南京邮电大学--信号与系统讲义.pdf

信号与系统第一章1第1章信号与系统的基本概念1.1 信号的描述及分类1.2 信号的运算1.3 系统的数学模型及其分类1.4 系统的模拟1.5 线性时不变系统分析方法概述习题12第1章信号与系统的基本概念1J信号的描述及其分类1.1.!信号及其描述什么是信号（signal）?广义地说,信号是随时间变化的某 种物理量。在通信技术中,一般将语言、文字、图像或数据 等统称为消息（message）。在消息中包含有一定数量的信息（information）但是,信息的传送一般都不是直接的,它 必须借助于一定形式的信号（光信号、声信号、电信号等），才能远距离快速传输和进行各种处理。因而,信号是消息的 表现形式它是通信传输的客观对象,而消息则是信号的具 体内容,它蕴藏在信号之中。本课程将只讨论应用广泛的电 信号,它通常是随时间变化的电压或电流,在某些情况下,也可以是电荷或磁通。由于信号是随时间而变化的,在数学 上可以用时间看的函数/）来表示,因此,“信号”与“函 数”两个名词常常通用。3信号的特性可以从两个方面来描述,即时间特性和频率特性。信号可写成数学表达式,即是时间/的函数,它具有一定的 波形,因而表现出一定波形的时间特性,如出现时间的先后、持续时间的长短、重复周期的大小及随时间变化的快慢等。另一方面,任意信号在一定条件下总可以分解为许多不同频 率的正弦分量,即具有一定的频率成份,因而表现为一定波 形的频率特性,如含有大小不同频率分量、主要频率分量占 有不同的范围等。信号的形式所以不同,就因为它们各自有不同的时间特性和 频率特性,面信号的时间特性和频率特性有着对应的关系,不同的时间特性将导致不同的频率特性的出现。1.1.2信号的分类对于各种信号,可以从不同的角度进行分类。1.确定信号和随机信号4按时间函数的确定性划分,信号可分为确定信号和随机信 号两类。确定信号(determinate signal)是指个可以表示为确定的 时间函数的信号。对于指定的某时刻,信号有确定的值。如我们熟知的正弦信号、周期脉冲信号等。随机信号(random signal)则与之不同,它不是个确定的时间函数通常只知道它取某数值的概率,如噪音信号等。实际传输的信号几乎都具有不可预知的不确定性,因而都 是随机信号。如,通信系统中传输的信号带有不确定性,接收者在收到所传送的消息之前,对信息源所发出的消息 是不知道的,否则,接收者就不可能由它得知任何新的消 息,也就失去通信的意义。另外,信号在传输过程中难免 受各种干扰和噪声的影响,将使信号产生失真。所以,一 般的通信信号都是随机信号。但是,在一定条件下,随机 信号也表现出某些确定性,通常把在较长时间内比较确定 的随机信号,近似地看成确定信号,以使分析简化。52.连续信号和离散信号按照函数时间取值的连续性划分,确定信号可分为连续时 间信号和离散时间信号简称连续信号和离散信号。连续信号(continuous signal)是指在所讨论的时间内,对 任意时刻值除若干个不连续点外都有定义的信号,通常用/)表不。离散信号(discrete signal)是指只在某些不连续规定的时刻 有定义,而在其它时刻没有定义的信号。通常用K或于(kT)简写)表示,如图L1-2所示。图中信号”灰)只在建二一2,-1,0,1,2,3,等离散时刻给出函数值。3.周期信号和非周期信号按信号(函数)的周期性划分,确定信号又可以分为周期信 号与非周期信号。6周期信号(periodic signal)是指个每隔定时间,周而 复始且无始无终的信号,它们的表达式可写为f(t)=f(t+nT)n=Q,1,2,满足此关系式的最小值称为信号的周期。只要给出此信号 在任一周期内的变化过程,便可确知它在任一时刻的数值。非 周期信号(aperiodic signal)在时间上不具有周而复始的特性。非周期信号也可以看作为个周期趋于无穷大时的周期信号。4.能量信号与功率信号信号按时间函数的可积性划分,可以分为能量信号,功率信 号和非功率非能量信号。信号可看作是随时间变化的电压或电流,信号在1欧姆 的电阻上的瞬时功率为1/(/)12,在时间区间 所消耗的总能量定义为:(,)7E=limT f8Li加)dt其平均功率定义为:7 2螃/（可出(1.1-1)(1.1-2)T上两式中,被积函数都是/*（的绝对值平方,所以信号能量 E和信号功率P都是非负实数。若信号f）的能量 E,此时尸=0,则称此信号为能量有限信号,简称能量信号nergy signal）。