高等数学章节练习题及答案第二章.doc

高等数学章节练习题及答案第二章

1.用定义求函数的导数．
解（1）求函数增量
；
（2）算比值
；
（3）取极限
．
所以

2．用定义求函数在处的导数．
解 （1）求函数增量
；
（2）算比值
；
（3）取极限 ．
所以

3．设存在，按照导数定义观察下列极限，指出字母A的含义：
（1）；
解 ；
(2) ．
解 ．

4. 求曲线在的切线方程.
解 处切线方程的斜率为，代入，求得切点坐标为．由点斜式求切线方程，，即 ．

5 .求曲线上切线平行轴的点．
解 曲线上任意一点切线斜率．因为切线平行于轴，所以．即，因此所求点为

6．求曲线在处切线方程．
解 在处切线斜率为，又当时，由点斜式切线方程为，即．

7.(1) 用定义求函数的导数
解（1）；
（2）算比值 ；
（3）取极限 ．
(2)求曲线在处切线方程．
解 在处切线斜率为，又时，，所以切线方程为．

8.在曲线上求一点，使得该点处切线平行于．
解 曲线上切线斜率为，因为切线平行于，所以 ，代回原函数，即所求点为．

9. 已知物体的运动规律为，求
（1）物体在至这段时间内的平均速度
（2）物体在时的瞬时速度.

解（1）；
（2）．
作业2.1.2.(1)

一、 填空题
1．设函数，则= ．
解。
2．设函数，则= ．
解 ．
3． 曲线在处切线斜率为 ．
解 ．
4．如果函数和对于区间内每个点都有，则在区间内必有= ．
解 ．

二、 解答题
1求下列函数的导数.
(1)； (2)；
解 解

(3)； (4) .
解 解

(5)
解 ．

2. 求下列函数在给定点的导数.
(1)，在及处；
解 ，代入和得．
(2)，在及处；
解 ，代入和得
(3),在处．
解 ，代入 得．

3.曲线在N处切线平行于轴，求N点的坐标．
解 N点处切线斜率，因为切线平行于轴，所以． 即．所以N点的坐标．

4．求曲线在处的切线方程．
解 在处的切线斜率为，又当时．所求切线方程为

5． 求曲线在处切线方程．
解 在处切线斜率为．又当时所求方程为．

作业2.1.2.(2)

一、 填空题
1设，则= ．
解 。
2设，则= ．
解 。
3设，则= ．
解 ，．

二、 解答题
1．求下列函数的导数.
(1)；
解 ．
(2)；
解。
(3)；
解
(4)．
解。
（5）；
解 ．
(6)；
解。
（7） ；
解 ．
(8) ；
解 ．
(9) ；
解 ．
（10）．
解 ．

2. 利用微软高级计算器求下列函数的导数.
(1)；
解 利用操作面板在输入窗格输入，点击输入得到．
(2)；
解 利用操作面板在输入窗格输入，点击输入得到．
(3)；
解 利用操作面板在输入窗格输入，点击输入得
．
(4)；
解 利用操作面板在输入窗格输入，点击输入得．
(5) ；
解 利用操作面板在输入窗格输入，点击输入得．
（6） ．
解 利用操作面板在输入窗格输入，点击输入得．

3求函数在处的导数．
解 ，

4求函数在处的导数．
解 ，

5已知曲线在切线斜率为2，求
解 ，当时，，代入，得

6.求曲线在处的切线方程．
解 ，所以斜率为
由点斜式得切线方程为．

作业2.1.2.(3)

1 求下列隐函数的导数.
(1) ；
解 两边同时对求导，得故．
(2) ；
解 两边同时对求导得所以．
(3) ；
解 两边同时对求导得所以．
(4) ；
解 两边同时对求导得，故．
(5) ；
解 两边同时对求导得，故．
(6) ．
解 两边同时对求导得，故．

2．求在处的切线方程．
解 由于，所以曲线在处的切线斜率为，故切线方程为．

3．利用软件matlab求下列隐函数的导数
（1）
操作：在命令窗口中输入：
>> Dy_dx=maple('implicitdiff(tan(x+y)+ x*y =2*x,y,x)')
按Enter键，显示：
Dy_dx= -(-1+tan(x+y)^2+y)/(1+tan(x+y)^2+x)
即 ．
（2）．
操作：在命令窗口中输入：
>> Dy_dx=maple('implicitdiff(x^(2/3)+ y^(2/3) = a^(2/3),y,x)')
按Enter键，显示：
Dy_dx= -y^(1/3)/x^(1/3)
即 ．

1．求下列函数的二阶导数
(1) ；
解 ，．
(2) ；
解。
(3) ；
解 ．
(4) ；
解 ， ．
(5) ；
解 , ．
(6)；
解 ．
(7) ；
解，．
(8) ．
解 ，．

2． 求下列函数在指定点处的二阶导数
（1） ，求；
解 ， ．
（2），求
解 ，所以．
（3） ，求
解 , ，所以．

3．利用高级计算器求函数在处的二阶导数．
解 利用操作面板在输入窗格输入，点击输入得．在输入窗格内输入1，点击按钮“store”,在输入窗口显示－>,输入x，点击“输入”，然后双击功能区内所显示的结果“”，则显示结果．
说明：此操作赋变量x的值为1，结束操作后，应该点击查看→存储变量，在显示的存储变量中，清除“x:=1”，否则再输入x，仍然保持赋值的状态．

