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光学教程（姚启钧）习题解答第一章 光的干涉1、波长为的绿光投射在间距为的双缝上，在距离处的光屏上形成干涉条纹，求两个亮条纹之间的距离。若改用波长为的红光投射到此双缝上，两个亮纹之间的距离为多少？算出这两种光第2级亮纹位置的距离。 解： 改用 两种光第二级亮纹位置的距离为： 2、在杨氏实验装置中，光源波长为，两狭缝间距为，光屏离狭缝的距离为，试求：光屏上第1亮条纹和中央亮纹之间的距离；若P点离中央亮纹为问两束光在P点的相位差是多少？求P点的光强度和中央点的强度之比。 解： 由光程差公式中央点强度：P点光强为：3、把折射率为的玻璃片插入杨氏实验的一束光路中，光屏上原来第5级亮条纹所在的位置变为中央亮条纹，试求插入的玻璃片的厚度。已知光波长为 解：，设玻璃片的厚度为 由玻璃片引起的附加光程差为： 4、波长为的单色平行光射在间距为的双缝上。通过其中一个缝的能量为另一个的倍，在离狭缝的光屏上形成干涉图样，求干涉条纹间距和条纹的可见度。 解： 由干涉条纹可见度定义： 由题意，设，即代入上式得 5、波长为的光源与菲涅耳双镜的相交棱之间距离为，棱到光屏间的距离为，若所得干涉条纹中相邻亮条纹的间隔为，求双镜平面之间的夹角。 解： 由菲涅耳双镜干涉条纹间距公式 6、在题1.6 图所示的劳埃德镜实验中，光源S到观察屏的距离为，到劳埃德镜面的垂直距离为。劳埃德镜长，置于光源和屏之间的中央。若光波波长，问条纹间距是多少？确定屏上可以看见条纹的区域大小，此区域内共有几条条纹？（提示：产生干涉的区域P1P2可由图中的几何关系求得）SSP2P1P0题1.6图 解：由图示可知： 在观察屏上可以看见条纹的区域为P1P2间 即，离屏中央上方的范围内可看见条纹。 7、试求能产生红光（）的二级反射干涉条纹的肥皂膜厚度。已知肥皂膜折射率为，且平行光与法向成300角入射。 解： 由等倾干涉的光程差公式： 8、透镜表面通常镀一层如MgF2（）一类的透明物质薄膜，目的是利用干涉来降低玻璃表面的反射。为了使透镜在可见光谱的中心波长（）处产生极小的反射，则镀层必须有多厚？ 解：物质薄膜厚度使膜上下表面反射光产生干涉相消，光在介质上下表面反射时均存在半波损失。由光程差公式： 9、在两块玻璃片之间一边放一条厚纸，另一边相互压紧，玻璃片长，纸厚为，从600的反射角进行观察，问在玻璃片单位长度内看到的干涉条纹数目是多少？设单色光源波长为 解：H=0.05mm 相邻亮条纹的高度差为： 可看见总条纹数则在玻璃片单位长度内看到的干涉条纹数目为： 即每内10条。10、在上题装置中，沿垂直于玻璃表面的方向看去，看到相邻两条暗纹间距为。已知玻璃片长，纸厚，求光波的波长。 解： 当光垂直入射时，等厚干涉的光程差公式： 可得：相邻亮纹所对应的厚度差： 由几何关系：，即 11、波长为的可见光正射在一块厚度为，折射率为的薄玻璃片上，试问从玻璃片反射的光中哪些波长的光最强。 解： 由光正入射的等倾干涉光程差公式： 使反射光最强的光波满：足 12、迈克耳逊干涉仪的反射镜M2移动时，看到条纹移过的数目为个，设光为垂直入射，求所用光源的波长。M1M2 解： 光垂直入射情况下的等厚干涉的光程差公式： 移动一级厚度的改变量为： 13、迈克耳逊干涉仪的平面镜的面积为，观察到该镜上有个条纹，当入射光的波长为时，两镜面之间的夹角为多少？ 解： 由光垂直入射情况下的等厚干涉的光程差公式： 相邻级亮条纹的高度差：由和构成的空气尖劈的两边高度差为： 14、调节一台迈克耳逊干涉仪，使其用波长为的扩展光源照明时会出现同心圆环条纹。