概率论与数理统计教师用教案概率统计教案3章第2-3节.pdf

概率论与数理统计教案 第三章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第概率论与数理统计教案 第三章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第 102 页页 题目 与 课时题目 与 课时 第二节 条件分布第三节 相互独立的随机变量课时：2 教学目的 教学目的(1)理解二维随机变量的边缘分布理解二维随机变量的边缘分布；(2)理解随机变量的独立性概念理解随机变量的独立性概念.内容 内容 连续型随机变量的条件分布函数、条件概率密度,二维均匀分布和正态分布，随机变量的相互独立性.教学重点 教学重点 解决办法 解决办法 加强二维随机变量的条件分布函数、条件分布率、条件概率密度和几种关系的讲评，加大二维均匀分布和正态分布的例题讲解力度，布置作业训练巩固.内容 内容 条件分布函数、条件概率密度,离散型随机变量的条件分布律,随机变量的相互独立性.教学难点 教学难点 解决办法 解决办法 讲情概念“条件分布”的意思，加大例题讲解力度.教学辅助 教学辅助 利用多媒体课件，板书配合分析习题布置 习题布置 P88：1、3、5；P90：1、4、5.参考文献 参考文献 1 郑一,王玉敏,冯宝成.概率论与数理统计.大连理工大学出版社，2015 年 8 月.2 郑一,戚云松,王玉敏.概率论与数理统计学习指导书.大连理工大学出版社，2015 年 8 月.3 郑一,戚云松,陈倩华,陈健.光盘：概率论与数理统计教案、作业册与试卷考题及答案、数学实验视频.大连理工大学出版社，2015 年 8月.4 王玉敏,郑一,林强.概率论与数理统计教学实验教材.中国科学技术出版社，2007 年 7 月.联系方式： 概率论与数理统计教案 第三章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第概率论与数理统计教案 第三章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第 103 页页 教 学 内 容 教学笔记 教 学 内 容 教学笔记 内容简介内容简介考察二维随机变量(X,Y)时,常常需要考虑已知其中一个随机变量取得某值的条件下,求另一个随机变量取值的概率.为此,我们由随机事件的条件概率很自然地引出条件概率分布的概念.关于条件概率分布，我们学习条件分布律、条件分布函数和条件概率密度，以及它们之间的关系.随机变量的独立性也是研究两个或几个随机变量之间的影响关系，特别是它们之间没有影响关系时就得到了的随机变量的独立性.独立性是概率论与数理统计中的一个很重要的概念，同时也是非常实用的方法,它是由随机事件的独立性引申而来的.我们重点学习如何判定独立性和如何利用独立性.预备知识 预备知识 事件的条件概率计算公式，柯西中值公式，概率密度与分布函数关系；事件的独立性，联合分布律与联合概率密度，边缘分布律与边缘概率密度，充分必要条件；n 重积分及其反常积分表示.第二节第二节 条件分布 条件分布 一、一、离散型随机变量的条件分布律 离散型随机变量的条件分布律 设(X,Y)是一个二维离散型随机变量,其分布律为,1,2,ijijP Xx Yypi j,(X,Y)关于 X 和 Y 的边缘分布律分别为,1,2,iiijjP Xxpp i,1,2,jjijiP Yyppj.我们由随机事件的条件概率给出随机变量的条件概率分布的概念.定义定义 对于固定的对于固定的 j,若若0jyYP,则称则称,1,2,ijijijjjP Xx YypP Xx YyipP Yy (2.1)为在为在 Y=yj条件下随机变量条件下随机变量 X 的条件分布律的条件分布律.同样同样,对于固定的对于固定的 i,若若0iP Xx,则称则称,1,2,ijijjiiiP Xx YypP Yy XxjP Xxp，(2.2)概率论与数理统计教案 第三章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第概率论与数理统计教案 第三章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第 104 页页 为在为在 X=xi条件下随机变量条件下随机变量 Y 的条件分布律的条件分布律.例例 3.2.1 设某工厂每天工作时间X可分为 6 小时、8 小时、10 小时和 12小时,工人的工作效率Y可以按 50%、70%、90%分为三类.已知(X,Y)的概率分布为X Y 6810 120.5 0.014 0.036 0.058 0.072 0.7 0.036 0.216 0.180 0.043 0.9 0.072 0.180 0.079 0.014 如果以工作效率不低于70%的概率越大越好作为评判标准,问每天工作时间以几个小时为最好？