若信号f（的功率OvP,此时二,则称此信号为功率有限信号,简称功率信号）0（power sign信号Z1（%）可以是个既非功率信号,又非能量信号,如单位斜坡信号就是个例子。但个信号不可能同时既是 功率信号,又是能量信号。8一般说来周期信号都是功率信号,非周期信号或者是能量 信号,或者是功率信号,或者既非能量信号又非功率信号。属于能量信号的非周期信号称为脉冲信号,它在有限时间范 围内有一定的数值。1.1.3典型连续信号下面给出些典型连续信号的表达式和波形,我们今后会经 常遇到它们。典型离散信号的表达式及波形将在第五章中讨 论。1.单位阶跃信号(unit step signal)单位阶跃信号的定义为:M=10 t0(1.1-3)其波形在跃变点年0处,函数值未定。9若单位阶跃信号跃变点在=1处,则称其为延迟单位阶跃函 数。2.单位冲激信 号(unit impulse signal)单位冲激信号“)是个特殊信号,它不是用普通的函数来定 义。它的工程定义如式(1.1-5)描述。这个定义由狄拉克(P.A.M.Dirac)提出,故又称狄拉克函数。它除在原点以外,处处为零,并且具有单位面积值。直观地看,这函数可以 设想为一列窄脉冲的极限。如个矩形脉冲。/w 0 陝(=和f b山=1 t-0 J3.复指数信号(complex exponential signal)/)=/s=b+j 为复数,称复频率。10由于复指数信号能概括多种情况,所以可利用它来描述多种 基本信号,如直流信号、指数信号、等幅、增幅或减幅正弦 或余弦信号,因此,它是信号与系统分析中经常遇到的重要 信号。上面我们介绍了几种最基本的信号,接着来介绍有关信号的 各种运算。12信号的运算1.2.1信号的相加与相乘两个信号相加（相乘）可得到个新的信号,它在任意时刻 的值等于两个信号在该时刻的值之和（积）。信号相加与相 乘运算可以通过信号的波形（或信号的表达式）进行。11122信号的导数与积九,df（Q信号/“）的导数是指 1 或记作T），从波形看,它表 示信号值随时间变化的变率。当f）含有不连续点时,由 于引入了冲激函数的概念,/（在这些不连续点上仍有导数,出现冲激,其强度为原函数在该处的跳变量。信号Z（的积分是指或记作Z（/）,从波形看,它在任意时 亥取的值为从一至区间,与时间轴所包围的面积。1.2.3 信号的时移和折叠信号Z*（时移（r00）,就是将/。）表达式中所有自 变量%用土替换,成为/（土L）。信号”）的折叠就是将/（%）表达式以及定义域中的变量用t替换,成为“。1.2.4 信号的尺度变换尺度变换就是把信号/（/）以及定义域中自变量%用砂去置换,成法!于（a。121.3系统的数学模型及其分类1.3.1 系统的概念什么是系统（system）?广义地说,系统是由若干相互作用 和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。例如,通信系统、自动控制系统、计算机网络系统、电系统、水 利灌溉系统等。通常将施加于系统的作用称为系统的输入激 励;而将要求系统完成的功能称为系统的输出响应。1.3.2 系统的数学模型分析一个实际系统,首先要对实际系统建立数学模型,在数 学模型的基础上,再根据系统的初始状态和输入激励,运用 数学方法求其解答,最后又回到实际系统,对结果作出物理 解释,并赋予物理意义。所谓系统的模型是指系统物理特性 的抽象,以数学表达式或具有理想特性的符号图形来表征系 统特性。13系统模型的建立是有一定条件的,对于同一物理系统,在不 同条件下可以得到不同形式的数学模型。另方面,对于不 同的物理系统,经过抽象和近似,有可能得到形式上完全相 同的数学模型。1.3.3系统的分类系统的分类比较复杂,我们主要考虑其数学模型的差异来划 分不同的类型。1.连续时间系统和离散时间系统输入和输出均为连续时间信号的系统称为连续时间系统。输 入和输出均为离散时间信号的系统称为离散时间系统。模拟 通信系统是连续时间系统,而数字计算机就是离散时间系统。连续时间系统的数学模型是微分方程,而离散时间系统则用 差分方程来描述。142.线性系统和非线性系统线性系统是指具有线性特性的系统。所谓线性特性(linearity)系指齐次性与叠加性。若系统输入增加倍,输出也增加咅,这就是齐次性(homogeneity)。