一维扩散方程的有限差分法matlab.doc

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一维扩散方程的有限差分法
——计算物理实验作业七
陈万 物理学2013级 13020011006
l 题目：
编程求解一维扩散方程的解

取。输出t=1,2,...,10时刻的x和u(x),并与解析解u=exp(x+0.1t)作比较。
l 主程序：
% 一维扩散方程的有限差分法
clear,clc;
%定义初始常量
a1 = 1; b1 = 1; c1 = 0; a2 = 1;b2 = -1; c2 = 0;
a0 = 1.0; t_max = 10; D = 0.1; h = 0.1; tao = 0.1;
%调用扩散方程子函数求解
u = diffuse_equation(a0,t_max,h,tao,D,a1,b1,c1,a2,b2,c2);
l 子程序1：
function output = diffuse_equation(a0,t_max,h,tao,D,a1,b1,c1,a2,b2,c2)
% 一维扩散方程的有限差分法，采用隐式六点差分格式(Crank-Nicolson)
% a0: x的最大值
% t:_max: t的最大值
% h: 空间步长
% tao: 时间步长
% D：扩散系数
% a1,b1,c1是（x=0）边界条件的系数；a2,b2,c2是（x=a0）边界条件的系数
x = 0:h:a0;
n = length(x);
t = 0:tao:t_max;
k = length(t);
P = tao * D/h^2;
P1 = 1/P + 1;
P2 = 1/P - 1;
u = zeros(k,n);
%初始条件
u(1,:) = exp(x);
%求A矩阵的对角元素d
d = zeros(1,n);
d(1,1) = b1*P1+h*a1;
d(2:(n-1),1) = 2*P1;
d(n,1) = b2*P1+h*a2;
%求A矩阵的对角元素下面一行元素e
e = -ones(1,n-1);
e(1,n-1) = -b2;
%求A矩阵的对角元素上面一行元素f
f = -ones(1,n-1);
f(1,1) = -b1;
R = zeros(k,n);%求R
%追赶法求解
for i = 2:k
R(i,1) = (b1*P2-h*a1)*u(i-1,1)+b1*u(i-1,2)+2*h*c1;
for j = 2:n-1
R(i,j) = u(i-1,j-1)+2*P2*u(i-1,j)+u(i-1,j+1);
end
R(i,n) = b2*u(i-1,n-1)+( b2*P2-h*a2)*u(i-1,n)+2*h*c2;
M = chase(e,d,f,R(i,:));
u(i,:) = M';
plot(x,u(i,:)); axis([0 a0 0 t_max]); pause(0.1)
end
output = u;
% 绘图比较解析解和有限差分解
[X,T] = meshgrid(x,t);
Z = exp(X+0.1*T);
surf(X,T,Z),xlabel('x'),ylabel('t'),zlabel('u'),title('解析解');
figure
surf(X,T,u),xlabel('x'),ylabel('t'),zlabel('u'),title('有限差分解');
l 子程序2：
function M = chase(a,b,c,f)
% 追赶法求解三对角矩阵方程，Ax=f
% a是对角线下边一行的元素
% b是对角线元素
% c是对角线上边一行的元素
% M是求得的结果，以列向量形式保存
n = length(b);
beta = ones(1,n-1);
y = ones(1,n);
M = ones(n,1);
for i = (n-1):(-1):1
a(i+1) = a(i);
end
% 将a矩阵和n对应
beta(1) = c(1)/b(1);
for i = 2:(n-1)
beta(i) = c(i)/( b(i)-a(i)*beta(i-1) );
end
y(1) = f(1)/b(1);
for i = 2:n
y(i) = (f(i)-a(i)*y(i-1))/(b(i)-a(i)*beta(i-1));
end
M(n) = y(n);
for i = (n-1):(-1):1
M(i) = y(i)-beta(i)*M(i+1);
end
end
l 结果：

对比分析两图，结果令人满意。
取出t_max时刻的u值分析：（）

有限差分解如下：
2.718281828
3.004166024
3.320116923
3.669296668
4.055199967
4.481689070
4.953032424
5.473947392
6.049647464
6.685894442
7.389056099
解析解如下：
2.714520122
2.999510975
3.314422329
3.662395464
4.046901454
4.471775792
4.941256652
5.46002716
6.033262116
6.666679607
7.36659805
分析数据可知误差量级为=0.12+0.12=0.02
l 总结：
（1） 隐式六点差分格式(Crank-Nicolson)基本思想是用前一时刻的三个点表示后一时刻的三个点。因为不是直接表示u(k+1,i)，故称为隐式差分。
（2） x由等步长被分割为N个点，列出N个方程。采用追赶法求解得到结果。原理很简单，关键是求解AU=R中的A和R。
（3） 子函数2的功能是实现追赶法，该程序中没有直接用A来表示三对角矩阵，而是把3列对角元素直接拿出来，因此在调用时应当注意各对角元素的位置，避免调用错误。
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