G-布朗运动驱动的随机微分方程的全局渐近稳定性.pdf

书书书第 卷第 期烟台大学学报（自然科学与工程版）年 月 （）文章编号：（）：收稿日期：基金项目：山东省自然科学基金资助项目（）；国家自然科学基金资助项目（，）。通信作者：刘存霞（），副教授，硕士，主要研究方向为随机微分方程。布朗运动驱动的随机微分方程的全局渐近稳定性刘存霞（烟台大学数学与信息科学学院，山东 烟台 ）摘要：利用一致渐近稳定函数，对 布朗运动驱动的随机微分方程给出了其平凡解在拟必然意义下全局渐近稳定的一个充分条件，通过例子展示了结果的有效性。关键词：布朗运动；随机微分方程；全局渐近稳定性中图分类号：；文献标志码：建立了有关 期望，布朗运动的基础理论和相应的随机计算，这里 是相应非线性热方程的无穷小生成元。由于在不确定性问题，风险度量以及金融产品定价等方面具有丰富的应用潜力，众多学者对 期望、布朗运动理论开展了大量研究 。在系数满足全局 假设下，首先给出了如下由 维 布朗运动驱动的 维随机微分方程（）解的存在唯一性定理：（）（，（）（，（），（，（），（）其中：（）瓗为初值，是一个 维 布朗运动，（，），为 的交互变差，系数 （，），（，），（，）：，瓗瓗（特别地，本文中采用 记号）。由此，布朗运动驱动的随机微分方程解的存在唯一性及相关稳定性问题也迅速成为研究的热点。例如，进一步研究了上述 解的轨道性质及相应于初值的同胚性问题，文献 研究了 解的指数稳定性问题，文献 和 分别给出了脉冲 解的指数稳定性和 阶矩稳定的充分条件，文献 讨论了时滞 解的渐近有界和 稳定性问题。此外，为克服全局 假设的局限性，文献 通过引入一个 条件，在系数满足局部 条件的假设下给出了解的全局解的存在唯一性，同时讨论了平凡解的 阶矩指数稳定和渐近稳定等问题。文献 引入了一致渐近稳定函数（）来研究线性时变和时滞系统的稳定性问题，文献 基于 改进了若干由有色噪声驱动的非线性系统的稳定性定理。与已有结果来比较，的引入减弱了构造 函数时的若干约束。受以上工作启发，本文研究 平凡解的稳定性问题，通过 给出了 （）的平凡解拟必然意义下全局渐近稳定的一个充分条件，并通过例子予以验证。预备知识记瓗为非负实数集，瓗表示 维实数空间，表示 阶连续可导函数集，函数（，），（，）瓗；瓗）表示 是 ，）上关于 ，分烟台大学学报（自然科学与工程版）第 卷别具有一阶，二阶连续偏导数的连续函数。函数 表示 ：瓗瓗为连续严格递增函数且 （），表示 且 是无界的。表示函数类 （，）：瓗瓗瓗满足对任一 ，（，）且对任一 ，（，）。令 为取值瓗上的初值为 的连续轨道（）全体，定义 上的距离为（，）：（，），（）为典范过程。对 ，），定义以下记号：（）：的 域。：，：（）。（）：实值 （）可测函数空间。（）：实值 （）可测函数空间。（）：（）中的有界元；（）：（）（）。（）：（）中的连续元；（）：（）（）。，（瓗）：瓗 中的有界 函数全体。（）：（，）：，（瓗）。（）：（）（）。记（）为所有 对称（非负）矩阵构成的集合，定义次线性单调函数 ：瓗为（）：，其中是中的有界凸闭子集。继而通过以下方式来定义（，（）上的 期望：对 （）中任一具有以下形式的变量 ：（，），定义 ：（，），这里（，）瓗且满足对 ，：（，；，）是（，）的函数且以（，）瓗 （）为参数，为以下定义于 ，）瓗上的 热方程的粘性解：（）。对 ，以（）表示 （）对应范数 ：的完备化。对 ，类似定义（）。此时，在 期望 下典范过程（）是一个 布朗运动 。考虑下述简单过程集：（，），）（），瓔，（），对 ，记（，）为（，）在范数：（）下的完备化。随机过程 （，）则意味着对递增到无穷的停时序列 瓔，均有 ，（，），瓔。由文献 知，存在定义于（，（）上的弱紧概率测度集 ，使得对任意 （），有 ，其中 是关于概率测度 的线性期望，（）是 的 域。对于 ，相关的容度定义为（）：（），（）定义 如果（），则称集 （）为极集。