若要使圆环中心处相继出现条圆环条纹，则必须将移动一臂多远的距离？若中心是亮的，试计算第一暗环的角半径。（提示：圆环是等倾干涉图样，计算第一暗环角半径时可利用的关系。） 解： 出现同心圆环条纹，即干涉为等倾干涉 对中心 15、用单色光观察牛顿环，测得某一亮环的直径为，在它外边第5个亮环的直径为，所用平凸透镜的凸面曲率半径为，求此单色光的波长。 解：由牛顿环的亮环的半径公式： 以上两式相减得： 16、在反射光中观察某单色光所形成的牛顿环，其第2级亮环与第3级亮环间距为，求第19和20级亮环之间的距离。 解：牛顿环的反射光中所见亮环的半径为： 即： 则：第2章 光的衍射P1、单色平面光照射到一小圆孔上，将其波面分成半波带。求第个带的半径。若极点到观察点的距离为，单色光波长为，求此时第一半波带的半径。 解：由公式 对平面平行光照射时，波面为平面，即： 2、平行单色光从左向右垂直射到一个有圆形小孔的屏上，设此孔可以像照相机光圈那样改变大小。问：小孔半径应满足什么条件时，才能使得此小孔右侧轴线上距小孔中心的P点的光强分别得到极大值和极小值；P点最亮时，小孔直径应为多大？设此光的波长为。 解： 当为奇数时，P点为极大值 当C数时，P点为极小值由，为奇，取“+”；为偶，取“-”当，即仅露出一个半波带时，P点最亮。，PS3、波长为的单色点光源离光阑，光阑上有一个内外半径分别为和的透光圆环，接收点P离光阑，求P点的光强与没有光阑时的光强之比。 解： 即从透光圆环所透过的半波带为：2，3，4 设 没有光阑时 光强之比：4、波长为的平行光射向直径为的圆孔，与孔相距处放一屏，试问：屏上正对圆孔中心的P点是亮点还是暗点？要使P点变成与相反的情况，至少要把屏分别向前或向后移动多少？P 解： 由公式 对平面平行光照射时，波面为平面，即： ， 即P点为亮点。 则 ， 注：取作单位 向右移，使得， 向左移，使得，5、一波带片由五个半波带组成。第一半波带为半径的不透明圆盘，第二半波带是半径和的透明圆环，第三半波带是至的不透明圆环，第四半波带是至的透明圆环，第五半波带是至无穷大的不透明区域。已知，用波长的平行单色光照明，最亮的像点在距波带片的轴上，试求：；像点的光强；光强极大值出现在哪些位置上。 解： 由 波带片具有透镜成像的作用， 无光阑时， 即：，为入射光的强度。由于波带片还有等多个焦点存在，即光强极大值在轴上6、波长为的点光源经波带片成一个像点，该波带片有个透明奇数半波带（1,3,5,199）。另外个不透明偶数半波带。比较用波带片和换上同样焦距和口径的透镜时该像点的强度比。 解：由波带片成像时，像点的强度为： 由透镜成像时，像点的强度为： 即7、平面光的波长为，垂直照射到宽度为的狭缝上，会聚透镜的焦距为。分别计算当缝的两边到P点的相位差为和时，P点离焦点的距离。P 解： 对沿方向的衍射光，缝的两边光的光程差为： 相位差为： 对使的P点 对使的P点 8、白光形成的单缝衍射图样中，其中某一波长的第三个次最大值与波长为的光波的第二个次最大值重合，求该光波的波长。 解：对方位，的第二个次最大位 对 的第三个次最大位 即： 9、波长为的平行光垂直地射在宽的缝上，若将焦距为的透镜紧贴于缝的后面，并使光聚焦到屏上，问衍射图样的中央到第一最小值；第一最大值；第三最小值的距离分别为多少？ 解：第一最小值的方位角为：第一最大值的方位角为：第3最小值的方位角为：10、钠光通过宽的狭缝后，投射到与缝相距的照相底片上。