两个随机变量的函数的分布幻灯片.ppt

课件制作：应用数学系概率统计课程组概率统计课程组概率论与数理统计概率论与数理统计第五节第五节 二维随机变量的函数分布二维随机变量的函数分布3.5.1 和的分布和的分布3.5.1.1 离散型随机变量和的分布离散型随机变量和的分布3.5.1.2 连续型随机变量和的分布连续型随机变量和的分布3.5.2 一般函数一般函数 的分布的分布 3.5.4 最大值、最小值的分布最大值、最小值的分布 在第二章中，我们讨论了一维随机函数的分布，在第二章中，我们讨论了一维随机函数的分布，现在我们进一步讨论现在我们进一步讨论:我们先讨论两个随机变量的函数的分布问题，我们先讨论两个随机变量的函数的分布问题，然后将其推广到多个随机变量的情形然后将其推广到多个随机变量的情形.当随机变量当随机变量X1,X2,Xn的联合分布已知时，的联合分布已知时，如何求出它们的函数如何求出它们的函数 Y=g(X1,X2,Xn),i=1,2,m的分布的分布?一、离散型分布的情形一、离散型分布的情形例例1 若若X、Y独立，独立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,求求Z=X+Y的概率函数的概率函数.解解:=a0br+a1br-1+arb0 由独立性由独立性此即离散此即离散卷积公式卷积公式r=0,1,2,和的分布：和的分布：Z=X+Y 解：依题意解：依题意 例例2 若若X和和Y相互独立相互独立,它们分别服从参数为它们分别服从参数为 的泊松分布的泊松分布,证明证明Z=X+Y服从参数为服从参数为的泊松分布的泊松分布.由卷积公式由卷积公式i=0,1,2,j=0,1,2,由卷积公式由卷积公式即即Z服从参数为服从参数为 的泊松分布的泊松分布.r=0,1，例例3 设设X和和Y相互独立，相互独立，XB(n1,p),YB(n2,p),求求Z=X+Y 的分布的分布.回忆第二章对服从二项分布的随机变回忆第二章对服从二项分布的随机变量所作的直观解释量所作的直观解释:我们给出不需要计算的另一种证法我们给出不需要计算的另一种证法:同样，同样，Y是在是在n2次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件A出现出现的次数的次数,每次试验中每次试验中A出现的概率为出现的概率为p.若若X B(n1,p),则则X 是在是在n1次独立重复试次独立重复试验中事件验中事件A出现的次数出现的次数,每次试验中每次试验中A出现的出现的概率都为概率都为p.故故Z=X+Y 是在是在n1+n2次独立重复试验次独立重复试验中事件中事件A出现的次数，每次试验中出现的次数，每次试验中A出现出现的概率为的概率为p,于是于是Z是以（是以（n1+n2，p）为参数）为参数的二项随机变量的二项随机变量即即:若若X与与Y Y相互独立，相互独立，XB(n1,p)，B(n,p)，则则X+YB(n1+n2,p)二项分布的可加性二项分布的可加性类似已知类似已知:若若X,Y相互独立相互独立,XP(1),YP(2),则则 X+YP(1+2)Possion分布的可加性分布的可加性例例4 设设X和和Y的联合密度为的联合密度为 f(x,y),求求Z=X+Y的密度的密度 解解:Z=X+Y的分布函数是的分布函数是:FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z)这里积分区域这里积分区域D=(x,y):x+y z是直线是直线x+y=z 左下方的半平面左下方的半平面.一、连续型分布的情形一、连续型分布的情形和的分布：和的分布：Z=X+Y 化成累次积分化成累次积分,得得由由X和和Y的对称性的对称性,fZ(z)又可写成又可写成 以上两式是两个随机变量和的概率密度的一般公式以上两式是两个随机变量和的概率密度的一般公式.特别，当特别，当X和和Y独立，设独立，设(X,Y)关于关于X,Y的边缘的边缘密度分别为密度分别为fX(x),fY(y),则上述两式化为则上述两式化为:这两个公式称为这两个公式称为卷积公式卷积公式.为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的区域 例例5 若若X和和Y 独立独立,具有共同的概率密度具有共同的概率密度求求Z=X+Y的概率密度的概率密度.解解:由卷积公式由卷积公式即即如图示如图示:于是于是为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的区域 即即解法二解法二 从分布函数出发从分布函数出发x+y=z当当z 0 时时，1yx1可用可用卷积公式直接求密度函数卷积公式直接求密度函数与与通过分布函数求通过分布函数求密度函数密度函数两种方法求和的分布两种方法求和的分布x+y=z当0 z 1 时，1yx1zzx+y=z当1 z 2 时，z-11yx1zz1yx1x+y=z22当2 z 时，例例6 甲甲乙乙两两人人约约定定中中午午1212时时3030分分在在某某地地会会面面.如如果果甲甲来来到到的的时时间间在在12:1512:15到到12:4512:45之之间间是是均均匀匀分分布布.乙乙独独立立地地到到达达,而而且且到到达达时时间间在在12:0012:00到到13:0013:00之之间间是是均均匀匀分分布布.试试求求先先到到的的人人等等待待另另一一人人到到达达的的时时间间不不超超过过5 5分分钟钟的的概概率率.又又甲甲先先到的概率是多少？到的概率是多少？