若有几个输入同时作用于系 统,而系统总的输出等于每个输入单独作用所引起的输出 之和,这就是叠加性(superposition Property)系统同时具 有齐次性和叠加性便呈现线性特性。个系统的输出不仅与输入有关,还与系统的初始状态有关。设具有初始状态的系统加入激励时的总响应为y(t);仅有激 励而初始状态为零的响应为y zs(才)，称为零状态响应;仅有 初始状态而激励为零时的响应为y z,()，称为零输入响应。若将系统的初始状态看成系统的另种输入激励,则对于线 性系统,根据系统的线性特性,其输出总响应必然是每个输 入单独作用时相应输出的叠加。15因此,一般线性系统必须具有:a,分用牟性(decomposition property)：即 y=y z s+y z(1.3-6)b,零输入线性当系统有多个初始状态时,零输入响 应对每个初始状态呈线性。c,零状态线性当系统有多个输入时,零状态响应对 每个输入呈线性。凡不具备上述特性的系统则称为非线性系统。163.时不变系统和时变系统只要初始状态不变,系统的输出仅取决于输入而与输入 的起始作用时刻无关,这种特性称为时不变性。具有时不 变特性的系统为时不变系统（time invariant system）不具 有时不变特性的系统为时变系统（time varying system）对时不变系统,如果激励是,系统产生的响应是y（,当激励延迟一段时间为”）,则系统的响应也同样延迟 时间为（一）,其波形形状不变。公式化地表示为:若 一 y则（一幻（。）（1.3-7）系统的线性和时不变性是两个不同的概念,线性系统可以 是时不变的,也可以是时变的,非线性系统也是如此。本 课程只讨论线性时不变（LTD系统,简称线性系统。线性 时不变连续（离散）系统的数学模型为常系数微分（差分）方程。174.因果系统和非因果系统因果系统(Causal system)是响应不会超前激励的系统。非因果系统(noncausal system)是响应能领先于激励的系统。1.4系统的模拟如前所述,把个实际系统抽象为数学模型,便于用数学方 法进行分析。另外,还可借助简单而易于实现的物理装置,用实验的方法来观察和研究系统参数和输入信号对于系统响 应的影响。此时,需要对系统进行实验模拟。系统模拟(system simulation)不需要仿制实际系统,而只需在数学意 义上的等效,使模拟系统与实际系统具有相同的数学表达式。1.4.1 基本运算器连续系统的模拟一般需要三种基本的运算器:加法器、标量 乘法器和积分器。18模拟一个系统的微分方程不用微分器而用积分器,这是因 为积分器对信号起“平滑”作用,甚至对短时间内信号的 剧烈变化也不敏感,而微分器将会使信号的噪声大大增加,因而使用较少,显然积分器的抗干扰性能比微分器好,运 算精度高。1.4.2 连续系统的模拟图对于连续的线性时不变系统,可用线性常系数微分方程来 描述,根据微分方程可作出相应的模拟图。构成系统模拟图的规则如下:（1）把微分方程输出函数的最 高导数项保留在等式左边,把其它各项移到等式右边;（2）将最高阶导数作为第一个积分器的输入,其输出作为第二 个积分器的输入,以后每经过个积分器,输出函数的导 数阶数就降低阶,直到获得输出函数为止;（3）把各个阶 数降低了的导数及输出函数分别通过各自的标量乘法器,齐送到第一个积分器前的加法器与输入函数相加,加法 器的输出就是最高阶导数。这就构成了一个完整的模拟图。19现在考虑更一般的情况,即微分方程右边含有输入函数导数的情况。例如,二阶微分方程(+%。)+。0y(=(+仇工(1.4-8)则引入辅助函数,使+凶+。代入原方程y”(+aiyt)+0 y)=(+0+)+瓦(+%q+oq)=+%+%如+%+%)M+bq由此可见y=+%20完整的二阶系统模拟图:q+a+aq=xy=d+%21根据系统模拟图列写微分方程的一般步骤:（1）选中间变量）。设系统最右端积分器的输出 为;（2）写出各加法器输出信号的方程;（3）消去中间变量（,可得微分方程。以上介绍了连续时间系统的时域模拟方法,关于离散 时间系统的模拟将在第五章中介绍。它们的S域（复频域）或Z域模拟将在第六章中介绍。221-5线性时不变系统分析方法概述在系统分析中,线性时不变系统分析具有重要意义。这 是因为:一方面,实际工作的多数系统在指定条件下可被 近似为线性时不变系统;另一方面,线性时不变系统的分 析方法已经比较成熟,形成了较为完善的体系。而非线性 系统与时变系统的分析虽然已经发展了一些实用方法,但 作为普通的理论,至今尚未达到成熟的阶段。