所得的第一最小值与第二最小值间的距离为，问钠光的波长为多少？若改用X射线（）做此实验，问底片上这两个最小值之间的距离是多少？ 解： 单缝衍射花样最小值位置对应的方位满足： 则 11、以纵坐标表示强度，横坐标表示屏上的位置，粗略地画出三缝的夫琅禾费衍射（包括缝与缝之间的干涉）图样。设缝宽为，相邻缝间的距离为，。注意缺级问题。12、一束平行白光垂直入射在每毫米条刻痕的光栅上，问第一级光谱的末端和第二光谱的始端的衍射角之差为多少？（设可见光中最短的紫光波长为，最长的红光波长为） 解：每毫米条刻痕的光栅，即 第一级光谱的末端对应的衍射方位角为 第二级光谱的始端对应的衍射方位角为 13、用可见光（）照射光栅时，一级光谱和二级光谱是否重叠？二级和三级怎样？若重叠，则重叠范围是多少？解：光谱线对应的方位角： 即第一级光谱与第二级光谱无重叠 即第二级光谱与第三级光谱有重叠 由 即第三级光谱的的光谱与第二级光谱重叠。14、用波长为的单色光照射一衍射光栅，其光谱的中央最大值和第二十级主最大值之间的衍射角为，求该光栅内的缝数是多少？ 解：第20级主最大值的衍射角由光栅方程决定 解得 15、用每毫米内有条刻痕的平面透射光栅观察波长为的钠光谱。试问：光垂直入射时，最多功能能观察到几级光谱？光以角入射时，最多能观察到几级光谱？ 解： 光垂直入射时，由光栅方程： 即能看到4级光谱光以角入射 16、白光垂直照射到一个每毫米条刻痕的平面透射光栅上，试问在衍射角为处会出现哪些波长的光？其颜色如何？ 解： 在的衍射角方向出现的光，应满足光栅方程： 17、用波长为的单色光照射一光栅，已知该光栅的缝宽为，不透明部分的宽度为，缝数为条。求：单缝衍射图样的中央角宽度；单缝衍射图样中央宽度内能看到多少级光谱？谱线的半宽度为多少？ 解： 级光谱对应的衍射角为：即在单缝图样中央宽度内能看到条（级）光谱由多缝干涉最小值位置决定公式： 第3章 几何光学的基本原理1、证明反射定律符合费马原理 证明： 设A点坐标为，B点坐标为 入射点C的坐标为 光程ACB为： 令 即：*2、根据费马原理可以导出近轴光线条件下，从物点发出并会聚到像点的所有光线的光程都相等。由此导出薄透镜的物像公式。3、眼睛E和物体PQ之间有一块折射率为的玻璃平板（见题3.3图），平板的厚度为。求物体PQ的像PQ与物体PQ之间的距离为多少？ABC ED 解： 由图： 4、玻璃棱镜的折射角A为，对某一波长的光其折射率为，计算：最小偏向角；此时的入射角；能使光线从A角两侧透过棱镜的最小入射角。 解：B CA 由 当时偏向角为最小，即有 5、（略）6、高的物体距凹面镜顶点，凹面镜的焦距是，求像的位置及高度，（并作光路图） 解： 由球面成像公式： 代入数值 得： 由公式： 7、一个高的物体放在球面镜前处成高的虚像。求此镜的曲率半径；此镜是凸面镜还是凹面镜？ 解： ， 虚像 由 得：由公式（为凸面镜）8、某观察者通过一块薄玻璃板去看在凸面镜中他自己的像。他移动着玻璃板，使得在玻璃板中与在凸面镜中所看到的他眼睛的像重合在一起。若凸面镜的焦距为，眼睛距凸面镜顶点的距离为，问玻璃板距观察者眼睛的距离为多少？PP 解： 由题意，凸面镜焦距为，即 玻璃板距观察者眼睛的距离为9、物体位于凹面镜轴线上焦点之外，在焦点与凹面镜之间放一个与轴线垂直的两表面互相平行的玻璃板，其厚度为，折射率为。试证明：放入该玻璃板后使像移动的距离与把凹面镜向物体移动的一段距离的效果相同。 