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数学物理方法概论数学物理方法概论之之（积分方程法积分方程法积分方程法积分方程法）主讲教师：白璐主讲教师：白璐主讲教师：白璐主讲教师：白璐联络电话：联络电话：联络电话：联络电话：1529145699615291456996Email:bluxidian.edu.cEmail: nhttp:/ 积分方程积分方程 积积分分方方程程是是研研究究数数学学其其它它学学科科和和各各种种物物理理问问题题一一个个主主要要数数学学工工具具。它它在在弹弹性性介介质质理理论论和和流流体体力力学学中中应应用用很很广广，也也常常见见于于电电磁磁场场理理论论物物理理中中。本节将介绍求解积分方程理论和普通方法。本节将介绍求解积分方程理论和普通方法。第第2页页/10/1031、基本概念；基本概念；2、迭代法；迭代法；3、算子范数；算子范数；4、巴拿赫空间中迭代法；巴拿赫空间中迭代法；5、非线性方程迭代法；非线性方程迭代法；6、可分核；可分核；7、普遍有限秩；普遍有限秩；8、全连续算子；全连续算子；9、全连续厄米算子；全连续厄米算子；10、全连续算子弗雷德霍姆择一定理；、全连续算子弗雷德霍姆择一定理；11、积分方程数值计算；、积分方程数值计算；第五章第五章 积分方程积分方程 第第3页页/10/104 5 积分方程法积分方程法 5.1 基本概念基本概念 一、积分方程定义一、积分方程定义 在方程中，若未知函数在积分号下出现，则称这种方程为在方程中，若未知函数在积分号下出现，则称这种方程为积分方程。积分方程。普通线性积分方程，可写为以下形式普通线性积分方程，可写为以下形式其中，和其中，和 已知。已知。是未知函数，是未知函数，积分方程核，也是已知函数。积分方程核，也是已知函数。被称为被称为本征值作用）本征值作用）是常数因子（经常起一是常数因子（经常起一第第4页页若未知函数仅出现在积分号内，称为第一类方程。若未知函数仅出现在积分号内，称为第一类方程。若未知函数既出现在积分号内，又出现在积分号外称为第二类方程。若未知函数既出现在积分号内，又出现在积分号外称为第二类方程。积分限为常数，称为积分限为常数，称为Fredholm 弗雷德霍姆方程。弗雷德霍姆方程。积分限中有一个是变数，称为积分限中有一个是变数，称为volterra伏特拉方程伏特拉方程/10/105 5 积分方程法积分方程法 5.1 基本概念基本概念 积分方程核，积分方程核，是是 连续函数。连续函数。或平方可积，称核或平方可积，称核为非奇性核或为非奇性核或fredholm核。核。另外，还有弱奇性核及另外，还有弱奇性核及Cauchy奇性核奇性核二、积分方程分类二、积分方程分类 1）按照积分上下限按照积分上下限2）按照未知函数是否在积分内按照未知函数是否在积分内第一第一 类类 第二第二 类类 3）按照积分核进行分类按照积分核进行分类第第5页页/10/106 5.1 基本概念基本概念 三、积分方程算子形式三、积分方程算子形式 积分方程也可采取算符形式来表示。即积分方程也可采取算符形式来表示。即 其中其中K为积分算子为积分算子 若算子方程若算子方程 逆存在，则问题在形式上就处理逆存在，则问题在形式上就处理了。此时了。此时 5 积分方程法积分方程法 第第6页页/10/1075.2 退化核方程解法退化核方程解法 假如积分方程核含有以下形式假如积分方程核含有以下形式 则被称为是退化，含有退化核积分方程，可用初等方法来则被称为是退化，含有退化核积分方程，可用初等方法来求解。求解。以下经过详细例子来说明怎样求解退化核方程。以下经过详细例子来说明怎样求解退化核方程。例例.求解积分方程求解积分方程 解：令解：令则式则式(1)能够变为能够变为 (1)5 积分方程法积分方程法 (2)(3)第第7页页/10/108 5 积分方程法积分方程法 显然，采取迭代方法，将式显然，采取迭代方法，将式(3)代入代入(2)，得，得这个方程组解是这个方程组解是代入式代入式(3)就能够得到积分方程解为就能够得到积分方程解为注意有两个注意有两个 值可使上式解变为无穷大。