二次函数y=ax2+bx+c的图像及性质.doc

. 二次函数的图象【教学目标】1、会用描点法画出二次函数 、 与的图象；2、能结合图象确定抛物线 、 、的对称轴与顶点坐标；3、通过比较抛物线 与 同 的相互关系，培养观察、分析、总结的能力;【教学重点】画出形如 、与形如 的二次函数的图象，能指出上述函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标.【教学难点】理解函数、 、 与 及其图象间的相互关系【知识点梳理】知识点一、二次函数的定义： 形如y=ax2+bx+c(a0，a，b，c为常数)的函数称为二次函数(quadratic funcion) .其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项.知识点二、二次函数的图象及画法二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象是对称轴平行于y轴(或是y轴本身)的抛物线.几个不同的二次函数.如果二次项系数a相同，那么其图象的开口方向、形状完全相同，只是顶点的位置不同.1. 用描点法画图象首先确定二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，然后在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称地画图.画结构图时应抓住以下几点：对称轴、顶点、与x轴的交点、与y轴的交点.2. 用平移法画图象由于a相同的抛物线y=ax2+bx+c的开口及形状完全相同，故可将抛物线y=ax2的图象平移得到a值相同的其它形式的二次函数的图象.步骤为：利用配方法或公式法将二次函数化为y=a(x-h)2+k的形式，确定其顶点(h，k)，然后做出二次函数y=ax2的图象.将抛物线y=ax2平移，使其顶点平移到(h，k).知识点三、二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与性质1.函数y=ax2(a0)的图象与性质： 函数a的符号图象开口方向顶点坐标对称轴增减性最大(小)值y=ax2a0向上(0，0)y轴x0时，y随x增大而增大x0时，y随x增大而减小当x=0时，y最小=0y=ax2a0时，y随x增大而减小x0时，开口方向、对称轴、增减性与y=ax2相同，不同的是顶点坐标为(0，c)，当x=0时，y最小=c(2)当a0a0时，抛物线开口向上，并向上无限延伸，顶点是它的最低点.(2)在对称轴直线的左侧，抛物线自左向右下降，在对称轴的右侧，抛物线自左向右上升.(1)当a0开口向上a0交点在x轴上方c=0抛物线过原点c0对称轴在y轴左侧ab0抛物线与x轴有两个交点b2-4ac=0顶点在x轴上b2-4ac0抛物线与x轴无公共点【典型例题】题型一：的图象和性质例1、一条抛物线的开口方向、对称轴与相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，1），求这条抛物线的函数关系式例2 、在同一平面直角坐标系画出函数 、 、 的图象.由图象思考下列问题：（1）抛物线 的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？（2）抛物线 的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？（3）抛物线 ， 与 的开口方向，对称轴，顶点坐标有何异同？（4）抛物线 与 同有什么关系？例3、已知二次函数，当k为何值时，此二次函数以y轴为对称轴？写出其函数关系式变式训练：1、已知函数， ， （1）分别画出它们的图象； （2）说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；（3）试说出函数的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标2、 不画图象，说出函数的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由函数通过怎样的平移得到的3、 若二次函数的图象经过点（-2，10），求a的值这个函数有最大还是最小值？是多少？题型二：的图象和性质例1、不画出图象，你能说明抛物线与之间的关系吗?例2、已知函数， （1）在同一直角坐标系中画出它们的图象；（2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）分别讨论各个函数的性质例3、根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线和？变式训练：1、函数，当x 时，函数值y随x的增大而减小当x 时，函数取得最 值，最 值y= 2、不画出图象，请你说明抛物线与之间的关系3、将抛物线向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2，且新抛物线经过点（1，3），求 的值题型三：+k的图象和性质例1、把抛物线向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线，求b、c的值例2、把抛物线向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数关系式为 例3、在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标变式训练：1、抛物线可由抛物线向 平移 个单位，再向 平移 个单位而得到2、将抛物线先向下平移1个单位，再向左平移4个单位，求平移后的抛物线的函数关系式 3、将抛物线如何平移，可得到抛物线？4、抛物线是由抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，求b、c的值题型四、的图象和性质例1、通过配方，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图例2、已知抛物线的顶点在坐标轴上，求的值例3、已知抛物线，求出它的对称轴和顶点坐标，并画出函数的图象例4、利用配方法，把下列函数写成+k的形式，并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标（1） （2）（3） （4）变式训练：1、（1）二次函数的对称轴是 （2）二次函数的图象的顶点是 ，当x 时，y随x的增大而减小（3）抛物线的顶点横坐标是-2，则= 2、抛物线的顶点是，则、c的值是多少？