考虑有界场的几何不确定性非概率可靠性拓扑优化.pdf

a bounded field model.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2023,55(9):2056-2067Zhan Junjie,Peng Xiulin,Bai Zhonghang.Non-probability reliability-based toptimizationagainst geometric uncertainty with01引用格式：战俊杰，彭秀林，白仲航。考虑有界场的儿何不确定性非概率可靠性拓55(9):2056-2067生物、工程及交叉力学Sep.,20232023年9 月Chinese Journal ofTheoretical andAppliedMechanicsVol.55,No.9第5 5 卷第9 期力报学学考虑有界场的几何不可靠性拓扑优化战俊杰*彭秀林*白仲航*,+,2)*（河北省健康人居环境重点实验室，天津3 0 0 1 3 2)(河北工业大学国家技术创新方法与实施工具工程技术研究中心，天津3 0 0 40 1)摘要在结构的加工制造过程中，由于加工误差等原因不可避免会在结构上产生一定的几何缺陷，比如结构长度误差及厚度分布不均等问题.这些几何不确定性会使结构产生一定的性能波动，影响结构的安全性.文章研究的是考虑厚度分布不均的几何不确定性，因此属于“场不确定性”问题.考虑实际工程中样本数量有限，无法准确地获得不确定性概率分布信息，随机场概率可靠性理论不再适用.文章基于非概率有界场模型提出了一种考虑结构几何不确定性的非概率可靠性拓扑优化模型.在模型中几何不确定性通过不确定值场函数来表征，而不确定阈值场则通过一个非概率有界场模型来描述.该非概率可靠性优化模型为嵌套优化问题，内层是进行结构的非概率可靠性评估，外层是采用基于材料场级数展开（material-field series-expansion）的拓扑优化方法来确定结构的最优布局.优化模型的灵敏度信息是通过伴随法灵敏度分析求得，并采用了基于移动渐近线法（themethodofmovingasymptotes)的梯度优化算法来进行该优化问题的求解.通过数值算例验证了所提出的基于有界场模型的几何不确定性非概率可靠性优化模型的有效性.关键词几何不确定性，不确定阈值场，有界场模型，梯度优化算法，非概率可靠性拓扑优化中图分类号：0 3 43文献标识码：Adoi:10.6052/0459-1879-23-207NON-PROBABILITYRELIABILITY-BASEDTOPOLOGYOPTIMIZATIONAGAINSTGEOMETRICUNCERTAINTY WITHABOUNDEDFIELD MODEL!)Zhan Junjie*Peng Xiulin*Bai Zhonghang*,2)(Key Laboratory of Healthy Human Settlements in Hebei Province,Tianjin 300132,China)(NationalEngineering Research Centerfor Techoogical Inovation Method and Too,Hebei UnversyofTechoo,Tianjin3004China)AbstractIn the process of structural processing and manufacturing,most products inevitably exhibit certain degree ofgeometric uncertainties due to processing errors and other reasons,including the structural length error and uneventhickness distribution.These geometric uncertainties will cause certain performance fluctuations in the structure,leadingto structural failure and posing certain safety hazards.In this paper,the geometric uncertainty of uneven thicknessdistribution is considered.Because the thickness distribution of the structure changes with space,it belongs to the fielduncertainty problem.Considering the limited number of samples in the practical engineering,it is impossible to obtainthe information