数学课程标准的若干思考和平面几何改造计划史宁中ppt课件市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

数学课程标准若干思索数学课程标准若干思索史宁中史宁中东北师范大学，长春，东北师范大学，长春，东北师范大学，长春，东北师范大学，长春，130024130024130024130024和平面几何改造计划和平面几何改造计划第1页一、数学课程标准若干思索一、数学课程标准若干思索二、平面几何改造计划二、平面几何改造计划第2页1制订数学课程标准目标制订数学课程标准目标2创新能力基础创新能力基础3我国教育现实状况我国教育现实状况4还缺乏什么？还缺乏什么？5怎样培养归纳能力怎样培养归纳能力6怎样改变标准怎样改变标准数学课程标准若干思索数学课程标准若干思索一、数学课程标准若干思索一、数学课程标准若干思索第3页1制订数学课程标准目标制订数学课程标准目标 学生发展需要学生发展需要：适应市场经济；：适应市场经济；国家发展需要国家发展需要：培养创新性人才必须从基础教：培养创新性人才必须从基础教育抓起。育抓起。应试教育？减轻学生负担？引发学生学习兴趣？是表象不是目。成为创新性人才三个条件：意识、能力、机遇。成为创新性人才三个条件：意识、能力、机遇。数学课程标准若干思索数学课程标准若干思索第4页2创新能力基础创新能力基础创新能力依赖于：知识掌握、思维训练、经创新能力依赖于：知识掌握、思维训练、经验积累。验积累。思维训练：演绎能力、归纳能力。思维训练：演绎能力、归纳能力。爱因斯坦：爱因斯坦：西方科学发展是以两个伟大成就为基西方科学发展是以两个伟大成就为基础，那就是：希腊哲学家创造形式逻辑体系（在欧几础，那就是：希腊哲学家创造形式逻辑体系（在欧几里德几何中），以及经过系统试验发觉有可能找出因里德几何中），以及经过系统试验发觉有可能找出因果关系（在文艺复兴时期）。（见爱因斯坦文集第果关系（在文艺复兴时期）。（见爱因斯坦文集第一卷）一卷）数学课程标准若干思索数学课程标准若干思索第5页3我国教育现实状况我国教育现实状况杨振宁杨振宁：我很有幸能够在两个含有不一样文化背景：我很有幸能够在两个含有不一样文化背景国度里学习和工作，我在中国学到了演绎能力，我国度里学习和工作，我在中国学到了演绎能力，我在美国学到了归纳能力。（见我生平）在美国学到了归纳能力。（见我生平）演绎能力演绎能力：能够熟练使用演绎推理能力。：能够熟练使用演绎推理能力。演绎推理起源于演绎推理起源于亚里士多德亚里士多德，他在工具论提，他在工具论提出了著名三段论理论，即大前提、小前提、结论。出了著名三段论理论，即大前提、小前提、结论。是一个前提与结论之间有必定性联络推理，是基于是一个前提与结论之间有必定性联络推理，是基于概念、按照规则进行推理，是由普通到特殊推理。概念、按照规则进行推理，是由普通到特殊推理。数学课程标准若干思索数学课程标准若干思索第6页就数学而言，演绎推理是基于公理、定义和符就数学而言，演绎推理是基于公理、定义和符号，按照要求法则进行命题证实或者公式推导。号，按照要求法则进行命题证实或者公式推导。克莱因克莱因说：逻辑能够是数学标准和约定，但不是说：逻辑能够是数学标准和约定，但不是它本质。它本质。就欧氏几何而言，在公理和公设基础上：就欧氏几何而言，在公理和公设基础上：“已已知知A求证求证B”，其中，其中A和和B都是确切命题。都是确切命题。演绎推演绎推理主要功效在于验证结论，而不在于发觉结论。理主要功效在于验证结论，而不在于发觉结论。数学课程标准若干思索数学课程标准若干思索第7页这与这与“数学双基教育数学双基教育”目标是一致。目标是一致。基础知识（概念记忆与命题了解）扎实；基础知识（概念记忆与命题了解）扎实；基本技能（证实技能与运算技能）熟练。基本技能（证实技能与运算技能）熟练。