证明： 设物点不动，由成像公式 由题3可知： 入射到镜面上的光线可视为从发出的，即加入玻璃板后的物距为 反射光线经玻璃板后也要平移，所成像的像距为 放入玻璃板后像移量为： 凹面镜向物移动之后，物距为 （） 相对点距离 10、欲使由无穷远发出的近轴光线通过透明球体并成像在右半球面的顶点处，问这透明球体的折射率应为多少？ 解： 由球面折射成像公式： 解得： 11、有一折射率为、半径为的玻璃球，物体在距球表面处，求：物所成的像到球心之间的距离；像的横向放大率。 解：由球面成像为， 由球面成像，在的右侧，离球心的距离球面成像 （利用P194：） 球面成像 12、一个折射率为、直径为的玻璃球内有两个小气泡。看上去一个恰好在球心，另一个从最近的方向看去，好像在表面与球心连线的中点，求两气泡的实际位置。 解： 设气泡经球面成像于球心，由球面折射成像公式： ， 即气泡就在球心处 另一个气泡 ， 即气泡离球心13、直径为的球形鱼缸的中心处有一条小鱼，若玻璃缸壁的影响可忽略不计，求缸外观察者所看到的小鱼的表观位置和横向放大率。 解：由球面折射成像公式： 解得 ，在原处 14、玻璃棒一端成半球形，其曲率半径为。将它水平地浸入折射率为的水中，沿着棒的轴线离球面顶点处的水中有一物体，利用计算和作图法求像的位置及横向放大率，并作光路图。 解： 由球面折射成像公式： 15、有两块玻璃薄透镜的两表面均各为凸球面及凹球面，其曲率半径为。一物点在主轴上距镜处，若物和镜均浸入水中，分别用作图法和计算法求像点的位置。设玻璃的折射率为，水的折射率为。 解：由薄透镜的物像公式： 对两表面均为凸球面的薄透镜： 对两表面均为凹球面的薄透镜： 16、一凸透镜在空气的焦距为，在水中时焦距为，问此透镜的折射率为多少（水的折射率为）？若将此透镜置于CS2中（CS2的折射率为），其焦距又为多少？ 解： 薄透镜的像方焦距： 时， 在空气中： 在水中： 两式相比： 解得 而： 则：第4章 光学仪器的基本原理1、眼睛的构造简单地可用一折射球面来表示，其曲率半径为，内部为折射率等于的液体，外部是空气，其折射率近似地等于1。试计算眼球的两个焦距。用肉眼观察月球时月球对眼的张角为，问视网膜上月球的像有多大？ 解：由球面折射成像公式： 令 令 2、把人眼的晶状体看成距视网膜的一个简单透镜。有人能看清距离在到间的物体。试问：此人看远点和近点时，眼睛透镜的焦距是多少？为看清远的物体，需配戴怎样的眼镜？ 解：对于远点： 由透镜成像公式： 对于近点： 对于 由两光具组互相接触组合整体： （近视度：）3、一照相机对准远物时，底片距物镜，当镜头拉至最大长度时，底片与物镜相距，求目的物在镜前的最近距离？ 解：由题意：照相机对准远物时，底片距物镜， 由透镜成像公式： 4、两星所成的视角为，用望远镜物镜照相，所得两像点相距，问望远镜物镜的焦距是多少？ 解： 5、一显微镜具有三个物镜和两个目镜。三个物镜的焦距分别为、和，两个目镜的放大本领分别为和倍。设三个物镜造成的像都能落在像距为处，问这显微镜的最大和最小的放大本领各为多少？ 解：由显微镜的放大本领公式： 其最大放大本领： 其最小放大本领： 6、一显微镜物镜焦距为，目镜焦距为，两镜间距为。观察者看到的像在无穷远处。试求物体到物镜的距离和显微镜的放大本领。 解： 由透镜物像公式： 解得： 显微镜的放大本领：7、（略）8、已知望远镜物镜的边缘即为有效光阑，试计算并作图求入光瞳和出射光瞳的位置。9、10、*13、焦距为的薄透镜，放在发光强度为的点光源之前处，在透镜后面处放一屏，在屏上得到明亮的圆斑。求不计透镜中光的吸收时，圆斑的中心照度。 