1、二次函数知识点总结及相关典型题目
第一部分 基础知识
1.直线与抛物线的交点
（1）轴与抛物线得交点为(0, ).
（2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).
（3）抛物线与轴的交点
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是相应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由相应的一元二次方程的根的判别式鉴定：
①有两个交点抛物线与轴相交；
②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；
③没有交点抛物线与轴相离.
（4）平行于轴的直线与抛物线的交点
同（3）同样也许有0个交点、1个交点、2
2、个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.
（5）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组 的解的数目来拟定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点; ②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点.
（6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故
第二部分 典型习题
y
O
x
1、有一个运算装置，当输入值为x时，其输出值为，且是x的二次函数，已知
输入值为,0,时, 相应的输出值分别为5,,．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在所给的坐标系
3、中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值为
正数时输入值的取值范围.
2、已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．是否存在实数a，使得△ABC为直角三角形．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
3、已知二次函数的图象通过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x轴的交点的个数．
4、已知抛物线y＝－x2＋mx－m＋2.
（1）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB＝，试求m的值；
（2）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N
4、并且 △MNC的面积等于27，试求m的值.
5、已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是x轴正半轴上的两点，点A在点B的左侧，如图．二
次函数（a≠0）的图象通过点A、B，与y轴相交于点C
（1）a、c的符号之间有何关系?
（2）假如线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项，试证a、c互为倒数；
（3）在（2）的条件下，假如b＝－4，，求a、c的值．
6、如图，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，⊙E通过原点O及A、B两点．
（1）C是⊙E上一点，连结BC交OA于点D，若∠COD＝∠CBO，求点A、B、C的坐标；
（2）求通过O、C、A三点的抛物线的
5、解析式：
（3）若延长BC到P，使DP＝2，连结AP，试判断直线PA与⊙E的位置关系，并说明理由．
y
x
B
D
O
A
E
C
1、已知：抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的长
（OA6、的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．S是否存在最大值？若
存在，求出最大值并求此时D点坐标；若不存在，请说明理由．
O
x
y
A
B
C
4
1
2、如图，抛物线通过三点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点，过P作轴，垂足为M，是否存在P点，使得
以A，P，M为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点P
的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得的面积最大，求出点D的坐标．
3、已知，如图抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧。点B的坐
7、标为(1，0),OC=30B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值：
(3)若点E在x轴上，点P在抛物线上。是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形?若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
方程：
4、已知一元二次方程的一根为 2．
（1）求关于的关系式；
（2）求证：抛物线与轴有两个交点；
（3）设抛物线的顶点为 M，且与 x 轴相交于A（，0）、B（，0）两点，求使△AMB 面积最小时的抛物线的解析式．
课后习题：
1、15、（09湖南怀化）如图11
8、已知二次函数的图象与轴相交于两个不同的点、，与轴的交点为．设的外接圆的圆心为点．
（1）求与轴的另一个交点D的坐标；
（2）假如恰好为的直径，且的面积等于，求和的值．
2、(2023年肇庆市)已知一元二次方程的一根为 2．
（1）求关于的关系式；
（2）求证：抛物线与轴有两个交点；
（3）设抛物线的顶点为 M，且与 x 轴相交于A（，0）、B（，0）两点，求使△AMB 面积最小时的抛物线的解析式．
3、（2023年常德市）已知二次函数过点A （0，），B（，0），C（）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）判断点M（1，）是否在直线AC上？
图8
（3）过点M（1，）作一条直线与二次函数的图象交于E、F两点（不同于A，B，C三点），请自已给出E点的坐标，并证明△BEF是直角三角形．
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