of uncertainty probability distribution accurately,and the traditional random field method based on theprobability theory is no longer applicable.Therefore,this paper proposes a non-probabilistic reliability-based topology2023-05-29收稿，2 0 2 3-0 8-2 1 录用，2 0 2 3-0 8-2 2 网络版发表，1)国家自然科学基金资助项目（1 2 2 0 2 1 3 1,5 2 2 42 5 0 8).2)通讯作者：白仲航，教授，主要研究方向为创新设计、功能结构优化设计.E-mail:2057战俊杰等：考虑有界场的厂何不确定性非概率可靠性拓扑优化第9 期optimization model considering the geometric uncertainty of the structure with spatial distribution characteristics basedon the non-probabilistic bounded field model.In the non-probabilistic reliability-based topology optimization model,thegeometric uncertainty is represented by an uncertain threshold field function,and the uncertain threshold field isdescribed by a non-probabilistic bounded field model.The reliability-based topology optimization model is a nestedoptimization problem,in which the inner-loop optimization problem is used to conduct the non-probability reliabilityassessment of the structure,and the outer-loop optimization problem is expressed as determining the optimum topologylayout of the structure based on the series expansion of material fields topology optimization method.The sensitivityinformation of the optimization model is obtained by the adjoint sensitivity analysis,and the gradient-based optimizationalgorithm based on method of moving asymptotes is used to solve the optimization problem.The differential sensitivityanalysis method is used to verify the correctness of the analytical sensitivity analysis in this paper.Numerical examplesare also presented to illustrate the effectiveness of the proposed non-probabilistic reliability-based topology optimizationagainst geometric uncertainty with the bounded field model.Key wordsgeometric uncertainty,uncertain threshold field,bounded field model,gradient optimization algorithm,non-probabilistic reliability-based topology optimization引言拓扑优化作为一种有效的自动化设计工具，已广泛应用于各种结构的设计问题.常用的拓扑优化方法主要包括SIMP(solid isotropic materialwithpenalization)法 1-2 、ESO(evolutionary structuraloptimization)法 3 、水平集法 4-5 、智能拓扑优化方法 6-7 等.此外,Guo等 8-1 2 提出了一种基于移动可变形组件/孔洞的拓扑方法，以可移动可变形组件为基本元件进行结构拓扑优化设计.