解： （为透镜的面积） 点的像点的发光强度为： 14、一长为的线状物体放在一照相机镜头前处，在底片上形成的像长为。若底片后移，则像的弥散斑宽度为。试求照相机镜头的F数。 解： 由 得 由透镜物像公式： 由图可见， F数：15、某种玻璃在靠近钠光的黄色双谱线（其波长分别为和）附近的色散率为，求由此种玻璃制成的能分辨钠光双谱线的三棱镜，底边宽度应小于多少？ 解：由色分辨本领： 16、设计一块光栅，要求使波长的第二级谱线的衍射角小于，并能分辨其的波长差；色散尽可能大；第三级谱线缺级。求出其缝宽、缝数、光栅常数和总宽度。用这块光栅总共能看到的几条谱线？ 解：由 由第三级缺级 由 光栅的总宽度： 由 能看到，共5条谱线17、若要求显微镜能分辨相距的两点，用波长为的可见光照明。试求：此显微镜物镜的数值孔径；若要求此两点放大后的视角为，则显微镜的放大本领是多少？ 解：由显微镜物镜的分辨极限定义 18、夜间自远处驶来汽车的两前灯相距。如将眼睛的瞳孔看成产生衍射的圆孔，试估计视力正常的人在多远处才能分辨出光源是两个灯。设眼睛瞳孔的直径为，设光源发出的光的波长为。 解： 当才能分辨出 19、用孔径分别为和的两种望远镜能否分辨清月球上直径为的环形山？（月球与地面的距离为地球半径的倍，面地球半径约为。）设光源发出的光的波长为。 解： 孔径望远镜： 孔径望远镜： ，即用孔径望远镜不能分辨清 ，即用孔径望远镜能分辨清20、电子显微镜的孔径角，电子束的波长为，试求它的最小分辨距离。若人眼能分辨在明视距离处相距的两点，则此显微镜的放大倍数是多少？ 解： 第五章 光的偏振1、试确定下面两列光波 的偏振态。 解： 有： 分析 为（左旋）圆偏振光 有： 分析 为（左旋）圆偏振光2、为了比较两个被自然光照射的表面的亮度，对其中一个表面直接进行观察，另一个表面通过两块偏振片来观察。两偏振片的透振方向的夹角为。若观察到两表面的亮度相同。则两表面实际的亮度比是多少？已知光通过每一块偏振片后损失入射光能量的。 解：由于被光照射的表面的亮度与其反射的光的光强成正比。设直接观察的表面对应的光强为，通过两偏振片观察的表面的光强为 通过第一块偏振片的光强为： 通过第二块偏振片的光强为： 由 则： 3、两个尼科耳N1和N2的夹角为，在它们之间放置另一个尼科耳N3，让平行的自然光通过这个系统。假设各尼科耳对非常光均无吸收，试问N3和N1的透振方向的夹角为何值时，通过系统的光强最大？设入射光强为，求此时所能通过的最大光强。 解： 令：得： 4、在两个正义的理想偏听偏振片之间有一个偏振片以匀角速度绕光的传播方向旋转（见题5.4图），若入射的自然光强为，试证明透射光强为N1N2题5.4图证明： 5、线偏振光入射到折射率为的玻璃片上，入射角是，入射光的电矢量与入射面成角。求由分界面上反射的光强占入射光强的百分比。 解： 设入射线偏振光振幅为，则入射光强为 入射光平行分量为： 入射光垂直分量为： 由：得： 由： 6、一线偏振光垂直入射到一方解石晶体上，它的振动面和主截面成角。两束折射光通过在方解石后面的一个尼科耳棱镜，其主截面与入射光的振动方向成角。计算两束透射光的相对强度。方解石 解： 当光振动面与N主截面在晶体主截面同侧： 当光振动面与N主截面在晶体主截面两侧： 7、线偏振光垂直入射到一块光轴平行于表面的方解石波片上，光的振动面和波片的主截面成角。求：透射出来的寻常光和非常光的相对强度为多少？用钠光入时如要产生的相位差，波片的厚度应为多少？（） 解： 方解石对钠光 由 8、有一块平行石英片是沿平行于光轴方向切成一块黄光的波片，问这块石英片应切成多厚？