分析线性系统一般必须首先建立描述系统的数学模型,然 后再进步求得系统数学模型的解。在建立系统模型方面,系统的数学描述方法可分两类:类称为输入输出描述法;类称为状态变量描述法。输入输出描述法着眼于系统激励与响应的关系,并不涉及 系统内部变量的情况。因而,这种方法对于单输入、单输 出系统较为方便。一般而言,描述线性时不变系统的输入 输出关系,对连续系统是常系数线性微分方程,对离散系 统是常系数线性差分方程。23状态变量描述法不仅可以给出系统的响应,还可提供系 统内部各变量的情况,特别适用于多输入、多输出系统。用这种方法建立的数学式为阶标准形式,便于计算机 求解。状态变量分析法还适用于时变系统和非线性系统,已成为系统理论与近代控制工程的基础。从系统数学模型的求解方法来讲,基本上可分为时域方 法和变换域方法两类。时域法是直接分析时间变量的函数,研究系统的时域特 性。对于输入输出描述的数学模型,可求解常系数线性 微分方程或差分方程;对于状态变量描述的数学模型,则需求解矩阵方程。在线性系统时域分析方法中,卷积 方法非常重要,不管是连续系统中的卷积还是离散系统 中的卷积和,都为分析线性系统提供了简单而有效的方 法,本书中将详细讨论这种方法。24变换域方法是将信号与系统的时间变量函数变换成相应变换域 的某个变量函数。例如,傅里叶变换(FT)是以频率作为变量 的函数,利用FT来研究系统的频率特性;拉普拉斯变换(LT)与Z变换(ZT)则注重研究零点与极点分布,对系统进行S(复 频率)域和Z域分析。变换域方法可以将分析中的微分方程或差 分方程转换为代数方程,或将卷积积分与卷积和转换为乘法运 算,使信号与系统分析的求解过程变得简单而方便。在分析线性时不变系统中,时域法和变换域法都以叠加性、线 性和时不变性为分析问题的基准。首先把激励信号分解为某种 基本单元信号,然后求出在这些基本单元信号分别作用下系统 的零状态响应,最后叠加。应该指出,卷积方法求得的是零状态响应。变换域方法不限于 求零状态响应,也可用来求零输入响应或直接求全响应,它是 求解数学模型的有力工具。状态变量分析法适用于时域法和变 换域方法。25本书按照先输入输出描述后介绍状态变量描述,先连续 系统后离散系统,先时域后变换域的顺序,研究线性时不 变系统的基本分析方法。26信号与系统A/r-弟早27第2章 连续信号与系统的时域分析2.1 冲激函数及其性质2.2 系统的冲激响应2.3 信号的时域分解和卷积积分2.4 卷积的图解和卷积积分限的确定2.5 卷积积分的性质2.6 卷积的数值计算习题2282.1 冲激函数及其性质2.1.1 冲激函数冲激函数是对于集中于个瞬间(或一点)出现的物理 量的一种理想描述。单位冲激函数的工程定义:0/W 0 f河)=n 和 5(t)dt=1 =0 J-00 V 7单位冲激函数的工程定义直观地反映了它出现时间极短和面 积为1两个特点。从它t=0时函数值趋于无穷大,可以看出,下是通常意义下的函数。人们将这类非常规函数称为广义函 数(generalizedfimction),或称分配函数(distribution function)这类函数的数学定义不是象普通函数那样,由对 应于自变量的变化值所取的函数值来定义,而是由它对另 个函数(常称为测试函数)的作用效果来定义的,也就是说,不是用它“是”什么来定义,而是用它能“做”什么来定义 的。29单位冲激函数的严格的数学定义。I。)。)力=。(。)(2.1-4)V002.1.2 冲激函数的性质作为广义函数,冲激函数除了式(2.1-4)和式(2.1-16)所 描述的取样性质(或称筛选性质)外,还具有如下常用性质:1.加权特性2.单位冲激函数为偶函数3.单位阶跃函数的导数是单位冲激函数4.尺度变换5.冲激函数的导数及其性质单位冲激函数及其各阶导数和积分是一族最常用的奇异函数。302.2系统的冲激响应线性时不变时间系统的单位冲激响凶,是指系统初始 状态为零,激励为单位冲激信号作用下的响应,简称冲 激响应,用h(t)表示。它反映了系统的特性,同时也是 利用卷积积分进行系统时域分析的重要基础。L对于简单电路,直接计算该电路在单位冲激信号作用 下的零状态响应,即可求得冲激响应h(t)。2.先计算系统的阶跃响应s(t),然后利用冲激响应和阶跃 响应的关系计算冲激响应h(t)。3.从系统的微分方程求解冲激响应。312.3 信号的时域分解和卷积积分上节讨论了系统对于单位冲激信号这一特殊激励下的零 状态响应,本节将研究任意波形信号可以分解为连续的冲激 信号之和,以及任意信号作用下的零状态响应问题,进而说 明卷积积分的物理意义。