解解 建议：告诉学生自看：1、是生产实际问题；2、“效率”受到“工作时间”的条件影响；3、总结方法.先求(X,Y)的关于 X 的边缘分布律:X 6 8 10 12 Pi 0.122 0.4320.3170.129下面分别考虑 X 等于 6,8,10,12 时 Y 的条件分布律,即,ijjiiP Xx YyP Yy XxP Xx其中6,8,10,120.5,0.7,0.9.ijxy；计算可得下表数据:Y0.50.70.96jP Yy X 0.115 0.295 0.590 8jP Yy X 0.083 0.500 0.417 10jP Yy X 0.183 0.568 0.249 12jP Yy X 0.558 0.333 0.109 从上表可以看出:在 PY0.7X=xi的值中,当 xi=8 时,概率 0.7|10.7iiP YXxP YXx 1-0.083=0.917 最大,即每天工作 8 小时,工作效率达到最优 概率论与数理统计教案 第三章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第概率论与数理统计教案 第三章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第 105 页页 二、二、连续型随机变量的条件分布 连续型随机变量的条件分布 对二维连续型随机变量,我们也想定义分布函数 PXx|Y=y.但是,由于概率 PY=y=0,因此不能像离散型随机变量那样简单地定义了.容易想到:设A 为某一事件,Y 为随机变量,其分布函数为 FY(y),设 Py0(0),则由条件概率公式可知,P A yYyP A yYyP yYy.如果当 0+时上式极限存在,则称此极限为事件 A 在条件 Y=y 下发生的条件概率(条件概率(conditional probability),即 0,limP A yYyP A YyP yYy.设 X 为随机变量,取事件 A 为Xx,则称 P Xx Yy (2.3)为随机变量 X 在条件 Y=y 下的条件分布函数(条件分布函数(conditional distribution function),记作)(yxFYX.设(X,Y)为二维连续型随机变量,分布函数为 F(x,y),其概率密度为 f(x,y)且连续,则 00(,)(,)()limlim()()X YYYF x yF x yFx yP Xx YyFyFy.由拉格朗日中值定理,可知 00(,)()lim (,)()(,)d d(,)(,)lim()()()(,)d(,)d.()()yX YYyxyyYYYxxYYF x Fx y yyF f s tstF x F x yyF Fyfyf s ysf s ysfyfy都在 与之间上式就是在给定条件 Y=y 下随机变量X的条件分布函数条件分布函数.而)(),(yfyxfY称为在给定条件Y=y下X的条件概率密度(条件概率密度(conditional probability density),记为)(),()(yfyxfyxfYYX.同理,可得出(,)()d()yY XXf x tFy xtfx,得到 X=x 下 Y 的条件概率密度条件概率密度)(),()(xfyxfxyfXXY.综上所述,我们得到常用的关系常用的关系(在各个表达式有意义的条件下):概率论与数理统计教案 第三章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第概率论与数理统计教案 第三章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第 106 页页(1)()X YFx y=|(,)d(|)d;()xxX YYf x yxfx yxfy (2.4)()Y XFy x=(,)d()yXf x yyfx|(|)d.yY Xfx yy (2.5)(2)(,)(|)()X YYf x yfx yfy或),(yxf=)(yfY(|)X Yfx y;(2.6)(,)(|)()Y XXf x yfy xfx或),(yxf=)(xfX(|)Y Xfy x.(2.7)(3)|(|)(|),(|)(|).X YX YY XY XFx yfx yFy xfy x (2.8)利用条件概率密度的概念，我们可以给出随机变量情形的全概率公式和贝叶斯公式.将(2.6)和(2.7)式右端联合概率密度公式再求积分，就得到概率密度形式的全概率公式概率密度形式的全概率公式：|()()(|)d,XYX Yfxfy fx yy (2.9)|()()(|)d.YXY Xfyfx fy xx (2.10)将(2.6),(2.7),(2.9),(2.10)式互相带入，得到概率密度形式的贝叶斯公式概率密度形式的贝叶斯公式：|()(|)(|),()(|)dXY XX YXY Xfx fy xfx yfx fy xx (2.11)|()(|)(|).