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第四章 习题答案
1.求下列函数的极值。
（1） （2）
（3） （4）
解：（1）根据二元函数极值的必要条件，可得
，
解得，为可能的极值点。
根据充分条件，函数的二阶导师组成的Hessian矩阵为

，因此为的严格极小值点，极值为。
（2）根据一元函数极值的必要条件，可得

因此该函数在其定义域内为单调递增函数，极值不存在。
（3）根据一元函数极值的必要条件，可得

求得极值点为。
由充分条件知。
当时，所以该函数极值不存在
（4）根据一元函数极值的必要条件，可得

求的极值点为。
由充分条件知。
当时，，因此该函数存在极大值为。

2. 讨论函数的极值。
解：根据二元函数极值的必要条件，可得

为可能的极值点。
根据充分条件，函数的二阶导师组成的Hessian矩阵为

时，，因此函数在该点无极值；
时，，海赛矩阵为正定矩阵，因此函数在该点有严格极小值为；
时，，海赛矩阵为正定矩阵，因此函数在该点有严格极小值为；
时，，，则海赛矩阵为负定矩阵，因此函数在该点有严格极大值为；
时，，，则海赛矩阵为负定矩阵，因此函数在该点有严格极大值为
3. 试说明对于任意的，生产函数是凹函数。
证明：,

,
所以函数的Hessian矩阵为

因为，所以;且,Hessian是 负定的，因此生产函数是严格凹函数。
4. 考虑生产函数。如果，试说明该生产函数对于和的任意取值都是严格凹函数。如果，该函数是什么形状？
证明：（1）同上，可求得函数的Hessian矩阵为

Hessian是负定的，该函数对于K、L任意取值都是严格凹函数。
5. 某完全竞争厂商由单一可变投入（劳动），每期工资率为。若该厂商每期的固定成本为，产品的价格为，要求：
（1） 写出厂商的生产函数收益函数、成本函数和利润函数；
（2） 何为利润最大化的一阶条件？解释此条件的经济意义；
（3） 什么样的经济环境才能保证利润最大化而不是最小？
解:（1）生产函数为：
收益函数为：
成本函数为：
利润函数为：
（2）利润最大化的一阶条件为：，即。该条件的经济含义为：在利润最大化时，单个要素的边际产量等于要素单位成本与产品价格的比值。
（3）要满足利润最大化而不是最小，则要满足利润最大化的二阶充分条件：

因为，所以，也就是说，在边际产出递减规律的经济条件下才能实现利润最大化.
6. 某厂商有如下的总成本函数与总需求函数：
.
请回答下列问题：
（1） 确定总收益函数与总利润函数。
（2） 确定利润最大化的产出水平及最大利润。
解：（1）

(2)利润最大化的一阶必要条件为：

解得，。
利润最大化的二阶充分条件为：，
当时，，函数取得极小值为-55.33；
当时，，函数取得极大值为111.33；
所以，在产出水平为11时，利润最大为111.33。
7. 设有二次利润函数试确定系数所满足的约束，使下列命题成立：
（1） 证明若什么也不生产，由于固定成本的关系，利润将为负；
（2） 证明利润函数为严格凹函数；
（3） 求在正的产出水平下的最大化利润。
解：（1）由题可知，当时，。由于固定成本存在的关系，利润为负，因此系数必须满足的条件为

。
（2）因为利润函数为严格凹函数，其一阶必要条件为，
求得；二阶充分条件为。
函数为严格凹函数满足的充要条件：，即,
因此，。
(3)在正的产出水平下，，因此。
8. 假设有一个垄断市场环境下的两产品厂商，产品的价格分别为和，产品的需求函数及成本函数为：
，，，
求利润最大化的价格水平。
解：利润函数
利润最大化的一阶必要条件为：
,
解得，
又
所以，在利润最大化是价格水平为
9. 假设有一个完全竞争条件下的两产品厂商，产品的价格分别为和，单位时间内产品的产出水平为，厂商成本函数为，求：
（1） 利润最大化的产出水平；
（2） 若总成本函数为，两产品的生产是否存在技术相关性，与的新最优水平是多少？
（3） 对参变量和进行比较静态分析。

解:（1）
,
可得
（2）
，，
可得，,
而,即在最优产量下，不存在技术相关性。
（3）由（1）问中的最优产量
,,,
即，产品1价格上升1单位，产量上升，价格下降；
产品1价格上升1单位，产量下降，价格下降；
10一个公司有严格凹的生产函数。给定产品价格，资本的利用率，工资。
要求：
（1） 对利润达到最大化的投入要素与进行比较静态分析，并作简要的分析说明；
（2） 假定生产函数是规模报酬递减的Coob-Douglas函数，做同样的比较静态分析。
解：（1）
利润最大化时，最优解为，

为最优值函数。
变化对最大利润的影响为：
利润最大化时有,
则，
即当资本利用率或工资提高时，利润率随之下降，当产品价格上涨时，最大利润率随之上升。
（2）
利润最大化时，最优解为，
为最优值函数。
，,
11. 考虑参数为的极大化问题函数：
（1） 利用包络定理求函数的最大值关于参数的导数；
（2） 分析参数对目标函数的最大值的影响。
解：（1）假设最优解为，

（2）一阶条件为，即

所以，参数a与木匾函数的最大值同向变动。
12. 考虑参数最优化问题（为参数）：

（1） 求目标函数的极大值关于参数的导数；
（2） 分析参数对目标函数的极大值的影响（假设这个问题的最优解）。
解：（1）假设最优解利用包络定理

（2），由（1）中结果，，所以参数对目标函数极值的影响是同增同减的。
13. 给定依赖于投入参数的短期总成本函数，这里求长期总成本函数。
解：长期总成本函数
要使上式为极小值，必须满足一阶必要条件：
，即
代入可得
14. 航空公司在甲乙两地之间有固定的航班。他比预定航班的商务乘客和预定周六晚上过夜航班的乘客的需求看作两个单独的市场。假设商务乘客的需求函数为，旅游乘客的需求函数为，对于所有乘客的成本函数为。该航空公司在两个市场如何定价才能获得最大利润？
解：总利润函数
由一阶必要条件可得，
二阶充分条件可得，，即该点为极大值。
15. 给定一个价格接受的厂商的生产函数。假设，即资本的边际产量随着劳动力的增加而增加。给定产品价格

，资本的租金率和工资，则它的利润函数为。假设厂商利润极大化问题的二阶充分条件成立，试分别讨论外生变量、和之一的变化对各个内生变量的最优值和的影响。
解：由题可知，厂商最优值为，
最优函数为
则
根据利润最大化一阶必要条件可得 ,
利用包络定理，内生变量对外省变量的影响如下：
，,

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