1、
高等数学练习题第三章及答案
练习3.1.1
1．求下列不定积分
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ；
解 (1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
2．一曲线经过点，且曲线上任意一点处的切线斜率为，求该曲线的方程．
解 ，由曲线过点，得，故所求曲线的方程为．
练习3.1.2
1．用凑微分法求下列不定积分
(1) ； (2) ；
(3) ； (4)
2、
解 (1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
2．用分部积分法求下列不定积分
(1) ； (2) ；
解 (1) ；
(3) ；
3．用计算器求下列不定积分
(1) ； (2) ；
解 (1) ；
(2) ．
练习3.2.1
1．求的值．
解 ．
第3题图
2．已知，求的值．
解 ．
3．利用定积分的几何意义求定积分．
解 定积分的值等于如图所示梯形的面积，即
3、 ．
练习3.2.2
1．已知，，求的值．
解 ．
2．已知，，求的值．
解 ．
3．已知是的一个原函数，求的值．
解 由题意，得，即，所以
．
练习3.2.3
1．计算下列各定积分．
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ；
(5) ； (6) ．
解 (1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
4、
(6) ．
2．用高级计算器求下列定积分．
(1) ； (2) ．
解 (1) ；
(2) ．
练习3.2.4
计算下列各广义积分，并说明其敛散性．
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
解 (1) ，故收敛；
(2) ，
故收敛；
(3) ，故发散；
(4) ，
故发散．
已知某物体做变速直线运动，速度是时间的连续函数，现利用定积分计算物体在时间段经过的路程．请指出：
（1）积分变量与
5、积分区间；
（2）路程S的微元；
（3）路程S．
解 （1）积分变量为，积分区间为；
（2）；
（3）
练习3.3.2
1．求下列由曲线和直线围成的平面图形的面积
(1) ，，；
(2) ，，；
(3) ，．
解 (1) ．
(2) ．
第1- (3)题图
(2) ．
第1- (2)题图
第1-(1)题图
2．求下列由曲线和直线围成的平面图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积
(1) ，，；
(2) ，，．
解 (1) ．
第2- (2)题图
第2- (1)题图
(2) ．
练习3.3.3
1．求函数在区间上的平均值．
解 ．
2．有一根长度为的细棒，其上任意点处的密度，若细棒的一端与坐标原点重合，求细棒的平均密度．
解 ．
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