()(|)dYX YY XYX Yfy fx yfy xfy fx yy (2.12)注意，虽然由边际分布无法得到联合分布，但(2.6),(2.7)式说明，由边际分布和条件分布就可以得到联合分布.例例 3.2.2 设 G 是平面上的有界区域,其面积为 A.若二维随机变量(X,Y)具有概率密度,0,),(,1),(其它GyxAyxf则称(X,Y)在在 G 上服从二维均匀分布上服从二维均匀分布.现设二维随机变量(X,Y)在圆域 x2+y21上服从均匀分布,求条件概率密度)(yxfYX.解解 由题设,随机变量(X,Y)具有概率密度 概率论与数理统计教案 第三章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第概率论与数理统计教案 第三章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第 107 页页 221,1,(,)0,xyf x y其它.因此边缘概率密度为()(,)dYfyf x yx =221,11,0,yy 其它.于是,当-1 y 1 时,有条件概率密度 2221,11,(,)()2 1()0,X YYyxyf x yfx yyfy 其它.概率论与数理统计教案 第三章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第概率论与数理统计教案 第三章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第 108 页页 由此可见，X,Y 的边缘分布都不是均匀分布，但是 X 条件分布都是均匀分布.这与例 3.1.6 的结论不同：二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布.例例 3.2.3 深入对比例 3.1.3 离散型随机变量的类似问题：设随机变量 X 在区间(0,1)上随机地取值,当观察到 X=x(0 x1)时,随机变量 Y 在区间(0,x)上随机地取值,求 Y 的概率密度 fY(y).解解 由题意,X 具有概率密度.,0,10,1)(其它xxfX对于任意给定的值 x(0 x 1),在 X=x 的条件下,Y 的条件概率密度为 1,0,()0,.Y Xyxfy xx其它由(2.7)式得到 X 和 Y 的联合概率密度为 1,01,(,)()()0,.XY Xyxf x yfx fy xx其它因此,关于 Y 的概率密度为()(,)dYfyf x yx =ln(),01,0,.yy 其它概率论与数理统计教案 第三章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第概率论与数理统计教案 第三章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第 109 页页 思考题思考题1.离散型随机变量 X 和 Y 的联合分布律与边缘分布律、条件分布律的关系有哪些？试分别用语言和数学公式表述.2.连续型随机变量 X 和 Y 的联合概率密度与边缘概率密度、条件概率密度的关系有哪些？试分别用语言和数学公式表述.解题参考 解题参考 1.见第 80 页(2.1)式和(2.2)式.2.见第 80 页(2.4)式至(2.8)式.第三节 随机变量的独立性 第三节 随机变量的独立性 一、两个随机变量的独立性 一、两个随机变量的独立性 定义定义1 设 设X,Y是两个随机变量,其联合分布函数为是两个随机变量,其联合分布函数为F(x,y).若对任意的若对任意的x,y,F(x,y)=FX(x)FY(y),则称随机变量则称随机变量 X 与与 Y 相互独立相互独立(mutually independent).对离散型与连续型随机变量的独立性,可分别用分布律与概率密度描述.定理定理 1(1)离散型随机变量离散型随机变量 X 与与 Y 相互独立的充要条件是:相互独立的充要条件是:对于对于(X,Y)的所有可能取的值的所有可能取的值(xi,yj),都有都有 PX=xi,Y=yj=PX=xi PY=yj,i,j=1,2,.(3.1)也就是也就是ijijpp p i,j=1,2,.(2)连续型随机变量连续型随机变量 X 与与 Y 相互独立的充要条件是相互独立的充要条件是 f(x,y)=fX(x)fY(y)(3.2)几乎处处成立几乎处处成立.其中.其中 f(x,y)是是 X 和和 Y 的联合概率密度,的联合概率密度,fX(x)和和 fY(y)分别是关于分别是关于 X 和和 Y 的边缘概率密度.的边缘概率密度.数学上的术语“几乎处处成立”的含义是，在平面(或直线)上除去“面积(或长度)”为零的集合以外，等式或结论处处成立.