当值可使上式解变为无穷大。当 取一些特殊值取一些特殊值时，齐次积分方程有非零解，这么时，齐次积分方程有非零解，这么 值称为值称为积分方程本征值积分方程本征值，而对应非零解称作而对应非零解称作本征函数本征函数。5.2 退化核方程解法退化核方程解法 第第8页页/10/109定理定理1.假如假如 5 积分方程法积分方程法 齐次方程齐次方程 有唯一解；有唯一解；若若 是本征值，则齐次方程是本征值，则齐次方程从上例能够看到，假如核是退化，则解一个积分方程问题就从上例能够看到，假如核是退化，则解一个积分方程问题就简化为解一个大家非常熟悉代数方程组问题。假如退化核有简化为解一个大家非常熟悉代数方程组问题。假如退化核有N项，显然将有项，显然将有N个本征值，当然它们不一定都不一样。既然退个本征值，当然它们不一定都不一样。既然退化核方程解是与对应线性代数方程组亲密相关，所以退化核化核方程解是与对应线性代数方程组亲密相关，所以退化核方程许多性质可由对应代数方程组相关性质导出。弗雷德霍方程许多性质可由对应代数方程组相关性质导出。弗雷德霍姆将之简化为一系列理论，这些理论被人们称为姆将之简化为一系列理论，这些理论被人们称为弗雷德霍姆弗雷德霍姆定理定理，在此我们不作证实。，在此我们不作证实。不是本征值，则对于任何非齐次项不是本征值，则对于任何非齐次项 ,非非 最少有一个非平凡解即本征函数，且与一个本征值相对于，最少有一个非平凡解即本征函数，且与一个本征值相对于，线性独立本征函数只有一个。线性独立本征函数只有一个。5.2 退化核方程解法退化核方程解法 第第9页页/10/1010定理定理3.假如假如 是一个本征值，那么非齐次方程有解充要条件是一个本征值，那么非齐次方程有解充要条件是：是：与转置齐次方程一切解正交，即与转置齐次方程一切解正交，即 定理定理2.假如假如 不是一个本征值，那么不是一个本征值，那么 也不是转置方程也不是转置方程 5 积分方程法积分方程法 最少有一个平凡解。最少有一个平凡解。一个本征值；假如一个本征值；假如 是一个本征值，则是一个本征值，则 也是转置方程一个本也是转置方程一个本征值，即征值，即 其中其中 满足式满足式5.2 退化核方程解法退化核方程解法 第第10页页/10/1011 5 积分方程法积分方程法 并对并对x 积分，便可得定理积分，便可得定理3正交关系。正交关系。实际上，定理实际上，定理2是这么一个事实模拟，即矩阵和它转置含有是这么一个事实模拟，即矩阵和它转置含有一样本征值。假如我们以一样本征值。假如我们以 乘以乘以 需要指出是弗雷德霍姆定理仅严格地适合用于非奇异需要指出是弗雷德霍姆定理仅严格地适合用于非奇异积分方程。奇异积分方程理论是一个不一样问题。积分方程。奇异积分方程理论是一个不一样问题。对于含有退化核伏特拉方程，经常能经过求微分变为微对于含有退化核伏特拉方程，经常能经过求微分变为微分方程。我们仍以一个详细例子来说明。分方程。我们仍以一个详细例子来说明。5.2 退化核方程解法退化核方程解法 第第11页页/10/1012 5 积分方程法积分方程法 例例2.求解积分方程求解积分方程解：令解：令代入原式，有代入原式，有 所以所以解此微分方程可得解此微分方程可得于是得于是得把它再代入原方程可求得把它再代入原方程可求得，所以，所以 5.2 退化核方程解法退化核方程解法 第第12页页/10/1013 5 积分方程法积分方程法 到到 于是得于是得5.3 含有位移核方程求解含有位移核方程求解 假如核仅仅是假如核仅仅是 一个函数，即所谓位移核且积分范一个函数，即所谓位移核且积分范围是围是，则能够应用傅立叶变换来求解。考虑方程，则能够应用傅立叶变换来求解。考虑方程 对此方程进行傅氏变换，并记对此方程进行傅氏变换，并记则由卷积定理有则由卷积定理有第第13页页/10/1014 5 积分方程法积分方程法 5.3 含有位移核方程求解含有位移核方程求解 所以所以假如我们能求上式逆变换，就能得到方程解。