概率论与数理统计教程-魏宗舒-课后习题解答答案-7-8章.doc

第七章 假设检验7.1 设总体，其中参数，为未知，试指出下面统计假设中哪些是简单假设，哪些是复合假设： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）.解：（1）是简单假设，其余位复合假设7.2 设取自正态总体，其中参数未知，是子样均值，如对检验问题取检验的拒绝域：，试决定常数，使检验的显著性水平为0.05解：因为，故在成立的条件下，所以=1.176。7.3 设子样取自正态总体，已知，对假设检验，取临界域，（1）求此检验犯第一类错误概率为时，犯第二类错误的概率，并讨论它们之间的关系；（2）设=0.05，=0.004，=0.05，n=9，求=0.65时不犯第二类错误的概率。解：（1）在成立的条件下，此时 所以，由此式解出在成立的条件下，此时由此可知，当增加时，减小，从而减小；反之当减少时，则增加。（2）不犯第二类错误的概率为 7.4 设一个单一观测的子样取自分布密度函数为的母体，对考虑统计假设：试求一个检验函数使犯第一，二类错误的概率满足，并求其最小值。解 设检验函数为（c为检验的拒绝域）要使，当时， 当时，所以检验函数应取，此时，。7.5 设某产品指标服从正态分布，它的根方差已知为150小时。今由一批产品中随机抽取了26个，测得指标的平均值为1637小时，问在5%的显著性水平下，能否认为该批产品指标为1600小时?解 总体，对假设，采用U检验法，在为真时，检验统计量临界值，故接受。7.6 某电器零件的平均电阻一直保持在2.64，根方差保持在0.06，改变加工工艺后，测得100个零件，其平均电阻为2.62，根方差不变，问新工艺对此零件的电阻有无显著差异？去显著性水平=0.01。解 设改变工艺后电器的电阻为随机变量，则未知，假设为 ，统计量 由于，故拒绝原假设。即新工艺对电阻有显著差异。7.7有甲乙两个检验员，对同样的试样进行分析，各人实验分析的结果如下：实验号 1 2 3 4 5 6 7 8 甲4.3 3.2 8 3.5 3.5 4.8 3.3 3.9 乙3.7 4.1 3.8 3.8 4.6 3.9 2.8 4.4 试问甲乙两人的实验分析之间有无显著差异？解 此问题可以归结为判断是否服从正态分布，其中未知，即要检验假设。由t检验的统计量 取=0.10，又由于，故接受7.8 某纺织厂在正常工作条件下，平均每台布机每小时经纱断头率为0.973根，每台布机的平均断头率的根方差为0.162根，该厂作轻浆试验，将轻纱上浆率减低20%，在200台布机上进行实验，结果平均每台每小时轻纱断头次数为0.994根，根方差为0.16，问新的上浆率能否推广？取显著性水平0.05。解 设减低上浆率后的每台布机断头率为随机变量，有子样试验可得其均值和方差的无偏估计为0.994及，问新上浆率能否推广就要分析每台布机的平均断头率是否增大，即要检验由于未知，且n较大，用t检验，统计量为查表知，故拒绝原假设，不能推广。7.9在十块土地上试种甲乙两种作物，所得产量分别为，假设作物产量服从正态分布，并计算得，取显著性水平0.01，问是否可认为两个品种的产量没有显著性差别？解 甲作物产量，乙作物产量，即要检验由于，未知，要用两子样t检验来检验假设，由F检验，统计量为（取显著性水平0.01）故接受假设，于是对于要检验的假设取统计量又时，所以接受原假设，即两品种的产量没有显著性差别。7.10有甲、乙两台机床，加工同样产品，从这两台机床加工的产品中随机地抽取若干产品，测得产品直径为（单位：mm）： 甲 20.5 ，19.8 ，19.7 ，20.4 ，20.1 ，20.0 。19.6 ，19.9 乙 19.7 ，20.8 ，20.5 ，19.8 ，19.4 ，20.6 ，19.2 。试比较甲乙两台机床加工的精度有无显著差异？显著性水平为。解：假定甲产品直径服从，由子样观察值计算得，。乙产品直径服从，由子样观察值计算得，。要比较两台机床加工的精度，既要检验 由 F-检验 时查表得：， 由于，所以接受，即不能认为两台机床的加工精度有显著差异。7.11 随机从一批钉子中抽取16枚，测得其长度为（cm）2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.102.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11设钉长服从正态分布，分别对下面两个情况求出总体均值的90%的置信区间（1）；（2）未知解 （1）由子样函数，可求的置信区间置信下限 置信上限 （2）在未知时，由子样函数，可 求得置信区间为置信下限 置信上限 7.12 包糖机某日开工包糖，抽取12包糖，称得重量为 9.9 10.1 10.3 10.4 10.5 10.2 9.7 9.8 10.1 10.0 9.8 10.3 假定重量服从正态分布，试由此数据对该机器所包糖的平均重量 求置信水平为95%的区间估计。