该定理的证明参见参考文献4.例例 3.3.1 设随机变量(X,Y)的分布律及边缘分布律如下表所示：概率论与数理统计教案 第三章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第概率论与数理统计教案 第三章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第 110 页页 X Y 01p.j1 6113212 611321Pi.31321 问离散型随机变量 X 与 Y 是否相互独立?教学建议：解 解 PX=0,Y=1=61=PX=0PY=1,PX=0,Y=2=61=PX=0PY=2,PX=1,Y=1=13=PX=1PY=1,PX=1,Y=2=13=PX=1PY=2,因此,随机变量 X,Y 是相互独立的.例 例 3.3.2 继续解读第106 页例 3.2.2：已知二维随机变量(X,Y)的概率密度为221,1,(,)0,xyf x y其它.问连续型随机变量 X 与 Y 是否相互独立?解 解 由例 3.2.2 已知关于 Y 的边缘概率密度为 221,11,()0,Yyyfy 其它.由 x 和 y 的对称性，得到关于 X 的边缘概率密度为 概率论与数理统计教案 第三章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第概率论与数理统计教案 第三章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第 111 页页 221,11,()0,Xxfxx 其它.可见,对于任意的 x 和 y,有关系 fX(x)fY(y)f(x,y).因此,X 与 Y 不相互独立.定理 2定理 2 设(,);X YN ,则 X 与 Y 相互独立的充要条件是 =0.证证 由例 3.1.6 知道,其边缘概率密度 fX(x)和 fY(y)的乘积为.)()(21exp21)()(2222212121yxyfxfYX因此,如果 =0,则对于所有的实数 x 和 y,有 f(x,y)=fX(x)fY(y),即 X 与 Y 相互独立.反之,如果 X 与 Y 相互独立,由于 f(x,y),fX(x),fY(y)都是连续函数,故对于所有的 x 和 y 有 f(x,y)=fX(x)fY(y).即2211222222112212()()()()11exp22(1)21xxyy=2212221212()()11exp22.xy 特别地,令 x=1,y=2,由上方等式得到,2112121221 从而 =0.二二、n维随机变量的相关理论维随机变量的相关理论 关于多维随机变量的有关概念与理论,可由二维随机变量的一些概念与理论推广得到.n 维随机变量(X1,X2,Xn)的分布函数分布函数定义为 F(x1,x2,xn)=PX1x1,X2x2,Xnxn,(3.3)其中 x1,x2,xn为任意实数.概率论与数理统计教案 第三章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第概率论与数理统计教案 第三章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第 112 页页 若存在非负函数 f(x1,x2,xn),使得对于任意实数 x1,x2,xn有 F(x1,x2,xn)=121212(,)d dd,nxxxnnf x xxx xx,(3.4)则称(X1,X2,Xn)为 n 维连续型随机变量,称 f(x1,x2,xn)为随机变量(X1,X2,Xn)的概率密度（概率密度（probability density）.设(X1,X2,Xn)的 分 布 函 数 F(x1,x2,xn)为 已 知,则(X1,X2,Xn)的k(1kn)维边缘分布函数就随之确定.例如(X1,X2,Xn)关于X1和关于(X1,X2)的边缘分布函数边缘分布函数分别为),()(111xFxFX).,(),(2121,21xxFxxFXX 又若 f(x1,x2,xn)是(X1,X2,Xn)的概率密度,则(X1,X2,Xn)关于 X1和关于(X1,X2)的边缘概率密度边缘概率密度分别为 111223()(,)d dd,Xnnfxf x xxxxx(3.5)12,121234(,)(,)d dd.XXnnfx xf x xxx xx (3.6)定义定义 2 设 设 n 维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn)的分布函数为的分布函数为 F(x1,x2,xn),1212(),(),()nXXXnFxFxFx分别为关于分别为关于 X1,X2,Xn的边缘分布函数的边缘分布函数.