2.3.1 信号的时域分解任意波形的信号可以分解为连续的加权冲激信号之和。任意波形的信号也可以分解为无限多个连续的加权阶跃信 号之和。2.3.2 零状态响应一卷积积分任意波形信号作用于线性系统引起的零状态响应,为y（二 jx（T）h（t-T）dr（2.3-10）0032式(2.3-10)是卷积积分的一般形式,当与受到某种限制时,其积分上、下限会有所变化。若时,武。=0,式(2.3-10)中的积分下限应从厶开始,式(2.3-10)应表示为 8(=J%()。-r)dr(2.3-12)相反,若(。不受此限,而时,岡。=0,积分上限应取“2，式(2.3-10)应表示为)=Jx()Q)万(2.3-13)若。时,x(0=0,而时,(=0,式(2.3-10)积分上,下限为 2y)=x(T)h(t-T)dv(2 3.14).更一般的确定卷积积分的积分限的方法将在下节中进步 进行分析讨论。332.4 卷积的图解和卷积积分限的确定上节讨论了一般形式的卷积积分,以及X。和訳O均为有始 函数时积分上下限的表示方法,但实际上卷积积分限还要根 据具体情况来确定,特别是当（。和两者或两者之一是分段 定义的函数时,图解能帮助正确地确定卷积积分的上下限。2.4.I 卷积的图解卷积的图解能够直观地理解卷积积分的计算过程。卷积的图解归纳起来有下列五个步骤:1.换元:将和中的变量更换为变量;2.折叠:作出相对于纵轴的镜象;3.位移:把平移个“直;4.相乘:将位移后的函数乘以;5.积分:和乘积曲线下的面积即为出寸刻的卷积值。34由于卷积积分的计算步骤包括换元、折叠、位移、相乘与积 分,故卷积也称为褶积或卷乘等。2.4.2卷积的另种计算方法如果（和两者或两者之一是分段连续的函数时,采用式（2.3-14）进行卷积计算也是种较为简便的方法。2.5卷积积分的性质作为种数学运算方法,卷积积分具有某些特殊的性质。利 用这些性质可使卷积运算大为简化。2.5.1 卷积代数通常,卷积积分与代数中的乘法运算性质相类似。（1）卷积运算满足交换律（2）卷积积分满足分配律（3）卷积积分满足结合律352.5.2 卷积的微分与积分上述卷积代数运算的规律与普通乘法类似,但卷积的微分 或积分运算却与普通两函数的乘积的微分、积分运算不同。（1）卷积的微分性质（2）卷积的积分性质（3）卷积的微积分性质任意函数与单位冲激函数3卷积的结果仍然是本身,根 据式（2.3-3）和卷积的定义,有J-T-tdz=x）（2.5-17）00由此可见任意函数。）与一个延迟时间为秒的单位冲激函数 3（i）的卷积,只是使x（t）在时间上延迟了小 而波形不变。这 一性质称为重现特性（replicationproperty）362.5.4卷积的时移若 y)=M(,则x(t)力 一%)=x(t-)*h(t)=y 一)(2.5-22)2.6卷积的数值计算卷积积分除通过直接积分或查表的方法进行求解外,还可以 利用计算机求解,这就是卷积积分的数值计算。37信号与系统A/r-.弟二早38第3章 连续信号与系统的频域分析3.1 周期信号分解为傅里叶级数3.2 信号在正交函数空间的分解3.3 周期信号的频谱3.4 非周期信号的频谱3.5 些常见信号的频域分析3.6 傅里叶变换的性质及其应用3.7 相关函数与谱密度3.8 连续系统的频域分析3.9 信号的无失真传输和理想滤波器393.10 希尔伯特变换3.11 取样定理3.12 多路复用 习题340第3章连续信号与系统的频域分析上一章讨论了连续时间信号与系统的时域分析。它是以冲激 函数为基本信号,任意信号可以分解为系列加权的冲激信号 之和,而系统的零状态响应是输入信号与冲激响应的卷积。本 章将以正弦函数或虚指函数为基本信号,任意信号可以表示成 系列不同频率的正弦信号或虚指函数信号之和。连续信号与 系统的频域分析就是将时间变量变换为频率变量的分析方法,这种方法以傅里叶(Fourier)变换理论为工具,将时间域映射 到频率域,揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与频 率特性之间的密切关系。3.1 周期信号分解为傅里叶级数个连续时间信号若每隔一定的时间T按相同的变换规律重 复变化,此信号称为周期信号。41T之|/（）|%V83.1.1 三角型傅里叶级数由高等数学知识,以为周期的周期信号。,若满足下 列狄里赫利(Dirichlet)条件:1.