三角形五心及其性质延伸.doc

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三角形五心及其性质延伸
1.内心：三角形三条内角平分线的交点,也是三角形内切圆的圆心。
角平分线性质:到角两边距离相等.
内心性质：到三角形三边距离相等。
A
B
D
C
E
c
b
c
延伸：①内角平分线定理
如图，AD为△ABC中的平分线，则有

证明过程如下：
作BE//AC交其延长线于E,则.
∵,∴,=c.
又∵BE//AC,易证△ADC ∽ △EDB, ∴,得证。
A
B
C
D
E
F
②外角平分线定理
如图，AD为△ABC的外角平分线，交BC
延长线于D，则有
证明过程如下：
作CE//AB交AD于E,则.∵,
∴,.
又∵CE//AB,易证△ADB ∽ △EDC, ∴,得证。
③三角形内角平分线长公式
c
b
c
A
F
B
D
C
E
如图，AD为△ABC中的平分线，则有

证明过程如下：
作BE//AC交其延长线于E,BFAE交其于F。
由前文的内角平分线定理可知，△ADC ∽ △EDB, ∴.
又,即.而△ABE为等腰三角形, BFAE,
∴,∴.
.O
A
F
B
D
C
E
④内心到三边距离r(三角形内切圆半径)
设三角形面积为S，则有

证明过程如下：
连接OA,OB,OC. ∵相切，∴，即S△AOB = ，同理
S△AOC = ，S△BOC = .又∵S=S△AOB + S△AOC + S△BOC ,即S= ,
∴.
2.重心:三角形三条中线交点
A
G
F
E
C
B
D
H
中线性质:将三角形面积等分成两部分.
重心性质:分三角形的中线两段长比例为2:1(长:短)
如图:AD,BE,CF为△ABC三条中线，G为其重心，则有

证明过程如下：
作BH//FC交AD延长线于H,易证△GDC ≌ △HDB，∴
又∵BH//FG，F为AB中点，∴G也为AH中点，即，
∴，其他同证.
A
F
B
E
D
C

延伸:三角形中线长公式
如图,AD为△ABC的中线,则有

证明过程如下:
作BE//AC交AD延长线于E,易证△ADC ≌ △EDB，
∴，∵BE//AC，∴。作AFEB交其
延长线于F。又AB=c，∴BF=AB=，AF=，
故EF=。
∴=
3.外心：三角形三边垂直平分线的交点,三角形外接圆圆心。
.O
A
B
D
C
垂直平分线性质:到线段两端点距离相等。
外心性质：到三角形三个顶点距离相等。
内心到三顶点距离R(三角形外接圆半径)
R= (某边除以它对角正弦的2倍)
证明过程于下:
连接AO并延长交圆O于D,则AD为圆直径,AD=2R.
又(直径所对的圆周角是),AB=c, (同弧AB所对的圆周角相等),∴AD= ,即2R , R= .
延伸①:正弦定理
由于R= ,同理易证,变形得到
A
B
C
D
正弦定理: (每边除以它所对角的正弦为2R)
延伸②:余弦定理
（）
证明过程如下：
作CD AB交其于D，∴，BD= ，，又，即=
，其他边角也同求
4.旁心：三角形一个内角平分线与另外两个外角的平分线的交点。
旁心性质：三角形的四心（内心、重心、垂心、外心）只有一个，
P2
A
C
P3
P1
B
M2
M3
N1
N3
N2

但旁心有三个，旁心到三角形三边所在直线距离相等。
证明过程如下：
如图，P1、P2、P3为△ABC三个旁心。
以P1为例，P1在平分线上，
∴P1到AB、AM2距离相等，即P1到
AB、AC所在直线M1N1、M2N2距离相等，
同理，P1在平分线上，∴P1到AB、BM3距离相等，即P1到AB、BC所在直线M1N1、M3N3距离相等,故得到旁心到三边所在直线距离相等。
A
B
D
C

补充：三角形面积公式
① （底高）
②
（某角的正弦值乘以它两边长度的积）
证明过程如下：
作ADBC，则，得证，其他边角同理可求。
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