若对于所有的实数若对于所有的实数 x1,x2,xn有有 F(x1,x2,xn)=)()()(2121nXXXxFxFxFn,(3.7)则称随机变量则称随机变量 X1,X2,Xn是相互独立是相互独立的的.对于可列无限个随机变量对于可列无限个随机变量 X1,X2,Xn,若其中任何有限个随机变量都是相互独立的若其中任何有限个随机变量都是相互独立的,则称随机变量则称随机变量 X1,X2,Xn,相互独立相互独立.定义定义 3 若对于所有的 若对于所有的 x1,x2,xm；y1,y2,yn有有 F(x1,x2,xm,y1,y2,yn)=F1(x1,x2,xm)F2(y1,y2,yn)，(3.8)其中其中 F1,F2,F 依次为随机变量依次为随机变量(X1,X2,Xm),(Y1,Y2,Yn)和和(X1,X2,Xm,Y1,Y2,Yn)的分布函数的分布函数,则称随机变量则称随机变量(X1,X2,Xm)和和(Y1,Y2,Yn)是相互独立是相互独立的的.以下定理在数理统计中很重要,在涉及随机变量独立性时常用此定理.定理定理 35 设 设 h(),g()是连续函数.是连续函数.(1)若若 X 和和 Y 相互独立相互独立,则则 h(X)和和 g(Y)也相互独立.也相互独立.(2)若若 X1,X2,Xn相互独立相互独立,则其部分则其部分(X1,X2,Xr)与与(Xr+1,Xn)也相互独立;并且它们的函数 也相互独立;并且它们的函数 h(X1,X2,Xr)和和 g(Xr+1,Xn)也相互独立.也相互独立.定理定理 46 设 设(X1,X2,Xm)和和(Y1,Y2,Yn)相互独立相互独立,则则(1)Xi(i=1,2,m)和和 Yj(j=1,2,n)相互独立相互独立.(2)又若又若 h(x1,x2,xm),g(y1,y2,yn)分别是分别是 m 元、元、n 元连续函数,则函数元连续函数,则函数 h(X1,X2,Xm)和和 g(Y1,Y2,Yn)也相互独立.也相互独立.利用独立性的定义容易证明.根据定理 4 和定理 3，如果已知(X1,X2)和(Y1,Y2,Y3)相互独立，则 X1与 Y2概率论与数理统计教案 第三章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第概率论与数理统计教案 第三章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第 113 页页 相互独立，2122XX与 Y1-2Y2也相互独立.思考题思考题1.相互独立的离散型随机变量 X 和 Y 的联合分布律与关于各自的边缘分布律的关系有哪些？试分别用语言和数学公式表述.2.相互独立的连续型随机变量 X 和 Y 的联合概率密度与边缘概率密度的关系有哪些？试分别用语言和数学公式表述.3.随机变量之间的“独立性”概念是如何一步一步扩展的？4.教材中“独立性”概念用到哪三个方面？它们是如何定义的？各自的实际意义是什么？解题参考解题参考1.见第 109 页(3.1)式.2.见第 109 页(3.2)式.3.首先出现两个随机变量的独立性概念，其次出现 3 个及 3 个以上的有限个随机变量的两两独立与相互独立的概念，再次出现可数无穷个随机变量序列的相互独立的概念，最后出现两个多维随机向量的独立性概念.4.随机事件的独立性：定义要求满足 P(AB)=P(A)P(B),实际意义是一事件的发生与否不影响另一事件的发生.随机试验的独立性：将试验 E 在相同条件下重复进行 n 次，如果将第 i 次试验的结果记成1 2,iA in，总有12,nA AA相互独立，即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果，则说这 n 次试验是相互独立的.实际意义是各次试验的结果互相没有影响.随机变量的独立性：定义要求满足 F(x,y)=FX(x)FY(y),实际意义是随机变量 X 落入区间(-,x)的概率 PXx不影响随机变量 Y 落入区间(-,y)的概率PYy.小 结 与 思 考小 结 与 思 考 本次课主要介绍了:(1)离散型随机变量的条件分布律；(2)连续型随机变量的条件分布及其条件概率密度；(3)关于 X 和 Y 的相互独立性以及随机向量(X1,X2)与(Y1,Y2)的独立性概念；(4)要掌握关于离散型随机变量与连续型随机变量独立的充要条件.思考题：思考题：(1)条件分布函数),(yxFYX与条件概率密度),(yxfYX的关系如何?(2)关于X和Y的联合概率密度),(yxf与条件概率密度的关系如何?(3)离散型随机变量与连续型随机变量相互独立的充要条件是概率论与数理统计教案 第三章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第概率论与数理统计教案 第三章第二、三节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第 114 页页 什么？