石英的。 解： 9、线偏振光垂直入射到一个表面和光轴平行的波片，透射出来后，原来在波片中的寻常光及非常光产生了大小为的相位差，问波片的厚度为多少？ 问这块波片应怎样放置才能使透射出来的光是线偏振光，而且它的振动面和入射光的振动面成的角？ 解： 振动方向与晶体主截面成角10、线偏振光垂直入射到一块表面平行于光轴的双折射波片，光振动面和波片光轴成角，问波片中的寻常光和非常光透射出来后的相对强度如何？ 解：光轴 11、在两正交尼科耳棱镜N1和N2之间垂直插入一块波片，发现N2后面有光射出，但当N2绕入射光向顺时针转过后， N2的视场全暗，此时，把波片也绕入射光顺时针转过，N2的视场又亮了，问：这是什么性质的波片；N2要转过多大角度才能使N2的视场以变为全暗。 解： 由题意，当绕入射光向顺时针转动后，后的视场全暗，说明与夹角为。只有当波片为半波片时，才能使入射线偏振光出射后仍为线偏振光。把波片也绕入射光顺时针转过，要转过才能使后的视场又变为全暗12、一束圆偏振光，垂直入射1/4波片上，求透射光的偏振状态；垂直入射到1/8波片上，求透射光的偏振状态。 解： 在平面上，圆偏振光的电矢量为： +为左旋；-为右旋圆偏振光 设在波片入射表面上为 波片为波片时， 即透射光为振动方向与晶片主截面成角的线偏振光波片为波片时， 即透射光为椭圆偏振光。13、试证明一束左旋圆偏振光和一束右旋圆偏振光，当它们的振幅相等时，合成的光是线偏振光。 解：左旋圆偏振光 右旋圆偏振光 即为线偏振光14、设一方解石波片沿平行光轴方向切出，其厚度为，放在两个正交的尼科耳棱镜间，平行光束经过第一尼科耳棱镜后，垂直地射到波片上，对于钠光（）而言，晶体的折射率为。问通过第二尼科耳棱镜后，光束发生的干涉是加强还是减弱？如果两个尼科耳棱镜的主截面是互相平行的，结果又如何？ 解： 与正交时， 即通过第二个尼科耳棱镜后，光束的干涉是减弱的。 与互相平行时， 即通过第二个尼科耳棱镜后，光束的干涉是加强的。15、单色光通过一尼科耳镜N1，然后射到杨氏干涉实验装置的两个细缝上，问：尼科耳镜N1的主截面与图面应成怎样的角度才能使光屏上的干涉图样中的暗条纹为最暗？在上述情况下，在一个细缝前放置一半波片，并将这半波片绕着光线方向继续旋转，问在光屏上的干涉图样有何改变？ 解：尼科耳镜N1的主截面与图面应成的角度时，光屏上的干涉图样中的暗条纹为最暗。在一个细缝前放置一半波片，并将这半波片绕着光线方向继续旋转，光屏上的干涉图样随半波片的旋转而由清晰变模糊再由模糊变清晰的改变。PS1S2SCBA题5.16 图16、单色平行自然光垂直入射在杨氏双缝上，屏幕上出现一组干涉条纹。已知屏上A、C两点分别对应零级亮纹和零级暗纹，B是AC的中点，如题5.16图所示，试问：若在双缝后放一理想偏振片P，屏上干涉条纹的位置、宽度会有何变化？A、C两点的光强会有何变化？在一条缝的偏振片后放一片光轴与偏振片透光方向成的半波片，屏上有无干涉条纹？A、B、C各点的情况如何？ 答：若在双缝后放一理想偏振片P，屏上干涉条纹的位置、宽度不全有变化。A、C两点的光强会减弱。在一条缝的偏振片后放一片光轴与偏振片透光方向成的半波片，屏上有无干涉条纹位置不变，A、B、C各点的光强有变化，干涉图样可见度下降了。17、厚度为的方解石波片，其表面平行于光轴，放在两个正交的尼科耳棱镜之间，光轴与两个尼科耳各成。如果射入第一个尼科耳的光是波长为的可见光，问透过第二个尼科耳的光中，少了哪些波长的光？ 解： 少的哪些波长的光在后干涉相消，满足