近期,Luo等 1 3-1 6 提出了一种基于材料场级数展开（material-fieldseries-expansion,MFSE）的拓扑优化方法，该方法能够有效避免结构中的棋盘格现象及网格依赖性问题，并且能够大幅减少设计变量个数，提高计算效率.在结构的加工制造及使用过程中，不可避免会存在各种不确定性，比如加工误差导致的几何不确定性，工作时的载荷不确定性等.这些不确定性会使结构产生性能波动和关键指标降低，严重影响结构的安全性.现有处理不确定性的方法主要是基于概率框架进行的.随着概率可靠性优化方法的发展，一些实用的求解策略如功能度量法 1 7-1 8 ,序列优化方法 1 9 及概率神经网络 2 0 等都极大地促进了概率可靠性方法在实际工程中的应用.此外，实际工程中的许多不确定性，如分布荷载、几何尺寸、材料属性等，其在空间不同位置上的实现是随空间位置的变化而变化的，这属于“不确定场”问题.目前，常用来描述不确定场的模型为随机场模型 2 1-2 3 .将制造误差引起的几何缺陷描述为随机阈值场模型,Kang等 2 2 提出了一种考虑几何空间不确定性的概率可靠性拓扑优化方法.通过将非侵入式PCE(thepolynomialchaosexpansion)方法与设计灵敏度分析相结合，Keshavarzzadeh等 2 3 提出了一种随机场几何不确定性下的可靠性拓扑优化的系统方法.针对工程实际中广泛存在的未知但有界不确定性，由于缺少大量样本数据信息，难以获得不确定性准确地概率分布特征，因此概率不确定性理论不再适用.作为概率可靠性理论的有效补充，研究人员提出了许多描述参数不确定性的非概率模型，比如模糊模型 2 42 5 、证据理论 2 6-2 7 、区间模型及凸模型 2 8-3 4等.Sofi等 3 0 通过结合区间运算和安全系数方法，将非概率可靠性指标描述为一个区间变量.Pantelides等 3 3 提出了一种反优化技术进行考虑载荷不确定性的非概率可靠性的优化设计.将结构边界长度变化描述为凸模型,Luo等 3 4 完成了考虑结构几何不确定性的非概率可靠性优化设计，优化后的结构具有更高的可靠性.至于少样本的场不确定性问题，由于样本数量有限，因此随机场模型也不再适用.通过引入EUI(external unit interval)变量,Muscolino 等 3 5-3 6 提出了一种区间场方法来量化未知但有界的不确定场.基于空间相关性的数学定义和非概率级数展开方法,Luo 等 3 7 提出了一种处理有限样本下不确定场问题的有界场模型.基于有界场模型,Zhan等 3 8 提出了一种非概率可靠性指标进行结构场不确定性下2058力2023年第5 5 卷报学学的非概率可靠性评估，并进一步完成了不确定载荷场作用下的结构非概率可靠性优化设计研究 3 9 ,文献调研显示，尽管基于参数的非概率可靠性优化方法已应用于结构几何不确定性分析，但针对工程实际中考虑少样本及空间变化特性的几何不确定性，仍缺乏合理的可靠性优化模型.因此，本文将采用阈值技术 40 进行具有空间变化特性的几何不确定性表征，并将Heaviside过滤函数中的阈值n假定为有界不确定阈值场，建立非概率有界场模型，进而完成考虑结构几何不确定性的非概率可靠性拓扑优化设计。本文的具体安排如下：首先进行不确定场的非概率描述，即将不确定场描述为非概率有界场模型；第2 节进行结构几何不确定性的描述，即通过不确定阈值场来表示，进而描述为有界场模型；第3 节为建立结构的非概率可靠性优化模型；在第4节推导了模型的灵敏度信息，并采用移动渐近线法(methodofmovingasymptotes)41求解优化问题；最后通过2个数值算例验证了模型的有效性.1不确定场的非概率描述在本文中，结构的几何不确定性将通过非概率有界场模型 3 7 来描述.假定设计域2 dom内存在一个有界不确定场 Z(x)zlow,zup,x E 2dom,其中zlow和Zupp分别表示不确定场波动的上下界限.将不确定场Z(x)离散为N个观察点，同时将设计域2 dom离散为N个单元.在设计域内，不确定场Z(x)的观察点与单元的中心一一对应.对不确定场Z(x)进行标准化，得zlow+ZuppZupp-zlowZ(x)=+Zo(x)(1)22其中Zo(x)为标准化的不确定场,且满足-1 Zo(x)1.考虑到在实际工程中结构的不确定边界是连续变化的，因此假定有界不确定场Z(x)的空间波动具有一定相关性.在本文中，设计域2 dom内任意两个观察点xa和xb对应的不确定场的相关性通过相关函数R(xa,xb)来描述,R(xa,xb)的表达式为Ixa-xbll2)R(xa,xb)=exp(2)L2其中，符号III表示2 范数.L是不确定场Z(x)的相关长度，它用来控制不确定场的空间波动程度.当相关长度L较小时，不确定场的空间波动较为剧烈，L=0表示所有观察点处的变量都是不相关的；当相关长度L较大时，波动较为平缓，L+表示不确定场完全相关,即所有观察点处的不确定场值Z(xi)均相等.