解 由于未知，用统计量，计算各数据值后可以得到均值的置信区间，置信上限为，下限为7.13 随机取9发炮弹做实验，得炮口速度的方差的无偏估计（米/秒）2，设炮口速度服从正态分布，分别求出炮口速度的标准差和方差的置信水平为90%的置信区间。解 选取统计量， 可得的置信区间为：因为故，标准差的置信区间取方差的根方即可。7.14 假设六个整数1，2，3，4，5，6被随机地选择，重复60次独立实验中出现1，2，3，4，5，6的次数分别为13，19，11，8，5，4。问在5%的显著性水平下是否可以认为下列假设成立：。解：用拟合优度检验，如果成立 列表计算的观察值：组数i频数123456131911854101010101010391-2-5-60.98.10.10.42.53.6， =11.07由于，所以拒绝。即等概率的假设不成立。7.15 对某型号电缆进行耐压测试实验，记录43根电缆的最低击穿电压，数据列表如下：测试电压 3.8 3.9 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8击穿频数 1 1 1 2 7 8 8 4 6 4 1试对电缆耐压数据作分析检验（用概率图纸法和拟合优度检验）。解：用正态概率纸检验出数据基本上服从正态分布，下面拟合优度检验假设其中为和的极大似然估计，其观察值 所以要检验的假设 分组列表计算统计量的观察值。组 距 频数标准化区间 4.14.1 4.24.2 4.34.3 4.54.5 4.64.6 5781265 -1.25-1.25 -0.79-0.79 -0.34-0.34 0.570.57 1.030.31 0.10560.10870.15260.34880.13280.15154.54084.67416.561814.99845.71046.51450.04641.15740.21520.59940.01470.3521 用查表由于，所以不能否定正态分布的假设。7.16 用手枪对100个靶各打10发，只记录命中或不命中，射击结果列表如下 命中数：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 频 数： 0 2 4 10 22 26 18 12 4 2 0在显著水平下用拟合优度检验法检验射击结果所服从的分布。解 对每一靶打一发，只记录命中或不命中可用二点分布描述，而对一个靶打十发，其射击结果可用二项分布来描述，其中未知，可求其极大似然估计为设是十发射击中射中靶的个数，建立假设用拟合优度检验法列表如下：01234567891002410222618124200.0009770.0097650.0439450.1171880.2052120.2460940.2052120.1171880.0439450.0097650.0009770.0980.9764.39511.71920.52124.60920.52111.7194.3950.9760.0980.0981.0740.0360.2520.1070.0790.3100.0070.0361.0740.098 取 ，=由于，所以接受。7.17 在某细纱机上进行断头率测定，试验锭子总数为440，测得断头总次数为292次只锭子的断头次数纪律于下表。问每只锭子的纺纱条件是否相同？每锭断头数 0 1 2 3 4 5 6 7 9锭数（实测） 263 112 38 19 3 1 1 0 3 解：如果各个锭子的纺纱条件元差异，则所有锭子断头次数服从同一个普哇松分布，所以问题是要检验每只锭子的断头数。其中未知，求其极大似然估计为，建立假设，由拟合优度检验。列表断头数1234501234-8268112381980.51690.34110.11260.02470.0047227.41150.0949.5310.8972.0685.5689.6682.6846.02617.016取，=，取 ，=由于，所以拒绝。即认为每只锭子纺纱条件不相同。第八章 方差分析和回归分析8.1 考察温度对某一化工产品得率的影响，选了五种不同的温度，在同一温度下做了三次实验，测得其得率如下，试分析温度对得率有无显著影响。温度6065707580得率909288919392969693848383848982解 把原始数据均减去90后可列出如下计算表和方差分析表，表示因子水平数，为重复实验次数。