T-_形电路等效变换公式的直接导出方法_田社平.pdf

第 45 卷第 3 期2023 年 6 月电气电子教学学报Journal of Electrical and Electronic EducationVol 45No 3Jun 2023收稿日期:2021-07-10;修回日期:2021-10-22基金项目:上海交通大学 2020 年教育教学研究项目(JYJX20 0081)第一作者:田社平(1967)，男，博士，副教授，主要从事电路理论和计量学的教学和科研工作，E-mail:sptian sjtu edu cnT 形电路等效变换公式的直接导出方法田社平张峰(上海交通大学 电子信息与电气工程学院，上海 200240)摘要:从电路测量角度给出了 T 形电路等效变换公式的直接导出方法。通过施加 T 形和 形电路相同的激励，然后选择 T 形和 形电路合适的对应测量点，使得 T 形或者 形电路测量方程仅包含一个参数，从而简化等效变换公式的推导过程。进一步讨论了从电路方程的角度推导 T 形电路等效变换公式的方法。分析过程表明，直接导出方法充分利用了电路本身的规律如分压、分流公式等，推导过程简单、直接。关键词:T 形电路;形电路;等效变换中图分类号:TM13文献标识码:A文章编号:1008-0686(2023)03-0139-03Direct Derivation Method of Equivalent TransformationFormula of T InterconnectionsTIAN ShepingZHANG Feng(School of Electronic，Information and Electrical Engineering，Shanghai Jiao Tong University，Shanghai 200240，China)Abstract:A direct derivation method of equivalent transformation formula is presented from the circuit measurement point ofview This method is based on the definition of equivalent circuit and applies T and interconnections the same excitations Thederivation of the equivalent transformation formula is simplified through selecting appropriate voltage or current measurement e-quation of T or interconnection with only one parameter The derivation is further discussed from the circuit equation point ofview The analysis shows that the direct derivation based on circuit equivalence is simpler and more direct because of making fulluse of the laws of the circuit itself，such as the voltage-divider formula and current-divider formulaKeywords:T interconnection;interconnection;equivalent transformationT 形和 形电路的等效变换是电路教学中非常重要的内容，在工程实践中多有应用，如三相电路中的星形连接和三角形连接的等效变换等。现行教材在推导 T 形电路等效变换公式时主要采用两种方法:其一是基于等效电路的定义，即当T 形和 形电路的端口 VC 相同时，则两者等效，由此可推导出等效变换公式1 2;其二是基于等效电路的性质，即当两个电路等效，则在两个电路的某一或某几个端口连接相同的任意电路，所得两个新的电路也是相互等效的，例如，对图 1 电路中 T 形电路和 形电路，如果从相应端口看进去得等效电阻相等，则两者等效，由此亦可推导出等效变换公式3。上述两种推导方法的含义是很明确、清晰的。但不可否认，它们在推导过程中必须求解方程，从而增加了推导过程的复杂性。文献 4还提出了基于能量守恒定律、戴维南定理、二端口参数矩阵等的推导方法，这些推导方法也存在解方程的问题。