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《数值计算方法》复习试题
一、填空题：
1、，则A的LU分解为 。
答案：
3、，则过这三点的二次插值多项式中的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。
答案：-1，
4、近似值关于真值有( 2 )位有效数字；
5、设可微,求方程的牛顿迭代格式是( )；
答案
6、对,差商( 1 ),( 0 )；
7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；
8、用二分法求非线性方程f (x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n次后的误差限为( )；
10、已知f(1)＝2，f(2)＝3，f(4)＝5.9，则二次Newton插值多项式中x2系数为( 0.15 )；
11、 解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A的各阶顺序主子式均不为零)。
12、 为了使计算 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为 ，为了减少舍入误差，应将表达式改写为 。
13、 用二分法求方程在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。
14、 求解方程组的高斯—塞德尔迭代格式为 ，该迭代格式的迭代矩阵的谱半径= 。
15、 设则 ，的二次牛顿插值多项式为 。
16、 求积公式的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具有( )次代数精度。
21、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分（ 10 ）次。
22、已知是三次样条函数，则
=( 3 　 )，=（ 3 　 ），=（　 1 ）。
23、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则
( 1 )，( )，当时( )。
24、
25、区间上的三次样条插值函数在上具有直到_____2_____阶的连续导数。
26、改变函数 ()的形式，使计算结果较精确 。
27、若用二分法求方程在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分 10 次。
28、写出求解方程组的Gauss-Seidel迭代公式 ，迭代矩阵为 ，此迭代法是否收敛 收敛 。
31、设,则 9 。

32、设矩阵的，则 。
33、若，则差商 3 。
34、线性方程组的最小二乘解为 。
36、设矩阵分解为，则 。
二、单项选择题：
1、 Jacobi迭代法解方程组的必要条件是（ C ）。
A．A的各阶顺序主子式不为零 B．
C． D．
2、设，则为( C )．
A． 2 B． 5 C． 7 D． 3
4、求解线性方程组Ax=b的LU分解法中，A须满足的条件是( B )。
A． 对称阵 B． 正定矩阵
C． 任意阵 D． 各阶顺序主子式均不为零
5、舍入误差是( A )产生的误差。
A. 只取有限位数 B．模型准确值与用数值方法求得的准确值
C． 观察与测量 D．数学模型准确值与实际值
6、3.141580是π的有( B )位有效数字的近似值。
A． 6 B． 5 C． 4 D． 7
7、用 1+x近似表示ex所产生的误差是( C )误差。
A． 模型 B． 观测 C． 截断 D． 舍入
8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是( A )。
A．控制舍入误差 B． 减小方法误差
C．防止计算时溢出 D． 简化计算
9、用1+近似表示所产生的误差是( D )误差。
A． 舍入 B． 观测 C． 模型 D． 截断
10、-324．7500是舍入得到的近似值，它有( C )位有效数字。
A． 5 B． 6 C． 7 D． 8
11、设f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项式中x2的系数为( A )。
A． –0．5 B． 0．5 C． 2 D． -2
12、三点的高斯型求积公式的代数精度为( C )。
A． 3 B． 4 C． 5 D． 2
13、( D )的3位有效数字是0.236×102。
(A) 0.0023549×103 (B) 2354.82×10－2 (C) 235.418 (D) 235.54×10－1
14、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0表示成x=j(x)，则f(x)=0的根是( B )。
(A) y=j(x)与x轴交点的横坐标 (B) y=x与y=j(x)交点的横坐标
(C) y=x与x轴的交点的横坐标 (D) y=x与y=j(x)的交点
15、用列主元消去法解线性方程组，第1次消元，选择主元为( A ) 。
(A) －4 (B) 3 (C) 4 (D)－9
16、拉格朗日插值多项式的余项是( B ),牛顿插值多项式的余项是( C ) 。
(A) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn)，
(B)
(C) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x0)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn)，
(D)
18、用牛顿切线法解方程f(x)=0，选初始值x0满足( A ),则它的解数列{xn}n=0,1,2,…一定收敛到方程f(x)=0的根。

19、为求方程x3―x2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A )。
(A)
(B)
(C)
(D)
21、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是（ 　　 ）。
（1）, (2) , (3) , (4)
23、有下列数表
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
f(x)
-2
-1.75
-1
0.25
2
4.25
所确定的插值多项式的次数是（ 　　 ）。
（1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次
25、取计算，下列方法中哪种最好？（　　　　）
(A)； (B)； (C) ； (D) 。
27、由下列数表进行Newton插值，所确定的插值多项式的最高次数是（　　　　）

１
1.5
２
2.5
３
3.5

-1
0.5
2.5
5.0
8.0
11.5
(A)； (B)； (C) ； (D) 。
29、计算的Newton迭代格式为( )
(A) ；(B)；(C) ；(D) 。
30、用二分法求方程在区间内的实根，要求误差限为，则对分次数至少为( )
(A)10； (B)12； (C)8； (D)9。
32、设是以为节点的Lagrange插值基函数，则( )
(A)； （B）； （C）； （D）。
35、已知方程在附近有根，下列迭代格式中在不收敛的是( )
(A)； (B)； (C)； (D)。
36、由下列数据