解解:设设X为甲到达时刻为甲到达时刻,Y为乙到达时刻为乙到达时刻以以1212时为起点时为起点,以分为单位以分为单位,依题意依题意,XU(15,45),YU(0,60)所求为所求为P(|X-Y|5)及及P(XY)解解:设设X X为甲到达时刻为甲到达时刻，Y为乙到达时刻为乙到达时刻以以1212时为起点，以分为单位，依题意时为起点，以分为单位，依题意，XU(15,45),YU(0,60)甲先到甲先到的概率的概率由独立性由独立性先到的人等待另一人先到的人等待另一人到达的时间不超过到达的时间不超过5分钟分钟的概率的概率解一：解一：P(|X-Y|5)=P(-5 X-Y 5)=1/6=1/2P(XY)解二：解二：P(X Y)P(|X-Y|5)类似的问题如：类似的问题如：甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船各自独立地到达，并且每艘船在一昼夜间到各自独立地到达，并且每艘船在一昼夜间到达是等可能的达是等可能的 .若甲船需停泊若甲船需停泊1 1小时，乙船小时，乙船需停泊需停泊2 2小时，而该码头只能停泊一艘船，试小时，而该码头只能停泊一艘船，试求其中一艘船要等待码头空出的概率求其中一艘船要等待码头空出的概率.把长度为把长度为a的线段在任意两点折断的线段在任意两点折断成为三线段，求它们可以构成三角形的成为三线段，求它们可以构成三角形的概率概率.长度为长度为a例例7 设随机变量设随机变量X1和和X2相互独立相互独立,且均服从标准正且均服从标准正态分布态分布N(0,1),求求Y=X1+X2的概率密度函数的概率密度函数.解解 由题意得由题意得 X1和和X2相互独立相互独立,故故结论结论:两个独立的正态分布的随机变量的和两个独立的正态分布的随机变量的和 仍服从正态分布仍服从正态分布.X1+X2N(1+2,12+22)正态分布的可加性正态分布的可加性.即即:若若X1N(1,12),X2N(2,22),X1,X2独立独立,则则有限个独立正态变量的线性组合仍服从正态分布有限个独立正态变量的线性组合仍服从正态分布.更一般地更一般地,可以证明可以证明:推论推论:有限个独立的正态分布的线性函数有限个独立的正态分布的线性函数 仍服从正态分布仍服从正态分布.即即:若若XiN(i,i2),(i=1,2,.n),X1,X2,.Xn相互相互独立独立,实数实数a1,a2,.,an不全为零不全为零,则则 特别特别,若若X1,X2,.Xn独立同正态分布独立同正态分布N(,2),则则记记:例例8 设设二二维维随机随机变变量量在矩形在矩形试试求求边长为边长为X和和Y的矩形面的矩形面积积S的概率密度函数的概率密度函数上服从均匀分布，上服从均匀分布，解解易知，易知，的的联联合概率密度合概率密度为为因因为为所以所以三、三、M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布的分布求求M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布函数的分布函数.设设X，Y是两个相互独立的随机变量，是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为它们的分布函数分别为FX(x)和和FY(y),M=max(X,Y)不大于不大于z等价于等价于X和和Y都不大于都不大于z，故有故有P(Mz)=P(Xz,Yz)又由于又由于X和和Y 相互独立相互独立,于是得到于是得到M=max(X,Y)的分布函数为的分布函数为:FM(z)=P(Mz)=P(Xz)P(Yz)=P(Xz,Yz)即有即有 FM(z)=FX(z)FY(z)类似地，可得类似地，可得N=min(X,Y)的分布函数是的分布函数是下面进行推广下面进行推广 即有即有 FN(z)=1-1-FX(z)1-FY(z)=1-P(Xz,Yz)FN(z)=P(Nz)=1-P(Nz)=1-P(Xz)P(Yz)设设X1,Xn是是n个相互独立的随机变量个相互独立的随机变量,(i=0,1，,n)它们的分布函数分别为它们的分布函数分别为 M=max(X1,Xn)的分布函数为的分布函数为:N=min(X1,Xn)的分布函数是的分布函数是特别，当特别，当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有时，有 FM(z)=F(z)nFN(z)=1-1-F(z)n与二维情形类似，可得与二维情形类似，可得:需要指出的是，当需要指出的是，当X1,Xn相互独立且相互独立且具有相同分布函数具有相同分布函数F(x)时时,常常称称M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn)为极值为极值.由于一些灾害性的自然现象，如地震、由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的作用和实用价值的作用和实用价值.下面我们再举一例，说明当下面我们再举一例，说明当X1,X2为离散为离散型型r.v时，如何求时，如何求Y=max(X1,X2)的分布的分布.解一解一:P(Y=n)=P(max(X1,X2)=n)=P(X1=n,X2n)+P(X2=n,X1 00，0,0,试分别就以上两试分别就以上两种联结方式写出种联结方式写出L L的寿命的寿命Z Z的概率的概率密度密度 这一讲，我们介绍了求随机向量函数这一讲，我们介绍了求随机向量函数的分布的原理和方法，需重点掌握的是：的分布的原理和方法，需重点掌握的是：1、已知两个随机变量的联合概率分布，会求、已知两个随机变量的联合概率分布，会求其函数的概率分布其函数的概率分布；2、会根据多个独立随机变量的概率分布求其、会根据多个独立随机变量的概率分布求其函数的概率分布函数的概率分布