温度606570758005-2132663-6-7-2-6-4-80615-15-18 计算表方差分析表来源平方和自由度均方和F比温度e260.43841065.13.817.1总和298.417由于，所以在上水平上认为温度对得率有显著影响。8.2 下面记录了三位操作工分别在四台不同机器上操作三天的日 产量：机 器操 作 工甲乙丙151715181517172017171622171518151915171616151617161918171822181721221817试在显著性水平下检验：（1） 操作工之间有无显著性差异？（2） 机器之间的差异是否显著？（3） 操作工与机器的交互作用是否显著？ 解 用表示机器的水平数，表示操作工的水平数，表示重复实验次数，列出计算表和方差分析表： 甲乙丙475148605445514855635451156159153159206198223627， ， ， 方差分析表来源平方和自由度均方和F比机器操作工交互作用2.7527.1773.5041.33326240.9213.5912.251.7217.907.12总和144.7535由于，所以在水平上，操作工有显著差异，机器之间无显著差异，交互作用有显著差异。8.3通过原点的一元线性回归模型时怎样的？通过原点的二元线性回归模型是怎样的？分别写出结构矩阵，正规方程组的系数矩阵，常数项矩阵，并写出回归系数的最小二乘法估计公式。解 通过原点的一元线性回归模型：，的最小二乘估计为通过原点的二元线性回归模型： ，的最小二乘估计为：8.4 对不同的元麦堆测得如下数据：堆 号123456重量跨度28133.2527053.20111035.0725903.1421312.9051814.02试求重量对跨度的回归方程，并求出根方差的估计值。解 设所求回归方程为，由数据可以求出： 由最小二乘法估计公式可知 故可得回归方程：的估计是 则的估计为6558.5 设相互独立同服从于。（1） 写出矩阵（2） 求的最小二乘估计（3） 证明当时，的最小二乘估计不变 解 （1）（2），则，的最小二乘估计是（3）若，此时模型成为： ，则对应的，的最小二乘估计是8.6 若与有下述关系： 其中从中获得了n组独立观测值，能否求出的最小二乘估计，试写出最小二乘估计的公式，能否检验假设 试写出检验的拒绝域。解 若记 则的最小二乘估计为下述方程组的解： （*）的最小二乘估计为： 若把方程组（*）的系数矩阵记为，则，又记，则在显著性水平上检验的拒绝域是： 其中，8.7 某医院用光色比色计检验尿贡时，得尿贡含量与肖光系数读数的结果如下：尿贡含量246810肖光系数64138205285360已知它们之间有下述关系式： 各相互独立，均服从分布，试求的最小二乘估计，并给出检验假设 的拒绝域。解 由数据可以求得，n=5 ， 则，最小二乘估计为： 检验假设可用统计量 因此，拒绝原假设。8.8 研究同一地区土壤中所含植物可给态磷的情况，得到18组数据如下，其中，土壤内所含无机磷浓度土壤内溶于K2CO3溶液并受溴化物水解的有机磷浓度土壤内溶于K2CO3溶液但不溶于溴化物的有机磷浓度载在土壤内的玉米中可给态磷的浓度已知与之间有下述关系：各相互独立，均服从分布，试求出回归方程，并对方程及各因子的显著性进行检验。土壤样本1234567891011121314151617180.40.43.10.64.71.79.410.111.612.610.923.123.121.623.11.926.829.9532319342465443129583746504456362851158163371575912346117173112111114134731681432021246460716154778193935176967793955416899由上述数据可以求得下面的结果： 所求得的回归方程为 记对方乘作检验的统计量为： 故在的水平上方程是显著的。对各因子作检验的统计量分别为故在的水平上，是显著的，与是不显著的。8.8 某种膨胀合金含有两种主要成分，做了一批试验如表所示，从中发现这两种成分含量和与合金的膨胀数之间有一定关系。（1）试确定与之间的关系表达式（2）求出其中系数的最小二乘估计（3）对回归方程及各项作显著性检验试验号金属成分和膨胀系数1234567891011121337.037.038.038.539.039.540.040.541.041.542.042.543.03.403.003.003.272.101.831.531.701.801.902.352.543.90解 （1）由散点图可知与的关系为： 并可假设。（2）由以上数据可求得： ， =据最小二乘估计为：则回归方程为： （3）对方程作检验：故在的水平上方程是显著的。对及项作检验：故方程中两项均为显著。