绵延千年科举：基本功扎实、知识记忆、八绵延千年科举：基本功扎实、知识记忆、八股文写作；股文写作；重视操作技能：熟能生巧。重视操作技能：熟能生巧。数学课程标准若干思索数学课程标准若干思索第8页4还缺乏什么？还缺乏什么？依据情况依据情况“预测结果预测结果”能力；依据结果能力；依据结果“探究成因探究成因”能力。能力。拉普拉斯拉普拉斯：甚至在数学里，发觉真理主要工具：甚至在数学里，发觉真理主要工具也是归纳和类比。也是归纳和类比。庞加莱庞加莱：数学推理性质是什么？真是我们通常：数学推理性质是什么？真是我们通常所信为演绎吗？把它仔细分析一下，可知大为不然，所信为演绎吗？把它仔细分析一下，可知大为不然，它在某种范围内却带着归纳推理性质，其所以丰裕它在某种范围内却带着归纳推理性质，其所以丰裕亦正在此。亦正在此。数学课程标准若干思索数学课程标准若干思索第9页当代归纳推理起源于当代归纳推理起源于培根培根，他在新工具论认，他在新工具论认为就为就“帮助人们寻求真理帮助人们寻求真理”而言，三段论而言，三段论“坏作用多坏作用多于好作用于好作用”。休谟休谟利用这个思想研究了因果关系，已利用这个思想研究了因果关系，已经成为当代科学动力。经成为当代科学动力。穆尔穆尔在他著作论自由在他著作论自由中系统地总结了归纳推理。中系统地总结了归纳推理。就方法而言，归纳推理十分庞杂，枚举法、归纳就方法而言，归纳推理十分庞杂，枚举法、归纳法、类比法、统计推断、因果分析，以及观察试验、法、类比法、统计推断、因果分析，以及观察试验、比较分类、综合分析等均可被包容。比较分类、综合分析等均可被包容。归纳能力归纳能力为熟练使用归纳推理能力。为熟练使用归纳推理能力。数学课程标准若干思索数学课程标准若干思索第10页 借助归纳推理能够培养学生借助归纳推理能够培养学生“预测结果预测结果”和和“探究探究成因成因”能力，是演绎推理不可比拟。从方法论能力，是演绎推理不可比拟。从方法论角度考虑，角度考虑，“双基教育双基教育”缺乏归纳能力培养，对学生缺乏归纳能力培养，对学生未来走向社会不利，对培养创新性人才不利。未来走向社会不利，对培养创新性人才不利。与演绎推理相反，归纳推理是一个与演绎推理相反，归纳推理是一个“从特殊到一从特殊到一般推理般推理”。数学课程标准若干思索数学课程标准若干思索第11页传统数学教育重视知识传授和技能训练。传统数学教育重视知识传授和技能训练。“知知识在本质上是一个结果，能够是经验结果，也能够识在本质上是一个结果，能够是经验结果，也能够是思索结果。是思索结果。”结果教育、知识积累。结果教育、知识积累。5怎样培养归纳能力怎样培养归纳能力归纳推理能够表现为一个智慧。归纳推理能够表现为一个智慧。“智慧并不表现在智慧并不表现在经验结果上，也不表现在思索结果上，而表现在经验结果上，也不表现在思索结果上，而表现在经验过程，表现在思索过程。经验过程，表现在思索过程。”归纳能力是建归纳能力是建立在实践基础上。立在实践基础上。过程教育、经验积累。过程教育、经验积累。数学课程标准若干思索数学课程标准若干思索第12页我们必须清楚，世界有很多东西是不可传递，我们必须清楚，世界有很多东西是不可传递，只能靠亲身经历。智慧并不完全依赖知识多少，而只能靠亲身经历。智慧并不完全依赖知识多少，而依赖知识利用、依赖经验，你只能让学生在实际操依赖知识利用、依赖经验，你只能让学生在实际操作中磨练。作中磨练。下面我举例说明。下面我举例说明。“过程教育过程教育”不是指在讲课时要讲解、或者让学不是指在讲课时要讲解、或者让学生经历知识产生过程，甚至不是指知识展现方式。生经历知识产生过程，甚至不是指知识展现方式。而是，探究过程、思索过程、抽象过程、预测而是，探究过程、思索过程、抽象过程、预测过程、推理过程、反思过程，等等。过程、推理过程、反思过程，等等。