如果一个性质在一个极集之外成立，那么它就被称为拟必然成立（简记为：）。引理 （不等式）设对任意 ，（）满足 ，则对任意实数 有（）。引理 设 （，；瓗）且具有连续轨道，（，瓗），则对 ，有 （，）（，；），其中：（，）：（，（）（，（）（，（）（，（）（，（）（，（）。下面给出一致渐近稳定函数的定义，详细内容可参见文献 或 。定义 对方程（）（）（），如果存在函数 使得对所有 和 式子 （）（，）都成立，则分段连续函数 （）称为 （）。引理 分段连续函数 （）是一个 当且仅当 （）（）这里 和是两个相互独立的正数。主要结果首先给出以下定义。定义 称 （）是 （）的全局解，如第 期刘存霞：布朗运动驱动的随机微分方程的全局渐近稳定性果 关于 ，）连续且对任意的 ，（）（，；瓗）使得 （）成立。定义 记 （）：（；，）为 （）对应初值 （）瓗的解，若对任意的 （，），均存在函数 使得 （）（，），则称 （）的平凡解是拟必然全局渐近稳定的。（）系数 （，），（，），（，）：，瓗瓗关于变量 均为确定性函数且对任意的 ，（）：，存在仅依赖于 的正数 使得对任意 ，均有 （，）（，）（，）（，）（，）（，），这里表示 矩阵范数。经典的随机微分方程中，局部 条件仅能保证最大区间 ，）上解的存在唯一性 ，这里 ：（），且设定 ，这一结论在 中同样成立。为获得局部 条件下 （）全局解的存在唯一性，文献 给出了以下 型条件：（）存在 函数 ，（，瓗；瓗）以及常数 ，使得 ，（，），且对任意的（，），瓗，有（，）（，），其中 是如下形式的微分算子：（），）。（）文献 在条件（），（）下证明了 （）全局解的存在唯一性。为研究系统稳定性，引入如下假设：（）对任意的 ，（，），（，），（，）。显然，在假设（）下 随机系统（）对应初值 存在平凡解 （）。定理 对 （），设条件（），（）成立且存在函数 （，），（，）瓗；瓗），以及一个 （）使得（）（，）（），（）（，）（）（，），（）则 （）存在唯一解且其平凡解是拟必然全局渐近稳定的。证明 对 （，（）：（）（，（）应用 公式，得 （，（）（，（）（，（）（，（）（，（）（，（）（，（）（，（）（，（）（，（）（，（），。由引理 ，有（，（）（，）（，（）（，（）（，（）（，（）（，（）（，（）（，（）（，（）（，（）（，（），（，（）（，（）（，（），（）其中：（，（）（，（）（，（）（，（）（，（），（，）。由文献 可知 。对式（）两端取 期望，由条件（）得 ，从而 （）（，（）（，），即 （，（）（）（，）（，）。由局部 条件知，（）存在最大解。进一步地，由 马尔科夫不等式，采用类似文献 中 或文献 中 的证明方法，易得，即 （）存在唯一全局解。进一步地，由条件（）得 （，（）（，）（）。记（，）（），由引理 ，对 有（）（，）（，（）（，），从而烟台大学学报（自然科学与工程版）第 卷 （）（，），其中 为函数 的反函数。注意到由 及 可推出 （，）也是一个函数，定理得证。注：由引理 知，当 （）（）时是一个 ，易见定理 的结果在一定程度上推广了文献 中的相关结果。例子例 考虑下述 ：（）（）（）（）（）（）（），（）这里 （）是一个 维 布朗运动且（）（，）。令 （，（）（），易得（，（）（，（）（）（），（，（）（，（）（），（，（）（，（），（，（）（）及（，（），（，（）（，（）（，（），（，（）（）（）（），从而（，（）（，（）（，（）（，（）（，（），（，（）（，（）（，（），（，（）（）（）（）（）（），由于（）（）满足（）（）（），即（）是一个 。由定理 知 （）的平凡解是拟必然全局渐近稳定的。参考文献：，：，：，（）：，（）：，：，（）：，（）：，（）：，（）：，：，（）：，：，（）：，：，：，第 期刘存霞：布朗运动驱动的随机微分方程的全局渐近稳定性 ，（）：，：，（，）：，：；（责任编辑李春梅）