在个周期内满足绝对可积,即2,在个周期内只有有限个极大值和极小值;3.在个周期内只有有限个不连续点。则可展开为如下三 角型傅里叶级数f(t)=+(an cos+bn sin。)(3-1-2)n=l式中,也称基本角频率,系数固,品,或称为三角型傅里叶级 数的系数,它们分别为42。=。）(3.1-3a)an2TJcos1出(3.1-3b)bn2 rT/(Osin na)Qtdt=1,2,(3.1-3c)43利用信号波形的对称性,可以方便地求取傅里叶级数的系数。为偶函数于。）=于（T）,则只含有常数项和余弦项;而=0。2.）为奇函数/（0=/（则只含正弦项;而0=，an=0o3.）为偶谐函数工）=/）,偶半波对称,贝只含有偶次谐波。4.m）为奇谐函数za）=-/（o,奇半波对称,则只含有奇次谐波。44若将式(3.1-2)中同频率项合并,即an cosnco+bn sin=An cos(Q+裔)三角型傅里叶级数可写成工程上更为实用的形式:7(0=A)+汇。5(。1+0)n=3.1.2指数型傅里叶级数三角函数与虚指数函数有着密切的关系,根据欧拉(Eular)公式,有sin 例/=丄。+e-jn(ot),cosna)0t=1(ejn(ot+小”故三角型傅里叶级数和指数型傅里叶级数实质上是同一级数的 两种不同的表现形式。45于是,可将原傅里叶级数写成紧凑的形式于（=N W=(3.1-10)46这就是指数型傅里叶级数。将式(3.1-3)中的a0和代入式(3.l-9a)即可求得指数型傅里叶级数的系数 T万Fn=-(3.1-11)/T一般情况下,心是关于变量経的复函数,故又称为指数型 傅里叶级数的复系数.当)是实周期信号时,其傅里叶复系数弓的模和实部是o 偶函数;七的相角和虚部是的奇函数。指数型傅里叶级数中出现负频率分量,这只是一种数学表 达形式,没有太多的物理意义。实际上,正负频率分量总 是共編成对地出现。对共辗的正负频率分量之和构成一 个实际的谐波分量.473.2 信号在正交函数空间的分解傅里叶级数表明,满足狄里赫利条件的任意周期信号可以 用一系列正、余弦函数或虚指数函数的线性组合来表示。本节试图探讨是否还可以用其他函数的线性组合来表示一 个任意函数。把信号分解为某种基本信号的叠加是分析信号和系统的基 本思想。信号分解为正交函数的原理与矢量分解为正交矢 量的概念相似。本节首先回顾矢量的正交分解,然后引入 函数正交的概念,最后讨论任意信号分解为正交信号之和。3.2.I 矢量的正交与分解3.2.2 正交函数矢量正交的概念可以推广到函数或信号。483.2.3 用正交函数表示信号由个正交矢量构成一个n维矢量空间,该矢量空间中的任意矢 量均可按式(3.2-4)进行分解。这同样可以推广到函数空间。对于某给定信号,可以选择各种可能的完备正交函数集来表示。但三角函数集和虚指数函数集是最重要、最方便的,这是因为 它们具有一些显著的优点。(1)三角函数和指数函数是自然界中最常见、最基本的函 数。(2)三角函数和虚指数函数是简谐函数,用它们表示信号,就自然建立了时间和频率这两个基本物理量之间的联系。很多 系统(例如滤波器、信息传输信道等)的特性主要是由频域特 性来描述的。49（3）简谐信号容易产生、传输和处理。（4）三角函数（或指数函数）信号通过线性时不变系统后,仍为三角函数（或指数函数）信号,其重复频率不变,只是 幅度和相位发生变化,给计算带来方便。（5）三角函数和指数函数的加、减、乘、微分和积分运算 后仍然是三角函数和指数函数。（6）以后我们会看到,时域屮的卷积运算在频域中会转变 为乘积运算,从而找到了计算积分的种新的简便方法。503.3 周期信号的频谱式(3.1-4)和式(3.1-10)说明,周期信号可分解为各 次谐波频率分量的叠加,而傅里叶系数A或反映了不 同谐波分量的幅度,以或反映了不同谐波分量的相位。将它们沿频率“(或)轴分布的图形画出来,就称 为周期信号的频谱(Spectrum)图。这种图形清晰地表征了周期信号的频域特性,从频域角度 反映了该信号携带的全部信息。3.3.1周期信号的单边频谱和双边频谱周期信号的三角型傅里叶级数中,分量的形式&cos(g/)20,为整数,故把随。变化的图形。称为单 边幅度频谱,把拠 随变化的图形称为单边相位频 谱,两图合在一起称为的单边频谱。51类此,周期信号的指数型傅里叶级数中,把随砒变化的图形/称为双边幅度频谱,把en随变化的图形0n。称为双边相位频谱。