设计域内各观察点之间的相关性构成了相关矩阵R,因此R表示为R(x1,x1)R(x1,x2)R(x1,xN)R(x2,x1)R(x2,x2)R(x2,xn)R=(3)R(xN,x1)R(xN,X2)R(xN,XN)NXN基于非概率级数扩展，标准化的不确定场Zo(x)可表示为N1Zo(s,x)=TRD(x)(4)j=1其中，；和i为相关矩阵R的特征值和特征向量，它们之间满足Rj=jj(j=1,2,M).向量RD(x)=R(x,x1),R(x,x2),R(x,xn).;为非概率不确定系数,向量=5 1,5 2,.,5 .在式(4)中，特征值入;为降序排列,特征值越小的项对不确定场的贡献值越小.因此，为提高模型的计算效率，可对式(4)进行截断，仅保留前M项，即通过M个不确定系数（5;(j=1,2,M)）来描述不确定场.截断公式可表示为MN(5)j=1j=1其中，是一个很小的值.在本文中，=1.010-6.对式(4)进行截断后并代入式(1)中，可得到不确定场的表达式为Zlow+ZuppZupp-ZlowZ(,x)=22M21RDT(x)(6)j=1已知标准化的不确定场Zo(x)的变化范围为Zo(x)e-1,1,得M1-1TRD(xi)1(i=1,2,.,M)(7)j=1对式（7)两边平方，并写成向量的形式，可以得到式(8)引 入 W;=A-1/2TRD(xi)RD(x;)TA-1/2特征向量9 jM个5=51,52,.,5M,表示矩阵，它包含在式(8)中4-1/2=diag2059战俊杰等：考虑有界场的几何不确定性非概率可靠性拓扑优化第9 期TA-1/2TRD(xi)RD(x;)TA-1/2 1)(8)(i=1,2,.,M)可进一步表示为e Z=(TWit 1(i=1,.,M)(9)2几何不确定性的描述在现有的拓扑优化设计中，Heaviside过滤技术已得到了广泛的应用.与敏度法和密度法过滤相比，优化的结构经Heaviside过滤可获得清晰的结构边界.本文用到的Heaviside过滤函数定义为-o(1-pe/n)e-0(0pen)npl=(1-n)1-e-1-pel(1-n)+(10)(ee-n)e0/1-n)+n(npe 1)其中，pe为结构中第e个单元的相对密度，为pe经Heaviside过滤后的相对密度值；nE0,1为该函数的阈值，8 为光滑参数.光滑参数8=2 0 时，不同阈值n对应的Heaviside近似函数如图1 所示.几何结构的不确定性可通过阈值技术 40 来表征，即对结构设计域中的每个单元选择不同的阈值n进行Heaviside过滤.在本文研究中，将式（1 0)中的阈值n描述为一个有界不确定阈值场n(n)en0ov,nupP,xEQdom，其中nlow和nupp分别表示不确定阈值场波动的上下界限，取值均在0 1 之间.基于第1节中的不确定场非概率描述(式(6),可得到不确定阈值场n(x)的表达式为1.0=00.81=0.31=0.4=0.50.67=0.7n=1.00.40.2000.20.40.60.81.0Pe图1 光滑系数=2 0 时，不同阈值n下Heaviside函数Fig.1 The Heaviside function under different thresholds n whensmoothing parameter=20lowM1OV22j=1(11)其中,不确定系数;的变化范围如式(9)所示.为了进一步说明不确定阈值场n(x)对结构不确定性的影响，图2 以MBB梁为例分别给出了不确定阈值场n(x)和确定阈值n(x)=0.5对结构边界的影响.从图2 中可以看出，与阈值为恒定值（n(x)=0.5）相比，当阈值描述为不确定场时，结构的边界会存在一定的扰动(认为是几何不确定性).50mm150mm(a)MBB 梁结构(a)MBB beam structure(b)结构优化后密度分布(c)阈值 n(x)=0.5 时结构(b)Optimized material density拓扑构型distribution(c)Topological structure forn(x)=0.50.8500.15020406080100120140(d)不确定阈值场n(x)(左)下的拓扑构型(右)(d)Topological configuration(right)under the uncertainthreshold field(left)图2 阈值为定值（n(x)=0.5）及不确定阈值场n(x)下的MBB梁拓扑构型Fig.2 Topological structure of MBB beam considering the constantthreshold n(x)=0.5 and uncertain threshold field3考虑几何不确定的结构非概率可靠性拓扑优化模型3.1考虑不确定阈值场的结构非概率可靠性指标正如第2 节描述的那样，不确定阈值场n(x）会对结构的边界产生影响，进而影响结构的性能.因此，结构性能可表示为不确定阈值场n(x)的函数.在本文中,结构的性能函数可表示为C(n)C*,其中C为结构的柔顺性，C*为给定的柔顺性约束.