数学课程标准若干思索数学课程标准若干思索第13页分类在数学中是很主要，一个好分类必须抓分类在数学中是很主要，一个好分类必须抓住事物本质特征。对于这么问题，答案是无所谓住事物本质特征。对于这么问题，答案是无所谓对错，只要分类结果与分类标准一致就能够。对错，只要分类结果与分类标准一致就能够。能够让学生感悟到，标准是能够自己订，这种思维能够让学生感悟到，标准是能够自己订，这种思维是创新根本思维。教师要帮助学生理清思绪。是创新根本思维。教师要帮助学生理清思绪。能够给小学三年级以下学生出这么题目：能够给小学三年级以下学生出这么题目：自己选择某一个标准将全班同学分成两类，并与自己选择某一个标准将全班同学分成两类，并与同学交流分类标准和分类结果。同学交流分类标准和分类结果。分类分类数学课程标准若干思索数学课程标准若干思索第14页对于三年级以上学生，问题能够提得更为深入对于三年级以上学生，问题能够提得更为深入一些：一些：如图所表示，桌上散落着一些扣子，请同学们想一如图所表示，桌上散落着一些扣子，请同学们想一想能够把这些扣子分成几类？分类标准是什么？然想能够把这些扣子分成几类？分类标准是什么？然后，数一数每一类各有多少颗扣子，并用文字、图画后，数一数每一类各有多少颗扣子，并用文字、图画或者列表等方式把结果纪录下来。或者列表等方式把结果纪录下来。这个问题要复杂一些，因为能够逐步加多分类这个问题要复杂一些，因为能够逐步加多分类标准，把类分得更细。开始可能不一样，结果会标准，把类分得更细。开始可能不一样，结果会“殊途殊途同归同归”。数学课程标准若干思索数学课程标准若干思索第15页这个问题就十分复杂了，包括到不一样年纪段以及这个这个问题就十分复杂了，包括到不一样年纪段以及这个年纪段居民所占百分比；包括到不一样文化背景及其所占比年纪段居民所占百分比；包括到不一样文化背景及其所占比例；包括到不一样类型人看电视时间；包括到需要调查例；包括到不一样类型人看电视时间；包括到需要调查人数，等等。不过，这个问题关键还是在于标准和结人数，等等。不过，这个问题关键还是在于标准和结果关系。果关系。某电视台希望了解本地区居民喜欢电视节目类型，请同学帮助设计一个调查方案。学生经过类似这么贯通一直训练，是能够逐学生经过类似这么贯通一直训练，是能够逐渐领悟归纳思想。渐领悟归纳思想。到了初中阶段，问题就能够更复杂了：到了初中阶段，问题就能够更复杂了：数学课程标准若干思索数学课程标准若干思索第16页高斯高斯：在数论中因为意外幸运颇为经常，所：在数论中因为意外幸运颇为经常，所以用归纳法可萌发出极漂亮新真理。以用归纳法可萌发出极漂亮新真理。欧拉欧拉：今天人们所知道数性质，几乎由观：今天人们所知道数性质，几乎由观察所发觉察所发觉这类知识是通常所说用归纳所取得这类知识是通常所说用归纳所取得。归纳归纳（哥德巴赫猜测、费尔玛大定理）（哥德巴赫猜测、费尔玛大定理）数学课程标准若干思索数学课程标准若干思索第17页代数例子代数例子例例1在一个房间里有四条腿椅子和三条腿凳子在一个房间里有四条腿椅子和三条腿凳子共共16个，假如椅子腿与凳子腿加起来共有个，假如椅子腿与凳子腿加起来共有60个，有几个个，有几个椅子和几个凳子？椅子和几个凳子？这是这是“鸡兔同笼鸡兔同笼”问题，不过椅子和凳子相差一条腿，问题，不过椅子和凳子相差一条腿，有利于学生进行有利于学生进行“尝试尝试”。对于低年级学生，能够让学。对于低年级学生，能够让学生列表尝试：生列表尝试：椅子数椅子数凳子数凳子数腿总数16160 0 41664 4166415151 1 4153163 415316314142 241432624143262数学课程标准若干思索数学课程标准若干思索第18页到了高年级，能够依然用尝试方法列出方程：到了高年级，能够依然用尝试方法列出方程：这么，合题意方程为这么，合题意方程为4a3(16-a)=604a3(16-a)=60。