初一动点问题-文档资料.doc

动点问题专题训练
1、（09包头）如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
A
Q
C
D
B
P
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？

解：（1）①∵秒，
∴厘米，
∵厘米，点为的中点，
∴厘米．
又∵厘米，
∴厘米，
∴．
又∵，
∴，
∴． （4分）
②∵， ∴，
又∵，，则，
∴点，点运动的时间秒，
∴厘米/秒． （7分）
（2）设经过秒后点与点第一次相遇，
由题意，得，
解得秒．
∴点共运动了厘米．
∵，
∴点、点在边上相遇，
∴经过秒点与点第一次在边上相遇． （12分）
2、（09齐齐哈尔）直线与坐标轴分别交于两点，动点同时从点出发，同时到达点，运动停止．点沿线段 运动，速度为每秒1个单位长度，点沿路线→→运动．
（1）直接写出两点的坐标；
（2）设点的运动时间为秒，的面积为，求出与之间的函数关系式；
x
A
O
Q
P
B
y
（3）当时，求出点的坐标，并直接写出以点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标．

解（1）A（8，0）B（0，6） 1分
（2）

点由到的时间是（秒）
点的速度是（单位/秒） 1分
当在线段上运动（或0）时，
1分
当在线段上运动（或）时，,
如图，作于点，由，得， 1分
1分
（自变量取值范围写对给1分，否则不给分．）
（3） 1分
3分

3（09深圳）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.
（1）连结PA，若PAPB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；
（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？

解：（1）⊙P与x轴相切.
∵直线y=－2x－8与x轴交于A（40），
与y轴交于B（0，－8），
∴OA=4，OB=8.
由题意，OP=－k，
∴PB=PA=8+k.
在Rt△AOP中，k2+42=(8+k)2，
∴k=－3，∴OP等于⊙P的半径，
∴⊙P与x轴相切.
（2）设⊙P与直线l交于C，D两点，连结PC，PD当圆心P在线段OB上时,作PE⊥CD于E.
∵△PCD为正三角形，∴DE=CD=，PD=3，
∴PE=.
∵∠AOB=∠PEB=90°， ∠ABO=∠PBE，
∴△AOB∽△PEB，
∴，
∴
∴，
∴，
∴.
当圆心P在线段OB延长线上时,同理可得P(0,－－8)，
∴k=－－8，
∴当k=－8或k=－－8时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形.

4（09哈尔滨） 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），
点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．
（1）求直线AC的解析式；
（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．

解：

A
C
B
P
Q
E
D
图16
5（09河北）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是 ；
（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与
t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成
为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；
（4）当DE经过点C 时，请直接写出t的值．

解：（1）1，；
（2）作QF⊥AC于点F，如图3， AQ = CP= t，∴．
由△AQF∽△ABC，，
得．∴．
A
C
B
P
Q
E
D
图4
∴，
即．
（3）能．
①当DE∥QB时，如图4．
∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形．
此时∠AQP=90°．
A
C
B
P
Q
E
D
图5
A
C(E)
)
B
P
Q
D
图6
G
A
C(E)
)
B
P
Q
D
图7
G
由△APQ ∽△ABC，得，
即． 解得．
②如图5，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形．
此时∠APQ =90°．
由△AQP ∽△ABC，得 ，
即． 解得．
（4）或．
①点P由C向A运动，DE经过点C．
连接QC，作QG⊥BC于点G，如图6．
，．
由，得，解得．
②点P由A向C运动，DE经过点C，如图7．
，】

6（09河南））如图，在中，，．点是的中点，过点的直线从与重合的位置开始，绕点作逆时针旋转，交O
E
C
B
D
A

l
O
C
B
A
（备用图）
边于点．过点作交直线于点，设直线的旋转角为．
（1）①当 度时，四边形是等腰梯形，此时的长为 ；
②当 度时，四边形是直角梯形，此时的长为 ；
（2）当时，判断四边形是否为菱形，并说明理由．

解（1）①30，1；②60，1.5； ……………………4分
（2）当∠α=900时，四边形EDBC是菱形.
∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED.
∵CE//AB, ∴四边形EDBC是平行四边形. ……………………6分
在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2,
∴∠A=300.
∴AB=4,AC=2.
∴AO== . ……………………8分
在Rt△AOD中，∠A=300，∴AD=2.
∴BD=2.
∴BD=BC.
又∵四边形EDBC是平行四边形，
∴四边形EDBC是菱形 ……………………10分
A
D
C
B
M
N

7（09济南）如图，在梯形中，动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为秒．
（1）求的长．
（2）当时，求的值．
（3）试探究：为何值时，为等腰三角形．

解：（1）如图①，过、分别作于，于，则四边形是矩形
∴ 1分
在中，
2分
在中，由勾股定理得，
∴ 3分
（图①）
A
D
C
B
K
H
（图②）
A
D
C
B
G
M
N

2）如图②，过作交于点，则四边形是平行四边形
∵
∴
∴
∴ 4分
由题意知，当、运动到秒时，
∵
∴
又
∴
∴ 5分
即
解得， 6分
（3）分三种情况讨论：
①当时，如图③，即
∴ 7分
A
D
C
B
M
N
（图③）
（图④）
A
D
C
B
M
N
H
E

②当时，如图④，过作于
解法一：
由等腰三角形三线合一性质得
在中，
又在中，
∴
解得 8分
解法二：
∵
∴
∴
即
∴ 8分
③当时，如图⑤，过作于点.
解法一：（方法同②中解法一）
（图⑤）
A
D
C
B
H
N
M
F

解得
解法二：
∵
∴
∴
即
∴
综上所述，当、或时，为等腰三角形 9分

8（09江西）如图1，在等腰梯形中，，是的中点，过点作交于点．，.
（1）求点到的距离；
（2）点为线段上的一个动点，过作交于点，过作交折线于点，连结，设.
①当点在线段上时（如图2），的形状是否发生改变？若不变，求出的周长；若改变，请说明理由；
②当点在线段上时（如图3），是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由.