3、已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大（1）求k的值；（2）求开口方向、顶点坐标和对称轴 4、当时，求抛物线的顶点所在的象限5、已知抛物线的顶点A在直线上，求抛物线的顶点坐标题型五、的最大或最小值例1、求下列函数的最大值或最小值：（1）； （2）例2、某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表：x（元）130150165y（件）705035若日销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？例3、某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？变式训练：1、对于二次函数，当x= 时，y有最小值2、已知二次函数有最小值 1，则a与b之间的大小关系是（ ）Aab Ba=b Cab D不能确定3、求下列函数的最大值或最小值:（1）； （2）4、已知二次函数的最小值为1，求m的值，5、心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系：y值越大，表示接受能力越强（1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？（2）第10分时，学生的接受能力是多少？（3）第几分时，学生的接受能力最强？6、如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃设花圃的宽AB为x m，面积为S m2（1）求S与x的函数关系式；（2）如果要围成面积为45 m2的花圃，AB的长是多少米？（3）能围成面积比45 m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由题型六、利用待定系数法求二次函数的函数关系式例1、某涵洞是抛物线形，它的截面如图2629所示，现测得水面宽16m，涵洞顶点O到水面的距离为24m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？例2、根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式（1）已知二次函数的图象经过点A（0，-1）、B（1，0）、C（-1，2）；（2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y轴交于点（0，1）；（3）已知抛物线与x轴交于点M（-3，0）、（5，0），且与y轴交于点（0，-3）；（4）已知抛物线的顶点为（3，-2），且与x轴两交点间的距离为4例3、已知二次函数的图象经过点A（-1，12）、B（2，-3），（1）求该二次函数的关系式；（2）用配方法把（1）所得的函数关系式化成的形式，并求出该抛物线的顶点坐标和对称轴例4、已知二次函数的图象与一次函数的图象有两个公共点P（2，m）、Q（n，-8），如果抛物线的对称轴是x= -1，求该二次函数的关系式变式训练：1、根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式（1）已知二次函数的图象经过点（0，2）、（1，1）、（3，5）；（2）已知抛物线的顶点为（-1，2），且过点（2，1）；（3）已知抛物线与x轴交于点M（-1，0）、（2，0），且经过点（1，2）2、二次函数图象的对称轴是x=-1，与y轴交点的纵坐标是6，且经过点（2，10），求此二次函数的关系式3、某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m，顶部C离地面高度为44m现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面28m，装货宽度为24m请判断这辆汽车能否顺利通过大门4、已知二次函数，当x=3时，函数取得最大值10，且它的图象在x轴上截得的弦长为4，试求二次函数的关系式5、抛物线过点（2，4），且其顶点在直线上，求此二次函数的关系式【随堂练习】1、二次函数y=ax2bx2c的图象如图所示，则a 0，b 0，c 0（填“”或“”）2、二次函数y=ax2bxc与一次函数y=axc在同一坐标系中的图象大致是图中的（ ）3、在同一坐标系中，函数y=ax2bx与y=的图象大致是图中的（ ）4、如图所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状按照图中建立的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y=00225x209x10表示，而且左右两条抛物线关于y轴对称，你能写出右面钢缆的表达式吗？5、图中各图是在同一直角坐标系内，二次函数y=ax2（ac）xc与一次函数y=axc的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ）6、抛物线y=ax2bxc如图所示，则它关于y轴对称的抛物线的表达式是 7、已知二次函数y=（m2）x2（m3）xm2的图象过点（0，5）（1）求m的值，并写出二次函数的表达式；（2）求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴8、启明公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件为了获得更好的利益，公司准备拿出一定的资金做广告根据经验，每年投入的广告费是x（万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y=x，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费（1）试写出年利润S（万元）与广告费x（万元）的函数表达式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大？最大年利润是多少万元？（2）把（1）中的最大利润留出3万元作广告，其余的资金投资新项目，现有6个项目可供选择，各项目每股投资金额和预计年收益如下表：项目ABCDEF每股（万元）526468收益（万元）055040605091如果每个项目只能投一股，且要求所有投资项目的收益总额不得低于16万元，问有几种符合要求的投资方式？写出每种投资方式所选的项目9、已知抛物线y=a（xt1）2t2（a，t是常数，a0，t0）的顶点是A，抛物线y=x22x1的顶点是B（如图）（1）判断点A是否在抛物线y=x22x1上，为什么？（2）如果抛物线y=a（xt1）2t2经过点B求a的值；这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否成直角三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由10、如图，E、F分别是边长为4的正方形ABCD的边BC、CD上的点，CE=1，CF=，直线FE交AB的延长线于G，过线段FG上的一个动点H，作HMAG于M设HM=x，矩形AMHN的面积为y（1）求y与x之间的函数表达式，（2）当x为何值时，矩形AMHN的面积最大，最大面积是多少？