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正四面体的性质及其应用
正四面体是四个面都是等边三角形的凸多面体，它是一个很规则的几何体，因此具有一些特有的性质，设正四面体的棱长为a，则
（1） 全面积S全= a2；
（2） 高h= a；
C
A
B
D
（3） 体积V= a3；
（4） 对棱中点的连线是对棱的公垂线，其长为d= a；
（5） 相邻两面所成的二面角α=arccos；
（6） 棱与其相交的面所成的角 β=arctan；
（7） 正四面体的内切球和外接球的球心重合，内切球半径 r＝a，外接球半径R＝a，r︰R=1︰3；
（8） 正四面体内任一点到四个面的距离之和为定值（等于正四面体的高）。
将正四面体置于正方体中，结合正方体的性质以上诸性质容易得到证明。考查正四面体的性质多出选择或填空题，熟记以上八条性质对快速求解相关问题有很大帮助，例如：
C
B
O
A
例1：已知半径为1的球面上有A、B、C三个点，且它们之间的球面距离都为，则球心O到平面ABC的距离为（ ）
A B C D
解析：如右图所示，OA=OB=OC=1
又，球的半径r=1
∴∠AOB=∠BOC=∠COA=，则AB=BC=CA=1
所以O-ABC为棱长为1的正四面体，则由正四面体的性质得球心O到平面ABC的距离即其高为，答案B。
例2：（05年湖南省十所示范校联考）已知棱长为a的正四面体ABCD有内切球O，经过该棱锥A-BCD的中截面为M，则O到平面M的距离为（ ）
A B a C a D a
解析：直接运用正四面体的性质，内切球的半径r=a，中截面到底面的距离为高的一半a，则O到平面M的距离为a－a=a，因此选C。
例3：（06年陕西卷）将半径为R的四个球两两相切地放在桌面上，则上面一个球的球心到桌面的距离为 。
D
C
A
B
解析：注意分析四个球的球心的位置关系设四个球心分别为
A、B、C、D，因为四个球两两相切，则ABCD是棱长为
2R的正四面体，A到面BCD的距离为R，则上面一个球的球心A到桌面的距离为R+R=（1+）R。
D
C
A
E
B
例4：（06年山东卷）如图1，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60○，E为AC的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P-DCE的外接球的体积为（ ）
A π B π C π D π
解析：三棱锥P-DCE实质上是棱长为1的正四面体，
则其外接球的体积为
V= πR3= π()3= π。
B

A
M
例5：（06年湖南卷）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一球面上，若过该球球心的一个截面如图1，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是（ ）
A B C D
解析：由截面图形可知，正四面体恰好有两个顶点在球面上，
且截面圆经过其外接球的球心（正四面体的中心），由
正四面体的对称性可知M为AB对棱CD的中点，M
到AB的距离即为正四面体对棱公垂线的长a，所以
S△ABC= ×2××2＝。
例6：(07年安徽卷)半径为1的球面上的四点A、B、C、D是正四面体的顶点，则A与B两点间的球面距离为（ ）
A B C D
解析：由题意可知，此球O为正四面体的外接球，且外接球的半径为1，则正四面体的棱长为，根据余弦定理得cos∠AOB==－,所以∠AOB=arccos(－)，因此A与B两点间的球面距离为l=αR= arccos(－)×1= arccos(－)。
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