令g(n)=C*-C(n),则g(n)称为极限状态函数.由式(6)可知,不确定阈值场n(x)是关于不确定2060力2023年第5 5 卷报学学系数的函数.因此，在不确定系数专的空间中，极限状态函数g(n)可进一步表示为 G(s)=g(n(,x).依据有界不确定场的非概率可靠性指标的定义 3 9 ,极限状态函数G(s)可将不确定系数空间划分为可靠区和失效区，如图3 所示（为便于表示，示意图中只考虑了2 个不确定性系数1 和2）.因此，考虑几何不确定性的结构非概率可靠性指标定义为*=jud(G(O)min，s.t.G()0(12)TWi52(i=1,2,M)即表示在可靠区域内所允许的最大不确定性.其中，式(1 1)的最优解*为非概率可靠性指标.jud(G(0)用来判断可靠性指标*的正负，具体的表达式为 1,point O in the reliable regionjud(G(O)=(13)-1,point O in the failure region3.2基于MFSE模型的拓扑优化方法为避免传统密度法拓扑优化中的棋盘格现象及网格依赖性问题，本文将采用基于MFSE的拓扑优化方法 1 3 .在本方法中,结构拓扑通过一个具有一定空间相关性的有界材料场函数(y)-1,1,yE2dom来描述.经材料场级数展开，并进行截断保留前Me（M N）项,则场函数(y）可表示为Me1p(y,x):XkTTD(),yEQdom(14)二VKkk=1其中，kk和为相关矩阵的特征值和特征向量.相关矩阵r的表达式为failure regionreliableregionG(5)0G)=0limit-statecurveAEWE10STWS2图3 有界场模型非概率可靠性指标示意图Fig.3 Schematic diagram of non-probabilistic reliability index for theboundedfieldmodelR(y1,y1)R(y1,y2)R(y1,yN)R(y2,y1)R(y2,y2)R(y2,yN)=(15).R(yN,y1)R(yN,y2)R(yN,yN)NXN在式（1 3）中，Xk为不确定系数,D(y)=R(y,y1),R(y,y2),R(y,yn).在基于MFSE的拓扑优化方法中，xk为设计变量.类似于前面不确定场的处理方式，依据有界不确定场函数(y)E-1,1的界限并引入符号Hm=k-1/2TD(ym)D(ym)Tk-1/2，则式(1 3)可转化为如下形式x II(T Hmx 1(m=,.,M)(16)其中，x=1,x2xMe,里为包含M。个特征向量的矩阵,k-1/2=diagKM在本方法中，假定结构的单元中心与不确定场函数(y)的观察点ym一一对应.单元的插值函数可表示为E(ym)=Emin+pH(ym)(Eo-Emin)(ym EQdom)(17)其中，Eo为实体结构的弹性模量，Emin=10-Eo，惩罚系数q=3.pH(ym)为p(ym）经Heaviside过滤后的值(式(1 0),p(ym)=1+9m).因此，在本文中，2pH(ym)是关于阈值场n(x)的函数,可表示为pH(n,ym).依据式（1 1)知，pH(ym)也是关于不确定系数的函数，pH(ym)也可进一步表示为pH(5,ym）.基于MFSE的结构柔顺性拓扑优化问题可表示为minC()=FTu()s.t.K(x)u()=F(18)m=1xTHmx1(m=1,2,.,N)其中,设计变量为不确定系数向量=1,X2,XMeF为载荷向量，u和K分别表示位移向量和结构总刚度阵.Vm表示第m个单元的体积，V*为结构完全有材料时的体积，为给定的结构体积分数约束.3.3结构非概率可靠性优化模型在本文中，结合MFSE优化模型(式(1 7)及考虑不确定场的可靠性指标(式(1 1),考虑结构几何不确定性的非概率可靠性拓扑优化问题可表示为：dF(21)中的dn(xi)=0.将式(2 1)代入式(2 0),得dF第9 期2061战俊杰等：考虑有界场的几何不确定性非概率可靠性拓扑优化在结构体积一定的情况下使结构的可靠性指标最大化，进而来提高结构的可靠性，优化列式如下所示max*G(x,5*)XS.t.K()u()=FN20Cm)Vmfvm=1xTHmx1(m=1,2,.,N)where(19)*(G()=jud(G(O)min S.t.G()0N2()m=fVm=1TWi专?(i=1,2,.,M)需要注意的是,在式（1 8)的外层优化中，很难准确地获得可靠性指标*对设计变量的灵敏度信息.因此,可采用关心性能法 3 4,3 9 对式(1 8)进行等效变换.基于关心性能法(详见文献 3 4,3 9 ),式(1 8)的非概率可靠性拓扑优化问题可以转化为maxG(x,5*)XS.t.K(x)u()=FNZpCm)VmfVm=1xTHmx1(m=1,2,.,M)(20)whereg=minG(,s)NZp()Vm=fvS.t.m=1TWit,s)是结构柔顺性的函数,表示为G(,s)=C*-C(x,).