1将适当的函数填入下列括号，使等式成立．
（1）； （2）；
解 ； 解 ；
（3）； （4）；
解 ； 解 ；
（5）．
解 ．

2求下列函数的微分
(1) ；
解 ；
(2) ；
解 ；
(3)；
解 ；
(4) ．
解 ．

3．求函数在时的增量及微分．
解

4．函数在处，当时的微分．
解 ，

5．利用高级计算器求下列函数的微分
（1）
解 利用操作面板在输入窗格输入，点击输入得，所以．
（2）
解 利用操作面板在输入窗格输入，点击输入得． 所以．

6求下列由参数方程确定的函数的导数
（1）
解 ．
（2）；
解 ．
（3）；
解 ．
(4) ；
．

7．求由参数方程在处切线方程．
解 切线斜率为，又当时时， ，由点斜式得切线方程为．

一 、填空
1．曲线在区间 内是单调增加函数．
解 ，，所以在内是单调增加函数
2． 函数的单减区间为 ．
解 ，当时，．所以函数的单减区间为．
3．设在内，可导，且，则 ．
解 因为，所以函数单调递增即，又，所以．即．

二、 解答题
1．求下列函数的增区间
（1）；
解 令得，所以在上单调增加．
（2）．
解令得，所以在上单调增加．

2．求下列函数的单调区间.
(1)
解 函数的定义域为，
，所以函数在定义域上单调递增．
(2) ；
解 函数的定义域为，
，令，得列表得：

0

0

↘

↗
从表中可以看出，函数在上单调递减，在区间上单调增加
(3)；
解 函数的定义域为，，令，得列表得：

-1

0

↘

↗
从表中可以看出，函数在上单调递减，在区间上单调增加
（4）
解 函数的定义域为，，令，得列表得：

-2

-1

+
0
-
0
+

从表中可以看出，函数在上单调递增，在区间上单调递减．
（5）
解 函数的定义域为，，令，得列表得

0

0

↘

↗
从表中可以看出，函数在上单调递减，在区间上单调增加
（6）
解 函数的定义域为，，令，得 列表得：

0

2

-
0
+
0
-

从表中可以看出，函数在上单调递减，在区间上单调增加
（7）
解 函数的定义域为，，令，得 列表得：

-1

1

+
0
-
0
+

从表中可以看出，函数在上单调递增，在区间上单调递减

一 、填空题
1．函数的极小值是 ．
解 ，当时，，当时，．所以有极小值．
2．函数的极值点是 ．
解 ，当时，，当时，．所以是极小值点．
3．是可导函数在点取得极值的 条件．
解 若在点取得极值，且在该点导数存在，则必有 ，是可导函数在点取得极值的必要条件．
4．函数在上的最大值为 ．
解 ，令，得．
因为，所以最大值为．

二、 求下列函数的极值点和极值.
(1) ；
解 函数的定义域为
，令，得列表得 ：

-1

0

1

-
0
-
0
+
0
+

无极值

极小值1

无极值

从表中可以看出，函数有极小值为．
（2）
解：函数的定义域为，，令，得列表得：

0

+
0
-

极大值-1

从表中可以看出，函数有极大值为．
(3) ；
解 函数的定义域为，，令，得列表得 ：

0

2

+
0
-
0
+

极大值7

极小值3

从表中可以看出，函数有极大值为，极小值为．
(4) ；
解：函数的定义域为
，令，得列表得：

-1

1

-
0
+
0
-

极小值-1

极大值1

从表中可以看出，函数有极小值为，极大值为 ．
（5）；
解：函数的定义域为
，令，得，当时不存在．列表得：

0

8

-
不存在
+
0
-

极小值0

极大值4

从表中可以看出，函数有极小值为 ，极大值为

三、 求下列函数的最大值、最小值.
(1) ，；
解 , 令，得．因为，，，所以最大值为，最小值为 ．
(2) ，;
解，令，得．因为，
所以最大值为，最小值为．

四、解答题

1．某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20m长的墙壁.问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？
解 设长方形的宽为，则长为．小屋面积， ，求得唯一驻点．所以砌成长为10，宽为5的长方形才能使这间小屋的面积最大．

2．做一个圆锥型的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积为最大，高应当为多少？
解 设圆锥的高为，圆锥底面半径为．由于，所以．令得唯一驻点．因此若使漏斗体积最大，高应为．

作业2.2.4（1）

1．设某产品的成本函数为

求产量Q=100单位时的平均成本和边际成本．

解 平均成本为10，边际成本为2.

2．某公司生产某产品，每天的收益（单位：元）与产量（单位：元）的函数关系为，成本函数，求当每天生产15吨、20吨、25吨时的边际利润，并说明经济意义.
解 时，边际利润，它的经济意义为在产量为15吨的基础上，再多生产一吨产品，总利润增加100元.

作业2.2.4（2）

1. 设某商品的需求函数为

求时的需求价格弹性，并说明其经济意义.

解 ，表明当时，价格上涨，需求量减少6.93

2.设某商品需求函数为

(1)求需求弹性函数；
(2)求时的需求弹性；
(3) 当时，若价格上涨，总收益增加还是减少？将变化百分之几？
解 （1）；（2）1.846；（3）减少0.846% .