两 图合在起称为的双边频谱。画频谱图时必须注意下面几点:与,但当工。时,叫二寸;(2)三角型傅里叶级数必须统用余弦函数来表示;(3)由于表示振幅,故0；(4)当/是实信号时,双边幅度频谱I是的 偶函数,双边相位频谱On0的奇函数;(5)为了使图形清晰,采用竖线代替点的办法来表示相应 幅度或相位的数值,称为谱线,谱线只在基波的整倍数处出 现。52一般情况下,乙是关于4的复函数。但当成是实偶函数,也为实偶函数;而/为实奇函数时为虚奇函数。故若将 一般的实信号分解为偶分量和奇分量之和,由式(2.3-6)和式(3.1-12),有)=()+尸小+疋若/。)的频谱是,则/的偶分期。)的频谱是Fn的实部,即;而/。)的奇分量/。的频谱是的虚部乘以 j,即j小信号的频谱图和信号的波形图同样都形象地描述了信号的 全部特性,前者是信号的频域描述法,而后者是信号的时 域描述法。53周期信号的频谱有如下特点:(1)离散性:谱线沿频率呈离散分布,这种频谱称为离散 频谱;(2)谐波性：各谱线间呈等距分布,相邻谱线间的距离正 好等于基波频率,不可能包含不是基波整数倍的其它频率 分量;(3)收敛性:(或)一般随tis 总是趋于零。543.3.2周期信号的功率谱周期信号属于功率信号。为了方便,研究周期信号/(0在1Q电阻上消耗的平均功率,称为归化平均功率,如果，是实信号,无论它表示电压还是电流,其平均功率为P=:lf2(Gdt(3.3-2)式屮,为周期信号的周期。2尸=+2/凡|2=4+寸 3-6)n=l n=l 厶式(3.3-6)称为帕什瓦尔(Parseval)定理。也称功率等 式。该式表明周期信号的平均功率不仅可以在时域中求取,还可以在频域中确定。55从式(3.3-6b)右边两项分别就是周期信号的直流分量和各次 谐波分量在1Q电阻上消耗的平均功率,因此,它表明了周 期信号在时域中的平均功率等于频域中的直流分量和各次谐 波分量的平均功率之和。把各平均功率分量即I随。变化的图形I/G。称为周期信号的功率频谱,简称 功率谱(Power spectrum)。显然,周期信号的功率谱也是 离散频谱。可见,功率谱是相应的双边幅度频谱的平方,而 与相应的相位谱无关。从周期信号的功率谱中可以看出各平 均功率分量的分布情况,另外还可以确定在周期信号的有效 频带宽度内谐波分量所具有的平均功率占整个周期信号的平 均功率之比。563.4 非周期信号的频谱前面几节讨论了周期信号的频谱,在自然界里除了周期信 号外,还广泛存在着非周期信号。这些非周期信号能否分解 为指数型级数,应该如何分解。这些就是本节要讨论的问题。3.4.1 从傅里叶级数到傅里叶变换对于周期信号可以表示成指数型傅里叶级数,即写成fr(0=gF一H=8T万=1%e-jd/T(3.4-2)(3.4-3)257由上节对周期矩形脉冲信号的讨论已经知道,当变大时,171基本角频率=变小,相应的离散谱线变密,此时各 频率分量的幅度也变小,频谱包络线的形状不变。当T趋于无 限大时,尽管频谱包络线的形状不变,但谱线都趋于无穷小。如果此时仍然讨论展开为傅里叶级数问题已经没有实际意义。为了描述非周期信号的频谱特性,考虑到T非常大时,就变 得非常小,可用来表示。式(343)可改写成*2TFn=/1。)?)0t dt(3.44)58当 一 时,A69 0,用d69 来表水;、用 来表示;离散变量变成连续变量;同时将求和改 为积分;则非周期信号可表示为)=(o)。(3.4-7)这样,可以把非周期信号表示为无穷期指数信号的积分,称为傅里叶积分,简称为傅氏积分。同时根据式(3.4-4)、(3.4-5)有广(0)=lim TFn=f fe-j(otdtoo59尸(0)=J(3.4-8)一今后为了书写的简便,常将(G)写成()式(347)和式(3.4-8)称为傅里叶变换对,其屮式(3.4-8)称 为傅里叶正变换,简称傅氏变换。而式(3.4-7)称为傅里叶反变换,简称傅氏反变换。并采用下列记号:尸()=F(/e(0)(3.4-9)与的对应关系还可简化为加)一外。)(3.4-10)603.4.2 频谱函数的物理意义及其自身特性周期信号的指数型傅里叶级数于t=。n=一表明:周期信号可以分解为无限多个频率为4、复振幅 为Fn的指数分量。的离散和;而非周期信号/。)的傅里叶积分则表明非周期信号可以分解为无限多个频率为、振幅为F(0)的指数分量F()d的连续和(积分)。这样,周期 27r信号的分解就推广到非周期信号。61从上式可以看出,尸（）是单位频带的复振幅。