柱坐标及球坐标下导热微分方程的推导及分析.doc

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柱坐标及球坐标下导热微分方程的
推导及分析
哈尔滨工业大学市政学院
摘要：运用热力学第一定律，建立温度场，利用微分方程在不同坐标系的不同形式进行分析问题
关键词：柱坐标 球坐标 导热微分方程
1. 柱坐标系下导热微分方程

假定所研究的物体是各向同性的连续介质，其导热率λ，比热容c和密度ρ均为已知，并假设物体内具有内热源。用单位体积单位时间内所发出的热量 qv(w/m *3)表示内热源的强度。基于上述各项假定，再从进行导热过程的物体中分割出一个微元体，如图。根据热力学第一定律，对微元体进行热平衡分析，那么在dτ时间内导入和导出微元体的净热量，加上内热源的发热量，应等于微元体热力学能的增加，即
导入与导出微元体的净热量（Ⅰ）＋微元体内热源的发热量（Ⅱ）＝微元体中热力学能 的增加（Ⅲ）
下面分别计算式中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 三项：
在 dτ时间内，沿 r 轴方向：

在 dτ时间内，沿 轴方向：

在 dτ时间内，沿 z轴方向：

将 r、Φ、z 三个方向导入和导出微元体的净热量相加得到 :
I=++
在 dτ时间内微元体中内热源的发热量为
Ⅱ=
在 dτ时间内，微元体中热力学能的增量为
Ⅲ=
联立I，III，II可得导热微分方程在圆柱坐标下的公式：

2. 球坐标系下导热微分方程

在球坐标系中，从进行导热过程的物体中分割出一个微元体。
在 dτ时间内，沿 r 方向导入和导出微元体的净热量 ：

在 dτ时间内，沿 方向导入和导出微元体的净热量 ：

在 dτ时间内，沿 方向导入和导出微元体的净热量 ：

将 r、、三个方向导入和导出微元体的净热量相加得到 :
I=++
在 dτ时间内，微元体中内热源的发热量为
Ⅱ=
在 dτ时间内，微元体中热力学能的增量为
Ⅲ=
联立I，II，III可得导热微分方程在圆球坐标下的公式：

3. 总结
得出当分析同一个问题时，有多种不同的分析方法。使用不同的分析方法会使我们分析问题的过程不一样，但是不会影响问题分析的结果。遇到不同的情况就要选择不同的分析方法。就上述问题而言，当分析的对象是一般平面物体，选择直角坐标系比较方便。但是当所分析的对象为轴对称物体（圆柱，圆筒或圆球），采用柱坐标系或球坐标系更为方便。
参考文献
1. 传热学（第六版） 章熙民 朱彤 中国建筑工业出版社
2. 工科数学分析 哈尔滨工业大学数学系分析教研室 高等教育出版社
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