1、第七章 结构位移计算和刚度校核
§7.1轴向拉压杆的变形及胡克定律
以图7-1所示拉杆为例，在轴向拉力作用下，讨论杆件的轴向变形及横向尺寸的变化。
图7-1
对于只在杆两端受力的杆，由于，并引入比例常数，上式可改写为
(7-1)
式(7-1)是拉压杆的轴向变形公式。
或 (7-2)
式(7-2)表明，在弹性变形范围内，应力与应变成正比，式(
2、7-1)与式(7-2)称为胡克定律。
§7.2梁的挠曲线近似微分方程及二次积分法
7.2.1挠度和转角
梁的整体变形通常是用横截面形心处的竖向位移和横截面的转角这两个位移量来度量。如图7-4所示的悬臂梁，在纵向对称平面内受横向荷载作用时发生平面弯曲。
图7-4
挠度y和转角是随截面的位置x而变化的，即y和都是x的函数
，
分别称为梁的挠曲线方程和转角方程。
7.2.2挠度与转角的关系
(7-4)
式(7-4)反映了挠度与转角间的关系。
7.2.3 挠
3、曲线的近似微分方程
(7-5)
式（7-5）为梁的挠曲线近似微分方程。
7.2.4 用二次积分法计算梁的位移
利用式(7-5)求梁的挠曲线方程时，对式(7-5)积分一次，得
(7-6)
再积分一次得
(7-7)
式（7-6）和式（7-7）只是挠曲线近似微分方程分别关于转角和挠度方程的通解。式
4、中的C、D是积分常数，可由梁的边界条件确定。
上述计算梁变形的方法称为积分法（也称二次积分法）。
7.3 用叠加法计算梁的位移
在应用叠加法计算梁的位移时，通常先把梁在简单荷载作用下的位移公式制成表（表7-1）以备查用，从而使叠加法更便于应用。
表（7-1）中只列出了几种简单情况梁的位移，更多的情况可在相关的静力计算手册中查到。
表7-1 简单荷载作用下梁的转角和挠度
支承和荷载情况
梁端转角
最大挠度
挠曲线方程式
在处
§7.4图乘法
在求梁和结构位移时，也常用到
5、图乘法。下面介绍图乘法的基本内容。
求图7-12所示悬臂梁中点C的挠度。
图7-12
首先作出图7-12（a）梁在F作用下的弯矩图（称为图），如图7-12（b）所示，然后取去掉原荷载F的悬臂梁，在求位移的C点处加上单位力并作出相应的弯矩图（称为图），如图7-12（c）所示。计算图的面积，并用 表示，即
所求的C点 的挠度为：
（7-8）
7.5 梁的刚度条件
7.5.1梁的刚度条件
梁的刚度条件可写作
6、 ≤ (7-9)
7.5.2提高梁弯曲刚度的主要途径
提高梁的弯曲刚度，就是要减小梁的弯曲变形。因此，考虑以下几个途径：
(1) 增大梁的抗弯刚度
(2) 调整跨长和改变结构。
(3) 调整加载方式
小结
1. 胡克定律是变形体力学中的重要定律，其表达式有二种：
,
为杆的抗拉（压）刚度。该定律只在弹性范围内成立，确切地说，只在时成立。
2.梁的变形是梁的弯曲中的重要内容之一。梁的挠度和转角的关系为
3.积分法是求梁变形的基本方法，其结果可求出梁各截面的挠度和转角；叠加法可简捷地求出指定截面的变形，其方法是首先利用变形表算出各荷载单独作用时，在指定截面产生的挠度与转角，然后代数相加，便得指定截面在几个荷载共同作用下的挠度与转角。
4. 叠加法的适用条件是：梁在荷载作用下的变形是微小的；材料在线弹性范围内工作。
5. 图乘法是求解线弹性结构位移的基本方法，其计算公式为
6.工程设计中，构件和结构不但要满足强度条件，还应满足刚度条件，把位移控制在允许范围内。
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