A
D
E
B
F
C
图4（备用）
A
D
E
B
F
C
图5（备用）
A
D
E
B
F
C
图1
图2
A
D
E
B
F
C
P
N
M
图3
A
D
E
B
F
C
P
N
M
（第25题）

解（1）如图1，过点作于点 1分
图1
A
D
E
B
F
C
G
∵为的中点，
∴
在中，∴ 2分
∴
即点到的距离为 3分
（2）①当点在线段上运动时，的形状不发生改变．
∵∴
∵∴，
同理 4分
如图2，过点作于，∵
图2
A
D
E
B
F
C
P
N
M
G
H
∴
∴
∴
则
在中，
∴的周长= 6分
②当点在线段上运动时，的形状发生改变，但恒为等边三角形．
当时，如图3，作于，则
类似①，
∴ 7分
∵是等边三角形，∴
此时， 8分
图3
A
D
E
B
F
C
P
N
M
图4
A
D
E
B
F
C
P
M
N
图5
A
D
E
B
F（P）
C
M
N
G
G
R
G
当时，如图4，这时
此时，
当时，如图5，
则又
∴
因此点与重合，为直角三角形．
∴
此时，
综上所述，当或4或时，为等腰三角形． 10分
9（09兰州）如图①，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），
点C在第一象限．动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，
同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，
设运动的时间为t秒．
(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；
(2)求正方形边长及顶点C的坐标；
(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；
(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．

解：（1）（1，0） 1分
点P运动速度每秒钟1个单位长度． 2分
（2） 过点作BF⊥y轴于点，⊥轴于点，则＝8，．
∴．
在Rt△AFB中， 3分
过点作⊥轴于点，与的延长线交于点．
∵ ∴△ABF≌△BCH．
∴．
∴．
∴所求C点的坐标为（14，12）． 4分
（3） 过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥轴于点N，
则△APM∽△ABF．
∴． ．
∴． ∴．
设△OPQ的面积为（平方单位）
∴（0≤≤10） 5分
说明:未注明自变量的取值范围不扣分．
∵<0 ∴当时， △OPQ的面积最大． 6分
此时P的坐标为（，） ． 7分
（4） 当 或时， OP与PQ相等． 9分
10（09临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．，且EF交正方形外角的平行线CF于点F，求证：AE=EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证，所以．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除BC外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
A
D
F
C
G
E
B
图1
A
D
F
C
G
E
B
图2
A
D
F
C
G
E
B
图3

解：（1）正确． （1分）
A
D
F
C
G
E
B
M
证明：在上取一点，使，连接． （2分）
．，．
是外角平分线，
，
．
．
，，
．
（ASA）． （5分）
． （6分）
（2）正确． （7分）
证明：在的延长线上取一点．
A
D
F
C
G
E
B
N
使，连接． （8分）
．
．
四边形是正方形，
．
．
．
（ASA）． （10分）
． （11分）
11（09天津）已知一个直角三角形纸片，其中．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边交于点，与边交于点．
x
y
B
O
A
（Ⅰ）若折叠后使点与点重合，求点的坐标；

x
y
B
O
A
（Ⅱ）若折叠后点落在边上的点为，设，，试写出关于的函数解析式，并确定的取值范围；

（Ⅲ）若折叠后点落在边上的点为，且使，求此时点的坐标．
x
y
B
O
A

解（Ⅰ）如图①，折叠后点与点重合，
则.
设点的坐标为.
则.
于是.
在中，由勾股定理，得，
即，解得.
点的坐标为. 4分
（Ⅱ）如图②，折叠后点落在边上的点为,
则.
由题设，
则，
在中，由勾股定理，得.
，
即 6分
由点在边上，有，
解析式为所求.
当时，随的增大而减小，
的取值范围为. 7分
（Ⅲ）如图③，折叠后点落在边上的点为，且.
则.
又，有.
.
有，得. 9分
在中，
设，则.
由（Ⅱ）的结论，得，
解得.
点的坐标为. 10分
12图（1）
A
B
C
D
E
F
M
N
（09太原）问题解决
如图（1），将正方形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点，重合），压平后得到折痕．当时，求的值．
方法指导：
为了求得的值，可先求、的长，不妨设：=2

类比归纳
在图（1）中，若则的值等于 ；若则的值等于 ；若（为整数），则的值等于 ．（用含的式子表示）
联系拓广
图（2）
N
A
B
C
D
E
F
M
如图（2），将矩形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点重合），压平后得到折痕设则的值等于 ．（用含的式子表示）

解：方法一：如图（1-1），连接．
N
图（1-1）
A
B
C
D
E
F
M

由题设，得四边形和四边形关于直线对称．
∴垂直平分．∴ 1分
∵四边形是正方形，∴
∵设则
在中，．
∴解得，即 3分
在和在中，

，
，
5分
设则∴
解得即 6分
∴ 7分
方法二：同方法一， 3分
如图（1－2），过点做交于点，连接
N
图（1-2）
A
B
C
D
E
F
M
G

∵∴四边形是平行四边形．
∴
同理，四边形也是平行四边形．∴
　　　∵

　　　在与中
　　　∴ ５分
∵ 6分
∴ 7分
类比归纳
（或）；； 10分
联系拓广
12分