由于C*为一给定常数，因此式（1 9)中外层优化的目标函数maxG(,5*)可等效表示为minC(x,s*);内层优化等效为maxC(x,s).为给定的非概率可靠性指标下限值.本文采用移动渐近线方法(MMA)41求解该非概率可靠性优化问题.优化模型的收敛准则定义为变量（内层为变量，外层为变量x）在相邻两步迭代中的最大变化值小于0.0 1.4灵敏度分析4.1极限状态函数对不确定系数的灵敏度分析本文考虑几何不确定性的非概率可靠性优化问题是基于梯度算法求解的，因此灵敏度分析是必不可少的过程.该优化模型(式(1 9)为嵌套优化，首先求解内层优化的灵敏度信息，即极限状态函数G(x,)对不确定系数;的灵敏度分析.具体求解过程如下所示8G(x,)(aG(x,5)dudn(x)(21)oudn(xi)d5j平衡方程Ku=F两边对不确定阈值场n(xi）求导，并等式变换，得dudFdKK-(22)udn(xi)dn(xi)dn(x;)在本文中，不确定场为阈值场，其变化影响结构几何尺寸变换，与结构所受载荷F无关.因此，式NG(,5)TaG(%,5)dKdn(xi)(23)udn(xi)di1aG(x,5)通过引入伴随向量（K=)，并在单元ou层级上表示，式(2 2)可表示为NaG(,)dKidn(xi)Tui(24)dn(xi)di=1dK;其中，单元刚度阵对阈值的灵敏度可通过dn(xi)Heaviside 函数(式(1)求得.4.2关心性能值对设计变量的灵敏度分析优化模型中外层优化主要涉及的灵敏度为关心性能值对设计变量x的灵敏度分析，为实现优化模型的解耦，假设关心性能点对设计变量的灵敏度为0.因此，其表达式为dodG(,s*)8G(x,5*)(25)dXkdkXk其中，关心性能点*为优化模型内层的最优解.依据链式法则，式(2 4)表示为doaG(x,5*)aG(x,s*)du_ dp(ym)dp(ym)dXkoXkdp(ym)dp(ym)dXk(26)du将平衡方程Ku=F对p(ym)求导得的表dp(ym)uwlVm力20622023年第5 5 卷报学学达式为dudFdKK-(27)dp(ym)dp(ym)dp(ym)已知结构拓扑构型与载荷无关，因此有dF=0.将式(2 6)代入式(2 5)中，可得doaG(x,s*)dKdp(ym)dp(ym)(28)dxkoudp(ym)dp(ym)dXk引入伴随向量，式(2 7)表示为ddKdp(ym)dp(ym)(29)dxkdp(ym)dp(ym)dxk依据式（1 6)的插值函数，可得到dKdKdE(ym)dpH(ym)(30)dp(ym)dE(ym)dpH(ym)dp(ym)在单元层面上，关心性能值对设计变量的灵敏度可表示为doNdKmdp(ym)dp(ym)mTum(31)dxk(dp(ym)dp(ym)dkm=14.3非概率可靠性拓扑优化流程图为便于理解式（1 9)的非概率可靠性拓扑优化模型，图4给出了优化过程的流程图.优化过程为嵌套优化，其中右侧为内层优化，目的是得到在几何不确定性下的关心性能值，求解过程涉及极限状态函数G(x,s)对不确定系数;的灵敏度分析(第4.1 节内容)；左侧为外层优化，即在给定体积约束下获得结outer-loopoptimizationinputdatamm=1,x=Xoinner-loopcalculate concernednn=1,5=50optimizationperformancevalueG(.5)sensitivityanalysis ofsensitivity analysis ofinner-loopoptimizationmm=mm+louter-loopoptimizationaG(.)dodG(.5)nn=nn+ddupdate theuncertainupdatethedesignvariablescoefficientsX(k=1,2,M)5(=1,2,M)yesnonoconverge?converge?yesend图4非概率可靠性拓扑优化流程图Fig.4 The flowchart of non-probabilistic reliability-based topologyoptimization构的最优拓扑，求解过程涉及关心性能值G(,*)对设计变量xk的灵敏度分析(第4.2 节内容).5数值算例本节给出了2 个数值算例来验证本文提出的考虑几何不确定性的非概率可靠性优化模型的有效性.对于这2 个算例，结构的弹性模量和泊松比分别为Eo=2.0105MPa和u=0.3.在整个优化过程中，结构始终处于线弹性阶段.这2 个算例都是Windows10操作系统性下基于MATLAB软件计算的，电脑的配置为AMDRyzenThreadripperPRO5965 WX 24-Cores 3.80 GHz,128 GB RAM.5.1MIBB梁结构的非概率可靠性优化如图5 所示为半个MBB梁结构，结构的尺寸为140mm70mm，整个设计域离散为1 40 7 0(9 8 0 0)个平面应力单元.结构右下角约束了Y方向的位移，左边约束了X方向的位移.集中载荷F=100N垂直作用于结构的左上角，方向为-Y方向.