0
1
2
3
4

1
2
4
3
-5
确定的唯一插值多项式的次数为( )
(A) 4； (B)2； (C)1； (D)3。
三、是非题（认为正确的在后面的括弧中打Ö，否则打´）
1、 已知观察值,用最小二乘法求n次拟合多项式时，的次数n可以任意取。 ( )
2、 用1-近似表示cosx产生舍入误差。 ( )
3、 表示在节点x1的二次(拉格朗日)插值基函数。 ( Ö )
4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。 ( Ö )
5、矩阵A=具有严格对角占优。 ( )

四、计算题：
1、 用高斯-塞德尔方法解方程组 ，取，迭代四次(要求按五位有效数字计算)。
答案：迭代格式

k

0
0
0
0
1
2.7500
3.8125
2.5375
2
0.20938
3.1789
3.6805
3
0.24043
2.5997
3.1839
4
0.50420
2.4820
3.7019

2、 已知

1
3
4
5

2
6
5
4
分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求的三次插值多项式，并求的近似值（保留四位小数）。
答案：

差商表为

一阶均差
二阶均差
三阶均差
1
2

3
6
2

4
5
-1
-1

5
4
-1
0

5、已知

-2
-1
0
1
2

4
2
1
3
5
求的二次拟合曲线，并求的近似值。
答案：解：

0
-2
4
4
-8
16
-8
16
1
-1
2
1
-1
1
-2
2
2
0
1
0
0
0
0
0
3
1
3
1
1
1
3
3
4
2
5
4
8
16
10
20

0
15
10
0
34
3
41
正规方程组为

6、已知区间[0.4，0.8]的函数表

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

0.38942 0.47943 0.56464 0.64422 0.71736
如用二次插值求的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。
答案：解： 应选三个节点，使误差

尽量小，即应使尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点最好，实际计算结果
，
且

7、构造求解方程的根的迭代格式，讨论其收敛性，并将根求出来，。
答案：解：令 .
且，故在(0,1)内有唯一实根.将方程变形为

则当时
，
故迭代格式

收敛。取，计算结果列表如下：
n
0
1
2
3

0.5
0.035 127 872
0.096 424 785
0.089 877 325
n
4
5
6
7

0.090 595 993
0.090 517 340
0.090 525 950
0.090 525 008
且满足 .所以.
8﹑利用矩阵的LU分解法解方程组 。
答案：解
令得，得.
9﹑对方程组
（1） 试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由；
（2） 取初值，利用（1）中建立的迭代公式求解，要求。
解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优

故对应的高斯—塞德尔迭代法收敛.迭代格式为

取,经7步迭代可得：
.
10、已知下列实验数据
xi
1.36
1.95
2.16
f(xi)
16.844
17.378
18.435
试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。
解：当0 即可，解得

所以 ，因此至少需将 [0,1] 68等份。
11、用列主元素消元法求解方程组 。
解：

回代得 。
12、取节点,求函数在区间[0,1]上的二次插值多项式,并估计误差。
解：

又
故截断误差 。
15、用牛顿(切线)法求的近似值。取x0=1.7, 计算三次，保留五位小数。
解：是的正根，，牛顿迭代公式为
， 即
取x0=1.7, 列表如下：

1
2
3

1.73235
1.73205
1.73205
16、已知f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多项式及f (1，5)的近似值，取五位小数。
解：

18、用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组 =，
取x(0)=(0,0,0)T,列表计算三次，保留三位小数。
解：Gauss-Seidel迭代格式为：

系数矩阵严格对角占优，故Gauss-Seidel迭代收敛.
取x(0)=(0,0,0)T，列表计算如下:

1
1.667
0.889
-2.195
2
2.398
0.867
-2.383
3
2.461
0.359
-2.526
20、（8分）用最小二乘法求形如的经验公式拟合以下数据：

19
25
30
38

19.0
32.3
49.0
73.3
解：

解方程组
其中
解得： 所以 ，
22、（15分）方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）对应迭代格式；(2)对应迭代格式；（3）对应迭代格式。判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算附近的根，精确到小数点后第三位。
解：（1），，故收敛；
（2），，故收敛；
（3），，故发散。
选择（1）：，，，，，
，
23、（8分）已知方程组，其中
，
（1） 列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。
（2） 求出Jacobi迭代矩阵的谱半径。
解：Jacobi迭代法：
Gauss-Seidel迭代法：
，

31、(12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算的近似值，并利用余项估计误差。
用Newton插值方法：差分表：
100
121
144
10
11
12
0.0476190
0.0434783
-0.0000941136
10+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)
=10.7227555

33、(10分)用Gauss列主元消去法解方程组：

3.0000 1.0000 5.0000 34.0000
0.0000 3.6667 0.3333 12.6667
0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333

3.0000 1.0000 5.0000 34.0000
0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333
0.0 0000 1.9375 9.6875

34、(8分)求方程组 的最小二乘解。
，，
若用Householder变换，则：

最小二乘解： (-1.33333，2.00000)T.

37、（15分）已知方程组，其中，，
（1）写出该方程组的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式；
（2）判断（1）中两种方法的收敛性，如果均收敛，说明哪一种方法收敛更快；

解：（1）Jacobi迭代法的分量形式

Gauss-Seidel迭代法的分量形式

（2）Jacobi迭代法的迭代矩阵为
，
，，Jacobi迭代法收敛
Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵为
，
，，Gauss-Seidel迭代法发散

40、(10分)已知下列函数表：

0
1
2
3

1
3
9
27
(1)写出相应的三次Lagrange插值多项式；
(2)作均差表，写出相应的三次Newton插值多项式，并计算的近似值。

解：（1）

（2）均差表：