椅子数椅子数凳子数凳子数腿总数a=16a=1616-a=016-a=0 4a3(16-a)=64 4a3(16-a)=64a=15a=1516-a=116-a=1 4a3(16-a)=63 4a3(16-a)=63a=14a=1416-a=216-a=2 4a3(16-a)=62 4a3(16-a)=62数学课程标准若干思索数学课程标准若干思索第19页例例2 2级数求和级数求和(数学归纳法数学归纳法)A(n):1 +2 +n =n(n+1)/2B(n):12+22+n2=n(n+1)(2n+1)/6C(n):13+23+n3=?数学课程标准若干思索数学课程标准若干思索第20页 n=1 2 3 4 5A(n):1 3 6 10 15B(n):1 5 14 30 55B(n)/A(n)3/3 5/3 7/3 9/3 11/3B(n)/A(n)=(2n+1)/3B(n)=A(n)(2n+1)/3=n(n+1)(2n+1)/6数学课程标准若干思索数学课程标准若干思索第21页 n=1 2 3 4 5A(n):1 3 6 10 15C(n):1 9 36 100 225C(n)/A(n)1 3 6 10 15C(n)=A(n)A(n)=n2(n+1)2/41K+2K+nK=O(nK+1)数学课程标准若干思索数学课程标准若干思索第22页几何例子几何例子三棱锥、方棱锥、三棱柱、五棱锥三棱锥、方棱锥、三棱柱、五棱锥多面体欧拉公式多面体欧拉公式：F(面面)+V(顶顶)=E(楞楞)+2。数学课程标准若干思索数学课程标准若干思索第23页平面上三条直线能够形成一个封闭图形；平面上三条直线能够形成一个封闭图形；空间上四个面能够形成一个封闭图形。空间上四个面能够形成一个封闭图形。几何例子几何例子庞加莱猜测。庞加莱猜测。类比类比开普勒开普勒：我珍视类比胜于任何别东西，它是我：我珍视类比胜于任何别东西，它是我最可信赖老师，它能揭示自然界秘密，在几何最可信赖老师，它能揭示自然界秘密，在几何中它应该是最不容忽略。中它应该是最不容忽略。数学课程标准若干思索数学课程标准若干思索第24页代数例子代数例子 加法加法 乘法乘法交换律交换律 结合律结合律逆运算逆运算 零零 元元a+b=b+aab=ba(a+b)+c=a+(b+c)(ab)c=a(bc)a+x=b ax=bx=b/ax=b-a a+0=aa1=a数学课程标准若干思索数学课程标准若干思索第25页这些可能就是这些可能就是“过程教育过程教育”，让学生自己探索答，让学生自己探索答案，而不一定是经过讲道理分析出答案。经过案，而不一定是经过讲道理分析出答案。经过“道理道理”直接给出公式当然是好，不过经过有规律计算寻直接给出公式当然是好，不过经过有规律计算寻求这个规律是得到普通结果有效伎俩，尤其是能够求这个规律是得到普通结果有效伎俩，尤其是能够帮助学生更直观地了解帮助学生更直观地了解“道理道理”。这是归纳推理手法，。这是归纳推理手法，也是我们过去数学教育忽略地方。也是我们过去数学教育忽略地方。数学课程标准若干思索数学课程标准若干思索第26页6怎样改变标准怎样改变标准“双基双基”：“四基四基”：基础知识、基本技能基础知识、基本技能基础知识、基本技能、基本思想、基本活基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验动经验数学课程标准若干思索数学课程标准若干思索第27页继续：继续：促进学生了解数学基础知识，训练学生促进学生了解数学基础知识，训练学生掌握数学基本技能掌握数学基本技能学会：学会：启发学生领会数学基本思想，帮助学生启发学生领会数学基本思想，帮助学生积累数学基本活动经验积累数学基本活动经验希望能够改变过去教学方法，在教学活动中，希望能够改变过去教学方法，在教学活动中，数学课程标准若干思索数学课程标准若干思索第28页 不是简单叠加，是一个有机整体，是相互不是简单叠加，是一个有机整体，是相互促进。