不确定阈值场的范围为n(x)E0.25,0.75,在本算例中考虑了不确定阈值场2 种不同的相关长度，即L=80mm和L=30mm.此外，还讨论了2 种不同的可靠性指标约束（=1.0和=1.5）对拓扑结构的影响.本算例给定的结构体积分数为f=50%.作为对比，首先给出了本算例的确定性优化结果，即不确定阈值场n(x)=0.5的情况(等价于相关长度L+时的阈值场)，优化结果如图6 所示.考虑不确定阈值场的结构非概率可靠性拓扑优化结果如图7 所示.通过对比非概率可靠性优化结果（图7 左列)与确定性优化结果(图6),可以看出非概率可靠性优化的最优拓扑构型与确定性优化的不同，并且非概率可靠性优化的最优解是通过增加更多的肋来保证结构在不确定值场下的可靠性.此外，图7(a)和图7(b)为考虑了不确定阈值场n(x)相同的相关长度(L=80 mm),但优化模型(式(1 9)IF70 mm140mm0图5 MBB梁结构设计域Fig.5 Design domain for the MBB beam structure2063第9 期战俊杰等：考虑有界场的几何不确定性非概率可靠性拓扑优化图6 MBB梁结构确定性拓扑优化结果（不确定阈值场n(x)=0.5),目标函数值C=34.22NmmFig.6Deterministic topology optimization solution for the MBB beamstructure(uncertain threshold field n(x)=0.5)and the objective functionvalueC=34.22Nmm0.750:.700.650.600.550.500.450.40(a)L=80 mm,=1.0,C=33.66 Nmm0.80.70.60.50.40.3(b)L=80 mm,=1.5,C=34.94 Nmm(c)L=30 mm,=1.0,C=34.87 Nmm图7 不同相关长度L及不同可靠性指标约束下的非概率可靠性拓扑优化结果(左列)和关心点处的不确定阈值场n(x)分布情况(右列)Fig.7 Non-probabilistic reliability-based topology optimizationsolution(left column)and the distribution of uncertain threshold fields atthe concerned point(right column)with different correlation length Land non-probability reliability index 的可靠性指标约束值不同（=1.0和=1.5).对比这两个工况，可以看出非概率可靠性拓扑优化结果存在一定差异(如图7(a)和图7(b)左列),即结构中的“杆件”数量和位置存在明显不同.另外，当不同时，尽管关心点处的不确定阈值场空间分布波动情况类似，但不确定场n(x)的空间波动范围会随着可靠性指标约束值的增大而增大：(1)=1.0时，波动范围是 0.3 4,0.7 5 (如图7(a)右列);(2)=1.5时，波动范围是 0.1 9,0.8 7 (如图7(b)右列).优化结果存在差异的原因在于，随着可靠性指标约束值的增加，进行结构的可靠性设计时考虑的几何不确定性范围更大，关心点处不确定阈值场的波动范围也会更大(如图7(a)和图7(b)右列).同时,由于考虑了更多的不确定性，那么设计的结构可靠性会更高，最优的拓扑构型也会相应地发生变化（如图7(a)和图7(b)左列).此外，不确定阈值场n(x)的分布特点基本满足在结构左侧区域数值较大，右侧区域数值较小的特点.当非概率可靠性指标约束值为定值（=1.0）时，不确定阈值场相关长度的变化也会对非概率可靠性优化的最优解产生影响(如图7(a)和图7(c)左列).此外,对比图7(a)和图7(c)右列图可以看出，随着不确定阈值场相关长度L的减小，不确定阈值场的空间波动程度也变得更为剧烈.综上所述，可靠性指标约束和不确定阈值场的相关长度L都会对结构的非概率可靠性优化结果产生影响.不同情况下的考虑几何不确定性的非概率可靠性优化模型计算时间如表1 所示.其中，内层优化和外层优化的计算时间均为迭代一次的平均时间，内层优化的迭代步数为3 0 步左右，外层优化迭代为150步左右.从表1 中可以看出，当不确定阈值场的相关长度较小（L=30mm）时，内层优化需要的时间更长(2 3.3 6 0 4s).这是因为当相关长度较小时，则需要更多的截断项才能保证要求的不确定场截断精度(式(5),那么式(1 9)中内层优化中的变量数(5 j)会更多，计算时间也会相应地增加.为了说明优化结果的正确性，我们将通过差分灵敏度分析法来验证第4节的解析灵敏度分析的正确性，差分法采用的差分步长为0.0 0 1.以L=80mm，=1.0的工况为例，内层优化共包含2 5 个不确定系数;(j=1,2,25），随机选取4个不确定系数（5 2,5,5 1 0,5 1 5）进行灵敏度对比，对比结果如表2 所示.外层优化同样随机选取4个设