高等数学练习题第六章及答案.doc

高等数学练习题第六章及答案

练习6.1.1
1.设，求，．
解 ；
．
2. 已知，求．
解 令，则，所以，
，
于是，
3.求下列函数的的定义域
（1）； （2）．
解 （1）要是函数有意义，必须 ，即，
所以，定义域为
（2）要是函数有意义，必须 ，即，
所以，定义域为．

第（2）题图

第（1）题图

4.计算下列极限
(1) ； (2) ．
解 （1）；
(2) ．

练习6.1.2
1.设，求，．
解 因为 ；，
所以，；．
2.计算下列函数的偏导数
（1）； （2）；
（3）； （4）；
解 （1）,；
（2）,；
（3）；
（4）；；．
3.计算下列函数的二阶偏导数
（1）； （2）．
解 （1）因为 ；
所以 ．
（2）因为 ；
所以
．

练习6.1.3
1.已知函数，求（1）函数微分；（2）在点的微分；（3）在点，当时的微分
解 (1) ；
(2) ；
(3) ．
2.求下列函数的全微分
（1）；（2）；（3）．
解 （1）因为 ；
所以 ．
（2）因为 ；
所以 ．
（3）因为 ；
所以 ．
3. 一圆柱形的无盖铜质容器，壁的厚度为，底的厚度均为，内高为，内半径为，求容器质量的近似值（铜的密度）．
解 依题意，圆柱形容器的质量，其近似值可以用圆柱在半径为，高为时，当半径增量，高的增量的全微分代替，即

.

练习6.1.4
1. 求下列函数的极值．
（1）； （2）；
解 因为，
令 ， 解得驻点
又因为
所以 ，
于是，且，
从而，函数在点有极大值，极大值为.
(2) 因为，
令 ， 解得驻点
又因为
所以 ，
于是，且，
从而，函数在点有极小值，极小值为.
2. 建造一个长方形水池，其底和壁的总面积为，问水池的尺寸如何设计时，其容积最大？

解 设水池的底面长为，宽为，水池容积为，那么，高．
于是， ，
，

令，得，
即，解得，于是得唯一驻点
由于驻点唯一，且由问题的实际意义可知最大容积一定存在，故这唯一的驻点就是最大值点．所以当长、宽都为米，此时高为米时，所做水池容积最大．

练习6.2.1
1.用二重积分表示下列曲顶柱体的体积
（1），为矩形区域：，；
（2），为圆形区域：．
解 （1） ；（2）.
2. 根据二重积分的几何意义，说明下列积分值大于零、小于零、还是等于零．
（1）； （2）； （3）．
解 （1）因为在区域内，所以值为正．
（2）因为在区域内，，所以值为负．
（3）因为在区域内，依据被积函数的对称性知，.
3. 利用二重积分的几何意义计算二重积分：
（1）， ：； （2）， ：．
解 (1) 表示圆的面积，即；
(2) 表示球的上半部，即半球的体积，故
．

练习6.2.2
1. 将二重积分化为二次积分：
（1）：，；
（2）是由，，所围成．
解 （1），或；
（2），或．
2. 计算下列二重积分：
（1），：，；
（2）， 是由抛物线与直线所围成．
解 （1）
；
（2）
．
3. 交换下列积分的积分顺序：
（1）；
（2）．
解 （1）；
（2）．
4. 利用二重积分计算由抛物线和直线所围成图形的面积．
解 所围图形的交点：，解得和
所求面积用二重积分表示：

（平方单位）