加上了后面促进。加上了后面“两基两基”，就必须改造传统，就必须改造传统“双基双基”，给出充分空间与时间。，给出充分空间与时间。数学课程标准若干思索数学课程标准若干思索第29页（1）证实：连接OA和OB。因为PA和PB是圆切线，则PAO=PBO=90，即POA和POA均为直角三角形。又因为OA=OB和OP=OP，则POA与POA全等。于是有PA=PB。（2）证实：连接OA和OB。PA和PB是圆切线（已知），PAO=PBO=90（切线性质），即 POA、POA为直角三角形。OA=OB（同圆半径相等），OP=OP，POAPOA（斜边直角边定理），PA=PB（对应边相等）。关于时间与空间关于时间与空间几何（形式几何（形式逻辑）逻辑）我们先设这个圆圆心为我们先设这个圆圆心为O O，圆外一点为，圆外一点为P P，两个切点分别为，两个切点分别为A A和和B B，分析下面两种叙述方法：，分析下面两种叙述方法：证实切线长定理：过圆外一点所画圆两条切线长相等。证实切线长定理：过圆外一点所画圆两条切线长相等。数学课程标准若干思索数学课程标准若干思索第30页代数（技巧代数（技巧技能）技能）绝对值中字母。绝对值中字母。“韦达韦达”定理。定理。解方程：列方程、递归（三元二元一元）。解方程：列方程、递归（三元二元一元）。确定二元一次方程系数。确定二元一次方程系数。数学课程标准若干思索数学课程标准若干思索第31页关于基本思想关于基本思想“基本思想基本思想”主要是指演绎和归纳，这应该是整个数学主要是指演绎和归纳，这应该是整个数学教学根本。教学根本。在详细问题中，会包括到数学抽象、数学在详细问题中，会包括到数学抽象、数学模型、等量替换、数形结合等数学思想，但最上位思想模型、等量替换、数形结合等数学思想，但最上位思想还是演绎和归纳。还是演绎和归纳。之所以用之所以用“基本思想基本思想”而不用基本思想方法，就是要与而不用基本思想方法，就是要与换元法、递归法、配方法等详细数学方法区分。每一个换元法、递归法、配方法等详细数学方法区分。每一个详细方法可能是主要，但不含有普通性，作为一个思详细方法可能是主要，但不含有普通性，作为一个思想掌握是无须要，经过一段时间，学生很可能就忘却了。想掌握是无须要，经过一段时间，学生很可能就忘却了。这里所说思想，是希望学生领会之后能够终生受益那这里所说思想，是希望学生领会之后能够终生受益那种思想方法。种思想方法。数学课程标准若干思索数学课程标准若干思索第32页结束语结束语假如在我国中小学数学教育中，首先保持假如在我国中小学数学教育中，首先保持“数学数学双基教学双基教学”合理内核，首先添加合理内核，首先添加“基本思想基本思想”和和“基基本活动经验本活动经验”，出现现有，出现现有“演绎能力演绎能力”又有又有“归纳能力归纳能力”培养模式，就必将会出现培养模式，就必将会出现“外国没有我们有、外国有外国没有我们有、外国有我们也有我们也有”局面，那一天，我们就能自豪地说，我局面，那一天，我们就能自豪地说，我国基础教育领先于世界。国基础教育领先于世界。数学课程标准若干思索数学课程标准若干思索第33页1平面几何教育价值平面几何教育价值2现行教育情况现行教育情况3改造计划改造计划平面几何改造计划平面几何改造计划二、平面几何改造计划二、平面几何改造计划第34页1平面几何教育价值平面几何教育价值几何直观和几何证实几何直观和几何证实数学直观和数学推理是学习、研究数学数学直观和数学推理是学习、研究数学关键要素关键要素平面几何改造计划平面几何改造计划第35页教学直观：教学直观：对数学对象和对象之间关系一个直对数学对象和对象之间关系一个直观判断。观判断。不但仅在中小学，任何水平数学教育最终目标都不但仅在中小学，任何水平数学教育最终目标都是要帮助学生建立起一个可靠直觉。