1、定积分习题课定积分习题课1定积分的性质定积分的性质性质性质1性质性质2性质性质32性质性质5性质性质43定理定理 3（微积分基本公式）（微积分基本公式）也可写成也可写成牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式4直角坐标系下平面图形面积的计算直角坐标系下平面图形面积的计算一、平面图形的面积一、平面图形的面积图图1 1 如图如图1 1所示图形的面积可以视作分所示图形的面积可以视作分别以别以 曲边梯形面积的差。因此曲边梯形面积的差。因此为曲边的两个为曲边的两个5图图2 2且且 类似地可以得到，由连续曲线类似地可以得到，由连续曲线 与直与直线线所围成的平面图形所围成的平面图形（如图（如图2）的面积为）的面积为
2、67例例解解:画图，求得交点(-1,1)及(3,9)8例例解解9 若被积函数是分段函数，当分段点在积分若被积函数是分段函数，当分段点在积分区间内时，计算定积分要用定积分对区间的可加性区间内时，计算定积分要用定积分对区间的可加性.说明：说明：例例解解10先用换元积分法求不定积分先用换元积分法求不定积分取一个原函数取一个原函数由牛顿由牛顿莱布尼兹公式，得莱布尼兹公式，得 在本例求原函数时用到了不定积分的换元积在本例求原函数时用到了不定积分的换元积分法。需消去新变量分法。需消去新变量 t，还原为原积分变量，还原为原积分变量 x，而后用牛，而后用牛顿顿莱布尼兹公式。莱布尼兹公式。解解注意注意：例例11
3、 依据依据NL公式公式,求定积分是先求被积函数的一个原求定积分是先求被积函数的一个原函数，再求原函数在上、下限处的函数值之差。这种方函数，再求原函数在上、下限处的函数值之差。这种方法遇到用换元积分法求原函数时，需将新变量还原为原法遇到用换元积分法求原函数时，需将新变量还原为原来的积分变量，才能求原函数值之差。定积分的换元积来的积分变量，才能求原函数值之差。定积分的换元积分法是省略还原为原积分变量的步骤分法是省略还原为原积分变量的步骤,而直接用新限来计而直接用新限来计算定积分的方法。算定积分的方法。下面用新方法来计算上例下面用新方法来计算上例 ：定积分的换元积分法定积分的换元积分法12求求例例8
4、 8解解13设函数设函数 u(x)和和 v(x)在区间在区间 a,b 上存在连续上存在连续导数，则由导数，则由两端从两端从 a 到到 b 对对 x 求定积分求定积分,便得定积分的分部积分公式：便得定积分的分部积分公式：定积分的分部积分法定积分的分部积分法14求求 与求不定积分类似，在求定积分时也会遇与求不定积分类似，在求定积分时也会遇到换元积分法和分部积分法综合应用的情况，要到换元积分法和分部积分法综合应用的情况，要灵活掌握。灵活掌握。例例1010说明：说明：解解151、牛顿、牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式2、定积分的换元积分法、定积分的换元积分法 应用定积分的换元积分法计算定积分时省略了应用定
5、积分的换元积分法计算定积分时省略了将新积分变量还原为原积分变量的步骤，但要注意将新积分变量还原为原积分变量的步骤，但要注意换元同时要换积分限换元同时要换积分限.小结小结3、定积分的分部积分法、定积分的分部积分法 定积分的分部积分法用于计算被积函数是两类不同定积分的分部积分法用于计算被积函数是两类不同类型函数乘积的定积分。并注意类型函数乘积的定积分。并注意先积出来的先代值先积出来的先代值，可，可使后面的计算简便。使后面的计算简便。16例例 1求求由由曲曲线线 y=x3 与与直直线线 x=-1，x=2 及及 x 轴所围成的平面图形的面积轴所围成的平面图形的面积解解由上述公式得由上述公式得y=x3y
6、x2O-117例例 2求求 y=sinx，y=cos x，解解由上述公式知由上述公式知所围成的平面图形的面积所围成的平面图形的面积.18也也可可以以先先作作出出该该平平面面图图形的草图，形的草图，如图，如图，就不必用公式了就不必用公式了.则直接可得则直接可得y=cos xxOy=sinx1y192021例例1xy解解 所围成的图形如图所示：所围成的图形如图所示：平面图形的面积。平面图形的面积。例例2的面积。的面积。所围成的图形所围成的图形解解 所围成的图形如图所示所围成的图形如图所示:则则22先解联立方程组先解联立方程组 线的交点坐标为线的交点坐标为 得两抛物得两抛物则图形的面积为则图形的面积为23解解 先求两曲线的交点。先求两曲线的交点。例例3注意注意：此题选取纵坐标此题选取纵坐标 为积分变量，而没有选取为积分变量，而没有选取横坐标横坐标 为积分变量，请思考这时为什么？若选取为积分变量，请思考这时为什么？若选取横坐标横坐标 为积分变量能否得到这个问题的结果？为积分变量能否得到这个问题的结果？24例例1 1解解二、典型例题二、典型例题25例例2 2解解26
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