假如我们能求上式逆变换，就能得到方程解。假如积分区间是从假如积分区间是从0到到x，含有一位移核，且被积函数对于含有一位移核，且被积函数对于 则可用拉氏变换来求解，因为在这种情况下也有对应卷积积分定则可用拉氏变换来求解，因为在这种情况下也有对应卷积积分定理。理。第第14页页/10/1015 5 积分方程法积分方程法 5.4 迭代解法迭代解法 求解积分方程求解积分方程 另一个直接方法就是迭代法，我们首先取近似另一个直接方法就是迭代法，我们首先取近似将此式代入原方程将此式代入原方程 右边积分中，便得到右边积分中，便得到一级近似一级近似 再将一级近似代入原式右边，便得到再将一级近似代入原式右边，便得到 二级近似二级近似 零级近似零级近似 第第15页页/10/1016 5 积分方程法积分方程法 5.4 迭代解法迭代解法 重复迭代，得级数重复迭代，得级数 其中其中 被称为被称为诺依曼级数诺依曼级数或积分方程或积分方程诺依曼解诺依曼解。能够证实，假如核能够证实，假如核 和和 在区间在区间 上连续，上连续，对于足够小对于足够小 ，该级数解将收敛。，该级数解将收敛。第第16页页/10/1017 5 积分方程法积分方程法 5.4 迭代解法迭代解法 其中其中 例例3.求解描述粒子运动薛定谔方程求解描述粒子运动薛定谔方程表示粒子波函数，第一项表示粒子动能，表示粒子波函数，第一项表示粒子动能，V(r)表示作用势，表示作用势，E表示系统总能量，它可表为表示系统总能量，它可表为解：方程又可写为解：方程又可写为此方程含有边界条件此方程含有边界条件第第17页页/10/1018 5 积分方程法积分方程法 5.4 迭代解法迭代解法 其中其中 边界条件边界条件,第一项表示入射粒子平面波，第二项表示入射粒子第一项表示入射粒子平面波，第二项表示入射粒子与与V(r)作用而散射粒子球面波。作用而散射粒子球面波。于是，由格林函数法知亥姆霍兹方程于是，由格林函数法知亥姆霍兹方程 格林函数为格林函数为 这么，我们能够将散射问题转变为积分方程这么，我们能够将散射问题转变为积分方程第第18页页/10/1019 5 积分方程法积分方程法 5.4 迭代解法迭代解法 其中其中 ,第一项是用来调整解使之满足边界条件补充修正函数。第一项是用来调整解使之满足边界条件补充修正函数。解能够写为诺依曼级数解能够写为诺依曼级数由第一代迭代，即取由第一代迭代，即取 我们可得到一非常主要结果，被称作我们可得到一非常主要结果，被称作玻恩玻恩(Born)近似近似记记第第19页页/10/1020 5 积分方程法积分方程法 5.4 迭代解法迭代解法 继续迭代得继续迭代得于是解可表示为级数于是解可表示为级数这个级数解当这个级数解当 较小时，便能很快收敛。较小时，便能很快收敛。第第20页页/10/1021 5 积分方程法积分方程法 5.4 迭代解法迭代解法 经过迭代解法将经过迭代解法将 g(x)作为作为f(x)零级近似，代入得方程一级近似，零级近似，代入得方程一级近似，继续下去，得到继续下去，得到由第二类弗雷德霍姆方程由第二类弗雷德霍姆方程这个级数解是非收敛条件能够利用算子性质进行讨论这个级数解是非收敛条件能够利用算子性质进行讨论第第21页页/10/1022 5 积分方程法积分方程法 5.4 迭代解法迭代解法 将迭代解法表示为更为抽象算子形式将迭代解法表示为更为抽象算子形式注意到即使注意到即使K是积分算子，但是积分算子，但I不是。当不是。当K在某种意义下在某种意义下“小小”，则我们能够将其展开为，则我们能够将其展开为因为已经要求因为已经要求当当K作用在作用在V中任何元素上时产生中任何元素上时产生V中另一个元素，中另一个元素，所以可把所以可把 K n 简单定义为简单定义为K连续作用：连续作用：若算子方程若算子方程 逆存在，则问题在形式上就处理逆存在，则问题在形式上就处理了。此时了。