空间任意运动刚体速度瞬轴位置的分析.pdf

2023.23 科学技术创新空间任意运动刚体速度瞬轴位置的分析樊薇，孙慧恬，卢其宜（江西机电职业技术学院，江西 南昌）在工程实际中，经常会遇到分析平面运动刚体上各点的速度问题，其中有一种常用的方法为速度瞬心法，只要确定了速度瞬心的位置，刚体就可以视为绕速度瞬心转动，从而避免了求矢量合成的问题，使得求速度问题更加简便。也有文章（如文献1、文献2）讨论了用加速度瞬心法求加速度问题，由此可见，瞬心法有其便捷性。进一步想象一下，如果能确定空间任意运动刚体速度瞬轴的位置，则可以用定轴转动刚体的有关方法求解刚体上各点的速度问题，从而简化了求解过程。经文献检索，文献3虽然讨论了确定空间任意运动刚体速度瞬轴的位置，但我们认为还不够全面。为此，我们对这个问题进行了研究，提出了“轴向速度投影定理”。最后得出的结论认为，空间任意运动刚体存在速度瞬轴或速度动轴，因而，刚体绕速度瞬轴作转动或瞬时转动；或刚体沿速度动轴方向作螺旋运动或瞬时螺旋运动，也即刚体沿速度动轴的轴向平移和绕速度动轴转动的合成运动。1定理的提出轴向速度投影定理：空间任意运动刚体上各点的速度沿角速度矢方向上的投影相等。证明：在刚体上任取两点 A 和 B，它们的速度分别为和，刚体的角速度矢为，如图 1 所示。图 1轴向速度投影定理的证明取点 A 为基点，由基点法作出点 B 的速度平行四边形，如图 1 所示。则点 B 的速度可表达为将上式两端投影到角速度矢方向上，并分别用、和表示、和在方向上的投影，则由于为点 B 以角速度绕基点 A 旋转的速度，与在空间异面垂直，故=0，于是有由于点 A 和 B 是刚体上任取的两点，于是上述定理得证。轴向速度投影定理表明，刚体沿角速度矢方向上的运动类似于刚体的平移，但与真正的平移是有区别的，因为刚体上各点在垂直于角速度矢的方向上还有旋转速度，因此将空间任意运动刚体沿角速度矢方向摘要：针对刚体空间任意运动的速度分析，本文提出了“轴向速度投影定理”。基于该定理，本文分析了空间任意运动刚体速度瞬轴位置的情况。研究结果表明，对于空间任意运动的刚体，有时候存在速度瞬轴，有时候不存在速度瞬轴。存在速度瞬轴的时候，刚体绕速度瞬轴作转动或瞬时转动；不存在速度瞬轴的时候，它存在一根速度动轴，刚体沿速度动轴方向作螺旋运动或瞬时螺旋运动。在此基础上，分析空间任意运动刚体上各点速度的时候就更加方便快捷。关键词：空间任意运动；轴向速度投影定理；角速度矢；速度瞬轴；速度动轴中图分类号院O311.2文献标识码院A文章编号院2096-4390渊2023冤23-0059-04资助：江西省教育厅科学技术研究项目（GJJ 171262）。作者简介院樊薇（1967-），女，本科，副教授，主要从事液压、力学教学及研究。B()A()BA()BABABA59-科学技术创新 2023.23上的运动称为轴向平移。2各种情况下速度瞬轴位置的分析下面分四种情况讨论。2.1已知刚体的角速度矢为，某点 A 的速度=0，且牵连角速度矢与平行，如图 2 所示。图 2空间任意运动刚体上速度瞬轴位置的分析由文献3可知，当与平行时，刚体的速度瞬轴 Z也与、平行，又=0，故刚体的速度瞬轴Z 通过点 A 并沿方向。此瞬时刚体绕速度瞬轴 Z作瞬时转动或定轴转动。2.2某点 A 的速度矢与刚体的角速度矢垂直。这里又分两种情况。2.2.1刚体的牵连角速度与平行，如图 3（a）所示。（a）（b）图 3空间任意运动刚体上速度瞬轴位置的分析如图 3（b）所示，将按转向绕点 A 旋转 90毅，得一射线 AN，在射线 AN 上总可以找到一点 C，使 AC=。取点 A 为基点，由图中可看出，点 C 的牵连速度和相对速度在同一直线上，且大小相等、方向相反，故点 C 的瞬时绝对速度为零。再过点 C 沿的平行线方向作坐标轴 Z，显然，Z 轴即为该瞬时刚体的速度瞬轴。由轴向速度投影定理可知，此瞬时刚体上所有各点的速度沿方向的投影为零，表明刚体上各点的速度矢均与垂直。此瞬时刚体绕速度瞬轴 Z作瞬时转动或定轴转动。在 2.1、2.2.1 两种情况下，若刚体的角速度矢方向始终保持不变，且速度瞬轴上各点加速度为零，则刚体绕速度瞬轴 Z作定轴转动；若速度瞬轴上各点加速度不为零，则刚体绕速度瞬轴 Z 作瞬时转动，即刚体在与速度瞬轴垂直的方向上作平面运动，如图 7 所示。2.2.2刚体的牵连角速度与相交，如图 4（a）所示。（a）（b）图 4空间任意运动刚体上速度瞬轴位置的分析由文献3知，刚体的绝对角速度可由下面的矢量等式确定。速度瞬轴 Z沿绝对角速度矢方向，要确定其方向只要计算出角 兹。点 A 的速度为由于点 A 在刚体的自身转轴上，故，亦或其中，代入上式有在以 OA 为斜边的两直角三角形中有这里有一个问题要注意，在 2.2.1 的情况下，刚体棕棕e棕棕棕棕e棕棕棕棕棕棕棕棕e60-2023.23 科学技术创新绕自身某轴以角速度矢转动时，由于固连在该轴上的动系相对于定系作平移，两坐标系之间没有相对转动，故就是绝对角速度矢（等于针对动系的相对角速度矢），如图 7（a）所示；在 2.2.2 的情况下，刚体绕自身某轴以角速度矢转动时，由于固连在该轴上的动系相对于定系作定轴转动，故不是绝对角速度矢，而是针对动系的相对角速度矢，两者不相等。2.3某点 A 的速度矢与角速度矢平行，且刚体的牵连角速度与平行，如图 5 所示。