(a+1)2-2=14,.a=3.综上可知，实数。的值为g或3.11.已知函数加:)=品壬.(1)求证：加)的图象关于点M(a,1)对称；(2)若人x)22、在上恒成立，求实数a的取值范围.2解：(1)证明：设/)的图象C上任一点为尸(x,y),则歹=-+，P(x,y)关于点-1)的对称点为尸(2a-x,-2-历.l(a 0,且得最大._=_ 2 _20,-2 _ _2.,-2-y=-2+y-a+=2xa+J=1+2 xa=2(2a _x)-q+，-2说明点P(2。-羽-2-四也在函数歹的图象上，由点。的任意性知，兀t)的 图象关于点M。，-1)对称.(2)由於)2-2、得尸中-2X,则声七W2X,化为2-2、+2、-220,则有了+2a-2x-22”20在xa上恒成立.令g=P+2a-t 22”,则有g)N0在,22”上恒成立.虱。的对称轴在/=0的左侧，.g在2a上为增函数.g(2a)0.：.(2a)2+(2a)2-2-20,.2汽2-1)20,则 a 20.即实数 a 的取值范围为 a 20.12.(2008年高考江苏)若力(%)=3卜金,%(%)=2-3xGr,“、上为常数,且危尸、I,、,、求於)=/仆)对所有实数成立的充要条件(用“、。2表示);设a,6是两个实数，满足亦6,且Pl、P2(.a,b).若加0=/(6),求证：函数兀。在区间 a,切上的单调增区间的长度之和为空(闭区间加，网的长度定义为一根).解：(1次0=力(%)恒成立9/；(x)W%(x)台3912-3卜磔63卜何小回2钩-P1I-1%-02|Wk)g 32.(*)若 m=02,则(*)0Wl o g 32,显然成立；若一1支2,记 g(x)Pl 一 72，X pi.所以g Q)ma x=21 一夕2，故只需Pl-夕2 W l o g?2.Pl 一02，Xpi；当 P1P2 时，虱%)=2%-。1-。2，P1X p2.p00g32.综上所述，加)=/G)对所有实数X成立的充要条件是囱-02|132.(2)证明：分两种情形讨论.当