此时 第第22页页/10/1023 5 积分方程法积分方程法 5.4 迭代解法迭代解法 对于对于K这个限制并不是无关紧要，因为一些看上去合理算子，当这个限制并不是无关紧要，因为一些看上去合理算子，当它作用在它作用在V上时，所产生客体不在上时，所产生客体不在V中。比如：考虑在中。比如：考虑在0,1上定义上定义单变量平方可积函数空间单变量平方可积函数空间L20,1，将算子，将算子d/d x作用在这个空间上，作用在这个空间上，显然，显然，是属于是属于L20,1空间，但空间，但不属于不属于L20,1，所以，所以 d/d x 不能把不能把L20,1空间中每一个元素变换空间中每一个元素变换成同一空间中另一个元素，所以对我们要求来说，它不是可允成同一空间中另一个元素，所以对我们要求来说，它不是可允许算子。许算子。第第23页页/10/1024 5 积分方程法积分方程法 5.4 迭代解法迭代解法 收敛时，它就是方程收敛时，它就是方程 解。上述级数式，数学家称为解。上述级数式，数学家称为诺依曼级数，而物理学家称为波恩级数，因为正是马克思波恩诺依曼级数，而物理学家称为波恩级数，因为正是马克思波恩首先在量子力学中利用了基本迭代想法。首先在量子力学中利用了基本迭代想法。假设假设右边右边“收敛收敛”(收敛上引号收敛上引号是因为还没对算子收敛性仔细加以定义是因为还没对算子收敛性仔细加以定义)所以它收敛所趋近所以它收敛所趋近算子是算子是(I-K)逆算子，这是因为将逆算子，这是因为将(I-K)从任意一边去乘从任意一边去乘都给出都给出I，所以我们猜测，当级数，所以我们猜测，当级数第第24页页/10/1025则能够证实：当则能够证实：当 ，那么由，那么由 5 积分方程法积分方程法 5.4 迭代解法迭代解法 假设假设:a)级数解级数解收敛条件：收敛条件：b)在在a,b 内，内，有界，即有界，即c)存在，且等于一个有限常数存在，且等于一个有限常数C.表示诺依曼级数就收敛。但这绝不意味着要使诺依曼级数表示诺依曼级数就收敛。但这绝不意味着要使诺依曼级数收敛，收敛，M就必须小于就必须小于 。很轻易结构出一些核，对于。很轻易结构出一些核，对于M大于大于 但它诺依曼级数依然收敛。即该条件是但它诺依曼级数依然收敛。即该条件是保障诺依曼级数收敛充分非必要条件。保障诺依曼级数收敛充分非必要条件。第第25页页/10/1026 5 积分方程法积分方程法 5.5 弗雷德霍姆解法弗雷德霍姆解法 求解积分方程求解积分方程 用弗雷德霍姆方法，能够得到上述方程一个更完善级数解用弗雷德霍姆方法，能够得到上述方程一个更完善级数解。经过细分积分区间经过细分积分区间 ，用求和代替积分，解得到，用求和代替积分，解得到代数方程，然后讨论无限多细分极限，结果得到积分方程代数方程，然后讨论无限多细分极限，结果得到积分方程 解为解为 其中其中 被称为解核，是两个无穷级数比被称为解核，是两个无穷级数比 第第26页页/10/1027 5 积分方程法积分方程法 5.5 弗雷德霍姆解法弗雷德霍姆解法 其中其中 而而 定义为定义为其中，行列式其中，行列式 第第27页页/10/1028 5 积分方程法积分方程法 5.5 弗雷德霍姆解法弗雷德霍姆解法 其中，行列式其中，行列式定义为定义为 能够证实能够证实弗雷德霍姆解法主要性在于其是收敛，而不像诺依曼级数弗雷德霍姆解法主要性在于其是收敛，而不像诺依曼级数 常是发散，本征值可经过分母函数常是发散，本征值可经过分母函数 求得。求得。第第28页页/10/1029 5 积分方程法积分方程法 5.5 弗雷德霍姆解法弗雷德霍姆解法 例例.求解方程求解方程其中其中 是已知函数，而是已知函数，而 解：此处核为解：此处核为，故由式，故由式 有有 第第29页页/10/1030 5 积分方程法积分方程法 5.5 弗雷德霍姆解法弗雷德霍姆解法 再利用式再利用式 可计算出可计算出 ，从而从而第第30页页/10/1031 5 积分方程法积分方程法 5.5 弗雷德霍姆解法弗雷德霍姆解法 故由式故由式 有有 代入解核公式得代入解核公式得将此结果代入原方程即得需求解方程解为将此结果代入原方程即得需求解方程解为 第第31页页