图 5空间任意运动刚体上速度动轴位置的分析在图 5 中，过点 A 沿方向作坐标轴 Z。由于与平行，故点 A 没有旋转速度，因此，刚体以角速度转动时，就是绕 Z轴旋转。注意此时的 Z轴不是刚体的速度瞬轴，因为 Z 轴沿其轴向方向有移动速度。为此，将Z轴称为轴向移动速度转轴，简称速度动轴。由以上讨论可知，当某点 A 的速度矢与角速度矢平行，且刚体的牵连角速度与平行时，刚体不存在速度瞬轴，刚体的速度动轴 Z 通过该点并与角速度矢平行。此瞬时，刚体沿速度动轴 Z方向作螺旋运动。2.4某点 A 的速度矢与转动角速度矢成任意角 兹 的情形，且刚体的牵连角速度与平行。如图 6（a）所示。（a）（b）图 6空间任意运动刚体上速度动轴位置的分析如图 6（b）所示，将速度分解为两个正交分量：与垂直，与平行。由 2.2.1 讨论的结论可知，和两者的运动可以合成为刚体绕通过点 C（点 C 在将按转向绕点 A 旋转 90毅得到的射线上，且 AC=）并与角速度矢平行的 Z 轴的转动。再结合 2.3 讨论的结论可知，刚体的空间任意运动可简化为以沿速度动轴 Z的轴向平移和以绕 Z轴转动的合成运动，也即刚体沿速度动轴 Z 作瞬时螺旋运动。3例题例半径为 r 的陀螺绕自身对称轴 OO 旋转的角速度为，轴 OO 绕定轴 O1O1作匀速圆周运动（圆柱面运动），其速度为 自，如图 7（a）所示。试确定陀螺的速度瞬轴的位置。（a）（b）图 7绕自身对称轴旋转的陀螺上速度瞬轴位置的分析棕棕棕棕e棕棕棕棕棕棕e棕棕棕e棕棕棕棕棕61-科学技术创新 2023.23解：由于点 O 的速度矢与角速度矢垂直，由 2.2.1 得到的结论可知，速度瞬轴 Z 沿铅垂方向且通过 OO1连线上的点 C，见图 7（b）。速度瞬轴 Z的位置：OC=。另解：按文献3的方法求解。牵连角速度相对角速度由于牵连角速度与相对角速度的转向相同，故由内分法求解速度瞬轴 Z的位置。即亦比较两种方法可见，本文提出的确定速度瞬轴位置的方法，概念简单明了，计算过程比文献3的方法要更加简捷。参考文献1皮亚南，卢其宜，刘燕霞援确定平面图形上加速度瞬心位置的两种方法J援南昌大学学报（工程技术版），1996（1）：26-30援2卢其宜，黄海哨援求平面图形上的点加速度之双加速度瞬心法J援力学与实践，2008，30(1)：89援3哈尔滨工业大学理论力学教研室.理论力学(域)M.第 8 版,北京：高等教育出版社，2016（9）：134-140援Analysis of the Instantaneous Axis Positionof the Velocity of a Rigid Body inArbitrary Motion in SpaceFan Wei袁Sun Huitian袁Lu Qiyi(Jiangxi Vocational College of Mechanical&Electrical Technology，Nanchang，China)Abstract：For the velocity analysis of arbitrary motion of a rigid body in space，the“axial velocity projec原tion theorem”is proposed in this paper.Based on this theorem，the velocity transient axis of a rigid bodywith arbitrary motion in space is analyzed in this paper.The results show that for a rigid body moving arbi原trarily in space，sometimes there is a velocity transient axis and sometimes there is not.When the velocitytransient axis exists，the rigid body rotates or transiently rotates around the velocity transient axis；when thevelocity transient axis does not exist，it has a velocity dynamic axis，and the rigid body makes spiral motionor transient spiral motion along the velocity dynamic axis direction.On this basis，it is easier and more con原venient to analyze the velocity of each point on a rigid body moving arbitrarily in space.Key words：arbitrary motion in space；axial velocity projection theorem；angular velocity vector；speedtransient axis；speed dynamic axis62-