根据 T 形电路的特点，从电路测量的角度给出了 T 形电路等效变换公式的直接导出方法，该方法从等效电路的定义出发，亦即在 T 形和 形电路可以相互等效的前提下，施加 T 形和 形电路相同的激励，然后选择 T 形和 形电路合适的对应测量点(电压或电流)，使得 T 形或者 形电路测量方程仅包含一个参数，从而简化等效变换公式的推导过程。1 形电路到 T 形电路的等效变换施加 T 形和 形电路相同的激励，在选择电压或电流测量点时确保 T 形电路的测量方程仅包含一个 T 形电路参数，以此为依据来简化等效变换的推导过程。在图 1 电路中的 13 端施加电流源、23 端保持开路，得到图 2 电路。观察图 2(a)，可得端口 23电压的测量方程为u2=3i1(1)(a)T 形电路(b)形电路图 1T 形电路和 形电路(a)T 形电路(b)形电路图 2端口 13 施加电流源激励、端口 23 开路对图2(b)，同样可得端口23 电压的测量方程为u2=31(12+23)i12312+23=312312+23+31i1(2)由等效电路的定义可知，式(1)、式(2)应有相同的表达式，由此可得3=31+2312+23+31(3)由式(3)的表达规律，不难直接写出 1、2的表达式(4)继续观察图 2(a)，我们还可测量图 2(a)中 12端的电压，得到测量方程u12=1i1(5)同样，测量图 2(b)中 12 端的电压，得到u2=3112+23+31i1 12=123112+23+31i1(6)比较上述两式，易知1=123112+23+31(7)由上述分析过程可知，由于所选取的 T 形电路测量方程仅包含一个参数，等效变换公式的导出是直接比较得到的，并不存在求解方程的过程，因此，整个推导过程非常简单。2T 形电路到 形电路的等效变换基于电路对偶的思想，或者通过简单的观察，不难得到 T 形电路到 形电路的等效变换公式直接导出方法。在图 1 电路中的 13 端施加电压源、23 端保持短路，得到图 3 电路。观察图 3(b)，可得端口 23电流的测量方程为i2=u112(8)(a)T 形电路(b)形电路图 3端口 13 施加电压源激励、端口 23 短路该方程仅包含一个参数。对图 3(a)，同样可得端口 23 电流的测量方程为i2=u11+2332+3=312+23+31u1(9)同样，由等效电路的定义可知，式(8)、式(9)应有相同的表达式，由此可得041电气电子教学学报第 45 卷12=1+2+123(10)类似地，我们还可测量图 3 电路中的 12 端短路、23 端开路，分别测量流经 12 端的电流，如图 4所示，得到如下两个测量方程(11)比较上述两式，易知23=2+3+231(12)(a)T 形电路(b)形电路图 4端口 13 施加电压源激励、端口 12 短路显然，如果得到了式(10)或者式(12)，就可类似地写出 形电路另外两个参数的表达式了。3进一步的讨论电路的特性是和电路所对应的方程相联系的。因此，我们还可从电路方程的角度加以讨论。这里仅以 形电路到 T 形电路的等效变换公式推导为例加以说明。由图 1 可知，T 形电路的 VC 可表示为(13)形电路的 VC 可表示为(14)如果令 i2=0，则由式(13)的第二式得到测量方程u23=3i1(15)因 i2=0，由式(14)可得(16)由上述方程组解得u23=312312+23+31i1(17)比较式(15)、式(17)，同样得到式(3)的结果。还可进一步对式(13)进行变换。将式(13)的两式相减，得到u13 u23=u12=1i1 2i2(18)如果令 i2=0，则有测量方程u12=1i1(19)对式(16)，已解得 u23如式(17)，再解得 u13为u13=3123+311212+23+31i1(20)将式(20)减去式(17)，可得u13 u23=u12=311212+23+31(21)比较式(19)、式(21)，同样得到式(7)的结果。比较本节和第 1 节的分析可以看出，两者的推导过程在实质上是相同的，只是基于电路方程的推导较为抽象，且涉及方程的求解，显得较为复杂，而基于电路等效的推导充分利用了电路本身的规律如分压、分流公式等，其推导过程更为简单、直接。从电路方程的角度推导 T 形电路到 形电路的等效变换公式的过程与上类似，不再赘述。4结语T 形电路和 形电路具有广泛的应用，它们之间的等效变换也是电路教学中的一个重要内容。本文讨论了 T 形电路等效变换公式的直接导出方法，为 T 形电路等效变换的教学提供了一种选择，可供从事电路教学的教师参考。参考文献 1 陈洪亮，张峰，田社平 电路基础 M 2 版 北京:高等教育出版社，2015 2 陈希有 电路理论教程M 2 版 北京:高等教育出版社，2020:121 3 田社平，王润新 电路理论基础M 上海:上海交通大学出版社，2020 4 田社平，孙盾，张峰 T 形和 形电阻电路等效变换的教学探讨J 电气电子教学学报，2013，35(4):16 18141第 3 期田社平，等:T 形电路等效变换公式的直接导出方法