高等数学练习题第六章及答案.doc

高等数学练习题第六章及答案练习6.1.11.设，求，解 ；2. 已知，求解 令，则，所以，于是，3.求下列函数的的定义域（1）； （2）解 （1）要是函数有意义，必须 ，即，所以，定义域为（2）要是函数有意义，必须 ，即，所以，定义域为第（2）题图第（1）题图4.计算下列极限(1) ； (2) 解 （1）；(2) 练习6.1.21.设，求，解 因为 ；，所以，；2.计算下列函数的偏导数（1）； （2）；（3）； （4）；解 （1）,；（2）,；（3）；（4）；3.计算下列函数的二阶偏导数（1）； （2）解 （1）因为 ；所以 （2）因为 ；所以 练习6.1.31.已知函数，求（1）函数微分；（2）在点的微分；（3）在点，当时的微分解 (1) ；(2) ；(3) 2.求下列函数的全微分（1）；（2）；（3）解 （1）因为 ；所以 （2）因为 ；所以 （3）因为 ；所以 3. 一圆柱形的无盖铜质容器，壁的厚度为，底的厚度均为，内高为，内半径为，求容器质量的近似值（铜的密度）解 依题意，圆柱形容器的质量，其近似值可以用圆柱在半径为，高为时，当半径增量，高的增量的全微分代替，即.练习6.1.41. 求下列函数的极值（1）； （2）；解 因为，令 ， 解得驻点 又因为 所以 ，于是，且，从而，函数在点有极大值，极大值为.(2) 因为，令 ， 解得驻点 又因为 所以 ，于是，且，从而，函数在点有极小值，极小值为.2. 建造一个长方形水池，其底和壁的总面积为，问水池的尺寸如何设计时，其容积最大？解 设水池的底面长为，宽为，水池容积为，那么，高于是， ，令，得，即，解得，于是得唯一驻点由于驻点唯一，且由问题的实际意义可知最大容积一定存在，故这唯一的驻点就是最大值点所以当长、宽都为米，此时高为米时，所做水池容积最大练习6.2.11.用二重积分表示下列曲顶柱体的体积（1），为矩形区域：，；（2），为圆形区域：解 （1） ；（2）.2. 根据二重积分的几何意义，说明下列积分值大于零、小于零、还是等于零（1）； （2）； （3）解 （1）因为在区域内，所以值为正（2）因为在区域内，所以值为负（3）因为在区域内，依据被积函数的对称性知，.3. 利用二重积分的几何意义计算二重积分：（1）， ：； （2）， ：解 (1) 表示圆的面积，即；(2) 表示球的上半部，即半球的体积，故练习6.2.21. 将二重积分化为二次积分：（1）：，；（2）是由，所围成解 （1），或； （2），或2. 计算下列二重积分：（1），：，；（2）， 是由抛物线与直线所围成解 （1）；（2）3. 交换下列积分的积分顺序：（1）；（2）解 （1）；（2）4. 利用二重积分计算由抛物线和直线所围成图形的面积解 所围图形的交点：，解得和所求面积用二重积分表示：（平方单位）