具有密度 的概念,因此称为频谱密度函数（Spectrum density function）,简称为频谱函数或频谱密度,在与周期信号频 谱不发生混淆的情况下也简称为频谱。由3.3节可知,信 号在时域中是连续、周期的,其频谱在频域中是离散、非周期的;从本节傅里叶变换定义可知,信号在时域中 是连续、非周期的,其频谱在频域中也是连续、非周期 的。以后我们将会知道,信号在时域中是离散、非周期 的,其频谱在频域中是连续、周期的;信号在时域中是 离散、周期的,其频谱在频域中也是离散、周期的。一般是的复函数,可以写作尸3）=尸3）伙）(3.4-13)62式中I尸（）I是（）的模,它代表信号中各频率分量幅度的相对大小;夕（）是（）的幅角,它表示信号 中各频率分量之间的相位关系。习惯上把I尸（）和（）的曲线也分别称为幅度频谱和相位频谱。非周期信号的频谱密度与相对应的周期信号的傅里叶复系 数之间的关系是（）=fimT一 n 几0=0Fr-TI co=no）Q应用上述关系可以较方便地从周期信号的求取相应的非周 期信号的,或者相反。在形状上与相应的周期信号的频谱 包络线相同。633.4.3 傅里叶变换的存在性非周期信号/Q）是否存在傅里叶变换（）仍应满足类似于 傅里叶级数的狄里赫利条件,不同之处仅仅在于一个周期的 范围,即要求信号在无限区间内绝对可积。利用式（3.4-8）,有丄心V 8 421）上式表明,若f 满足无限区间内绝对可积,则F（）必然有界。但这仅是充分条件而不是必要条件。这意味着满 足绝对可积条件的能量信号其（）必然存在。但是,如果 在频域内引入广义函数后,对于并不满足绝对可积条件的功 率信号,甚至某些非功率非能量信号,其（）也存在,且有确定的表达式。这给信号的频域分析与系统的频域分析 带来很大的方便。643.5 些常见信号的频域分析常见信号是组成复杂信号的基础,如果再与下节讨论的傅 里叶变换性质结合起来,几乎可以分析工程中遇到的所有信号的频谱。本节讨论的信 号中,有的不满足绝对可积的条件,引入广义函数的概念以 后,使许多不满足绝对可积条件的功率信号和某些非功率、非能量信号也存在傅里叶变换,而且具有非常清楚的物理意 义,这样就可以把周期信号和非周期信号的分析方法统一起 来,使傅里叶变换应用更为广泛。1.矩形脉冲A 尸 3)=AtCOTArSa()22CD2 2T652.三角形脉冲尸)AtIn InCO/（）二成?（竺）2663.单边实指数脉冲4.双边实指数脉冲5.符号函数 0,f 1 Sgn(t)=-1 t 0 Jo J-oor r 1 1=Imi-；-；a-。a+co a-jcot2 jco 2二hm 0 0+co jCD676.单位冲激函数单位冲激函数是实偶函数,其傅里叶变换也应是实偶函数,有（一广GO.33SdtJejcot=1(3.5-14)即单位冲激函数频谱是常数1,其时域、频域图形如图所示。也就是说,在时域中变化异常剧烈的冲激信号包含幅度相等的 所有频率分量,即其频谱密度在整个频率范围内是均匀分布的。这样的频谱常称为均匀谱”或“白色频谱”。t F（3）0 687.直流信号1 1 根据傅里叶反变换定义,有。）=*”。考虑到冲激函数是偶函数,可得如下重要公式j ejxydx=2W(y)得直流信号1的傅氏变换F9)=j e-j(Dtdt=2万(。)8.虚指数信号G2（一）69由此,可以得到周期信号的傅里叶变换公式:周期信号的傅里叶级数00 7.。n=x)丄两边取傅里叶变换,得周期信号的频谱为f(0F()=2Z(。)n-9.单位阶跃信号1)兀3(m+j3703.6傅里叶变换的性质及其应用傅里叶变换建立了信号时域和频域的对应关系。也就 是说任一信号可以有时域和频域两种描述方法。信号在个 域中所具有的特性,必然在另一个域中有其相对应的特性出 现。为了进步了解时域和频域之间的内在联系,当在某 个域中分析发生困难时,利用傅里叶变换的性质可以转换到 另个域中进行分析计算;另外,根据定义来求取傅里叶正、反变换时,不可避免地会遇到繁杂的积分或不满足绝对可积 而可能出现广义函数的麻烦。下面将系统地讨论傅里叶变换 的性质及其应用,从而用简捷的方法求取傅里叶正、反变换。1.线性2.对称性:若（）则 2（）3.尺度变换苟尸（）,则“画）35（丝）为实常数a a71尺度变换特性也称比例性。4.时移性若/（）,贝始“。）一（“5.频移性若“（）,贝妙e加。一厂（。）由频移特性,由公式1 0 2（）可得1.,cosco0t=e