11、已知点A（1，1）在抛物线y=（k21）x22（k2）x1上（1）求抛物线的对称轴；（2）若点B与A点关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只交于一点B的直线？如果存在，求符合条件的直线；如果不存在，说明理由12、如图，A、B是直线上的两点，AB=4cm，过外一点C作CD，射线BC与所成的锐角1=60，线段BC=2cm，动点P、Q分别从B、C同时出发，P以每秒1cm的速度，沿由B向C的方向运动；Q以每秒2cm的速度，沿由C向D的方向运动设P、Q运动的时间为t秒，当t2时，PA交CD于E（1）用含t的代数式分别表示CE和QE的长；（2）求APQ的面积S与t的函数表达式；（3）当QE恰好平分APQ的面积时，QE的长是多少厘米？13、如图所示，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰三角形PQR，PQ=PR=5cm，PR=8cm，点B、C、Q、R在同一直线上当CQ两点重合时，等腰PQR以1cm/秒的速度沿直线按箭头所示方向开始匀速运动，t秒后，正方形ABCD与等腰PQR重合部分的面积为Scm2解答下列问题：（1）当t=3秒时，求S的值；（2）当t=5秒时，求S的值；14、如图2-4-16所示，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在圆形水面中心，OA=125米由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线的路线落下为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在与高OA距离为1米处达到距水面最大高度225米（1）如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不致落到池外？（2）若水池喷出的抛物线形状如（1）相同，水池的半径为35米，要使水流不致落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到01米，提示：可建立如下坐标系：以OA所在的直线为y轴，过点O垂直于OA的直线为x轴，点O为原点）15、某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日生产的产品全部售出已知生产x只玩具熊猫的成本为R（元），每只售价为P（元），且R，P与x的表达式分别为R=50030x，P=1702x（1）当日产量为多少时，每日获利为1750元？（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？16、阅读材料，解答问题当抛物线的表达式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标出将发生变化例如y=x22mxm22m1，有y=（xm）22m1，抛物线的顶点坐标为（m，2m1），即当m的值变化时，x、y的值也随之变化，因而y值也随x值的变化而变化把代入，得y=2x1可见，不论m取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y和横坐标x都满足表达式y=2x1解答问题：（1）在上述过程中，由到所学的数学方法是 ，其中运用了 公式，由、到所用到的数学方法是 （2）根据阅读材料提供的方法，确定抛物线y=x22mx2m23m1顶点的纵坐标y与横坐标x之间的表达式【家庭作业】1抛物线y=2x26x1的顶点坐标为 ，对称轴为 2如图，若a0，b0，c0，则抛物线y=ax2bxc的大致图象为（ ）3已知二次函数y=x2x6，当x= 时，y最小= ；当x 时，y随x的增大而减小4抛物线y=2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线表达式为5二次函数y=ax2bxc的图象如图所示，则ac 0（填“”、“”或“=”）。6已知点（1，y1）、（3，y2）、（，y3）在函数y=3x26x12的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）Ay1y2y3 By2y1y3 Cy2y3y1 Dy3y1y27二次函数y=x2bxc的图象的最高点是（1，3），则b、c的值是（ ）Ab=2，c=4 Bb=2，c=4 Cb=2，c=4 Db=2，c=48如图，坐标系中抛物线是函数y=ax2bxc的图象，则下列式子能成立的是（ ）Aabc0 Babc0 Cbac D2c3b9函数y=ax2bxc和y=axb在同一坐标系中，如图所示，则正确的是（ ）10已知抛物线y=ax2bxc经过点A（4，2）和B（5，7）（1）求抛物线的表达式；（2）用描点法画出这条抛物线11如图，已知二次函数y=x2bxc，图象过A（3，6），并与x轴交于B（1，0）和点C，顶点为P（1）求这个二次函数表达式；（2）设D为线段OC上的一点，且满足DPC=BAC，求D点坐标12已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12，从它的一个点作一条射线将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于设梯形的面积为S，梯形中较短的底的长为x，试写出梯形面积关于x的函数表达式，并指出自变量x的取值范围13心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系y=01x226x43（0x30）y值越大，表示接受能力越强（1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐渐降低？（2）第10分时，学生的接受能力是多少？（3）第几分时，学生的接受能力最强？14某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单位每涨1元，月销售量就减少10千克针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数表达式（不必写出x的取值范围）；（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？15如图2-4-24，在RtABC中，ACB=90，AB=10，BC=8，点D在BC上运动（不运动至B、C），DECA，交AB于E设BD=x，ADE的面积为y（1）求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围；（2）ADE的面积何时最大，最大面积是多少？（3）求当tanECA=4时，ADE的面积 14 / 14