是要帮助学生建立起一个可靠直觉。代数：代数：拉曼纽扬拉曼纽扬（C.R.劳统计与真理）劳统计与真理）统计：统计：费歇费歇（K.瑞德奈曼：来自生活统计学家）瑞德奈曼：来自生活统计学家）几何几何平面几何改造计划平面几何改造计划第36页公理、公设、假设起源于生活常识公理、公设、假设起源于生活常识原因：原因：等量加等量，合量相等（公理）。等量加等量，合量相等（公理）。彼此重合东西全等（公理）。彼此重合东西全等（公理）。全部直角彼此相等（公设）。全部直角彼此相等（公设）。两点间直线最短（假设）。两点间直线最短（假设）。几何问题和证实借助图形几何问题和证实借助图形第37页几何证实关键几何证实关键u 给出了证实给出了证实出发点出发点：公理、公设、假设：公理、公设、假设u 给出了证实给出了证实方法方法：演绎法：演绎法第38页2现行教育情况现行教育情况本质上是欧氏几何本质上是欧氏几何优点优点：重视演绎体系和演绎证实：重视演绎体系和演绎证实缺点缺点：忽略几何直觉（直观感知，操作确认）：忽略几何直觉（直观感知，操作确认）知识过于陈旧知识过于陈旧第39页三角形分类：锐角、直角、钝角三角形分类：锐角、直角、钝角平面几何改造计划平面几何改造计划第40页等腰三角形与等边三角形等腰三角形与等边三角形平面几何改造计划平面几何改造计划第41页3改造计划改造计划保留优点，克服缺点保留优点，克服缺点多角度观察，折纸、拼图多角度观察，折纸、拼图借助直方图，借助方向、距离、角度，介绍平借助直方图，借助方向、距离、角度，介绍平移、旋转、反射（小学）移、旋转、反射（小学）平面几何平面几何 （初中）（初中）克服了两个缺点克服了两个缺点平面几何改造计划平面几何改造计划二维矩阵二维矩阵（高中）（高中）群群（大学）（大学）第42页保留逻辑保留逻辑基本出发点：基本出发点：两点决定一条直线。两点决定一条直线。连接两点全部线中直线最短。连接两点全部线中直线最短。图形经过运动不改变图形中两点间距离。图形经过运动不改变图形中两点间距离。（推论，不改变两条直线夹角）（推论，不改变两条直线夹角）两个图形任意两个对应点之间距离相等，其两个图形任意两个对应点之间距离相等，其中一个图形是另一个图形经过运动得到。中一个图形是另一个图形经过运动得到。（两个图形重合，其中一个图形是另一个图形经过（两个图形重合，其中一个图形是另一个图形经过运动得到）运动得到）平面几何改造计划平面几何改造计划第43页经过平移得到直线与原直线平行。经过平移得到直线与原直线平行。经过运动得到图形与原图形全等。经过运动得到图形与原图形全等。定义：定义：平面几何改造计划平面几何改造计划第44页证实证实“边角边边角边”定理定理一个三角形能够被两个边和其夹角确定，所以，一个三角形能够被两个边和其夹角确定，所以，三角形对应三角形对应“边角边边角边”相等，则这两个三角形任意两相等，则这两个三角形任意两个对应点之间距离相等，由个对应点之间距离相等，由基本出发点基本出发点，一个三角，一个三角形是另一个三角形经过运动得到，由形是另一个三角形经过运动得到，由定义定义，两个，两个三角形全等。三角形全等。平面几何改造计划平面几何改造计划第45页证实证实“内错角内错角”定理定理两条平行线被第三条直线所截得到两个截点，分两条平行线被第三条直线所截得到两个截点，分别由这两个截点向另一条平行线作垂线，由平行线别由这两个截点向另一条平行线作垂线，由平行线定义定义和平移定义，两条垂线相等，又因为连接两个截点线和平移定义，两条垂线相等，又因为连接两个截点线段为公共边，由直角三角形全等定理，两个直角段为公共边，由直角三角形全等定理，两个直角三角形全等，则两个内错角相等。三角形全等，则两个内错角相等。平面几何改造计划平面几何改造计划第46页谢谢大家！谢谢大家！第47页